关于“用二次函数解决问题”的教学探讨

王芳

[摘  要] “用二次函数解决问题”的内容充分体现了数学知识的应用性，教师在课堂教学时要充分立足实际问题，从生活中取材，引导学生体验问题抽象、建模解析的过程，让学生学会总结二次函数求解实际问题的策略.

[关键词] 二次函数;实际问题;生活情景;建模;教学策略

“用二次函数解决问题”章节知识旨在引导学生学以致用，利用二次函数相关知识来解决实际问题，教学重点是引导学生掌握应用数学知识解决实际问题的方法. 而教学的关键有三点：一是让学生体会二次函数的应用性，提升应用意识;二是引導学生感知实际问题向数学问题抽象的过程，掌握知识应用的方法;三是引导学生感悟数学思想，发展核心素养. 下面基于上述三大关键点，进行教学探讨.

融入生活情景，感悟知识应用

“用二次函数解决问题”章节内容的核心思想是“学以致用”，即利用二次函数的图像和性质来解决生活中的问题，故课堂教学建议采用生活情景导入课堂的方式，让学生感知生活中的数学，体会知识的应用性.

二次函数的图像是特殊的曲线，教学中可以拱桥为主题，引导学生探究思考.

问题1：如图1所示，街心公园有一座拱桥，拱桥的桥洞为拱起的曲线，试思考该曲线与数学中的什么图形相似？

引导：教学中让学生关注拱桥桥洞曲线所呈现的图形，让学生感知生活中的“抛物线”，从而联想到二次函数的图像，建立生活实物与数学知识的联系.

问题2：已知拱顶距离水面2 m时，水面的宽为4 m，试分析当水面下降1 m时，水面增加的宽度为多少？

引导：该问题旨在引导学生深入思考拱桥桥洞曲线中的数学原理和规律，自然而然地联想到利用二次函数的相关知识来解决问题，进而确定将实际问题转化为数学问题的思路，为后续的教学探究做基础.

体会问题转化，感知建模方法

将生活问题抽象为数学问题是数学建模的过程，对于学生而言该过程较为复杂，也是本章节教学的关键. 教学中需要引导学生进行问题转化，感知数学建模的方法.

上述情景问题为一种数学模型，可引导学生从中抽象数学模型，转化为数学关系，也是二次函数解决实际问题的常规过程，可分步进行：确定曲线→建立坐标系→设定曲线解析式→提取坐标→求解析式→解决问题.

第一步：确定曲线

引导学生联想数学图形，确定拱桥桥洞形状为抛物线.

第二步：建立坐标系

引导学生思考如何建立坐标系，哪种方式所建坐标系更有利于求点坐标，教学中可采用对比的方式，分别以桥洞的最高点（如图2）和左侧的最低点（如图3）为原点建系，从而使学生体会轴对称图形建系的特点.

第三步：设定解析式，求点坐标

该步教学需要结合二次函数的知识，根据抛物线在坐标系中的位置特点，直接设定解析式，即y=ax2. 而在求点坐标中可采用信息直译的方式，引导学生根据题干条件直接推导坐标.

桥洞的最高点（0，0），拱顶距离水面2 m时，水面的宽为4 m，则左侧最低点（-2，-2），右侧最低点（2，-2）.

在此基础上教学函数求解析式最典型的方法——待定系数法，引导学生将坐标代入解析式中求出a=-，从而确定抛物线的解析式为y=-x2. 教学中可引导学生重温二次函数性质，从曲线顶点位置、抛物线开口两方面来思考所求解析式是否与图像曲线匹配.

第四步：解决问题

该环节是知识应用的重要阶段，需要利用函数性质求解，然后将所求结果反映到实际问题中，即完成“数学分析→推导结论”的过程. 对于本题目可将水面下降1 m时，坐标视为（x1，-3），进而将其代入抛物线解析式，求出x1=±，然后结合生活实际确定此时桥下水面的宽度为2m，故可确定水面增加的宽度为（2-4）m.

上述四步充分体现了用二次函数解决问题的过程，完成了“生活实际问题→数学问题”、“数学知识求解→生活实际结论”两大过程的转化过渡，对于深层次地拓展学生的知识和思维极为有利，同时其中蕴含了数学建模和数形结合两大核心素养.

总结解题步骤，形成破题策略

“用二次函数解决问题”章节知识教学中，需要采用“导学自主”的模式，以学案为载体，以导学为方法. 除了要注意引导学生探究解决问题外，还要注重总结解题步骤，形成二次函数解决问题的策略. 总结环节建议采用自主思考、分组讨论的方式，教师适时点拨，引导学生总结.

上述探究环节引导学生分四步进行建模，也是二次函数解决实际问题的思维过程，教学中要引导学生分析解题步骤，探索思维推理，形成相应的解题策略. 用二次函数的相关知识解决实际问题，可以分为六个思维环节，每个环节紧密联系，并形成完整的闭环，如图4所示，教学中要立足思维重点，尊重学生的主体地位，引导学生思考讨论.

环节1：分析实际问题

该环节的重点是分析实际问题，学生要引导关注题干条件，尤其是其中的图像，联系所学思考关联函数. 教学中可引导学生重温所学函数的图像，总结图像特征.

环节2：二次函数

该环节要确定实际问题所符合的函数，可从两个视角进行引导：一是结合对应图像，如拱桥的形状、喷泉的水柱均为抛物线，符合二次函数的图像曲线;二是直接提取题干关键词，如抛物线、弧形曲线等. 教学时引导学生分组讨论，可从哪些条件确定问题符合的函数.

环节3：建立坐标系

该环节是建模的基础，也是实际问题转化为二次函数问题的关键阶段，教学的关键是引导学生合理选取坐标原点，将实物曲线放置在坐标系中. 教学时可让学生分组构建坐标系，展示成果，进行自评，自主总结建系方法.

环节4：推导点坐标

该环节是文字语言向数学语言转化的过程，也是对题干条件的直译. 要引导学生关注题干的数字信息，如距离、长度、高度等，依托坐标系转化为关键点的坐标. 教学中要引导学生掌握点坐标推导的方法，如联系几何知识，由矩形、正方形性质来推导线段长等. 故教学中要注重思维融合，激发学生的创新思维.5C49615E-33DD-4F5F-A3FC-DF23295FDB88

环节5：求解析式

该环节需要重点讲解待定系数法，需要建立“解析式未知量个数”与“点坐标个数”的对应关系，故要引导学生辨析思考在个数不对应的条件下是否可求解析式. 教学中分类设置探究活动，让学生分组讨论求解析式.

环节6：利用函数知识求解

即利用二次函数的图像及性质来解决问题，实现探究闭环，教学的关键是引导学生灵活利用函数的最值特性和单调性来求解. 教学时可依托典型问题，如利用最值特性分析利润、曲线最值点等，引导学生掌握解题的本质，及时总结，帮助学生积累经验.

渗透数学思想，发展核心素养

函数是描述现实事物变化规律的数学模型，用函数解决实际问题过程中突出体现两大思想：模型思想和数形结合思想，即基于事物规律构建二次函数模型，结合函数图像及性质来解决实际问题. 故教学中要有意识地渗透数学思想，注意发展学生的核心素养，这也是新课标理念的体现.

从现实生活或具体的情景中抽象数学问题，利用数学语言来表示问题的数量关系和变化规律，该过程是基于模型思想进行的转化与构建. 教学中可结合具体问题引导学生思考、关注问题中两大变量的关系，利用函数來加以研究. 如利用二次函数的最值来分析生活中的面积最值、距离最值和利润最大等问题. 探究教学要注意联系生活，让学生感悟知识应用.

而数形结合是探究二次函数的重要方法，贯穿于教学探究整个过程. 教学中要引导学生将实际问题转化为二次函数问题，建立坐标系绘制函数图像，利用图像性质来解决问题. 如图像的开口方向、顶点的坐标值，即若a<0，当x=-时，对于二次函数y=ax2+bx+c有最大值.

以产品利润问题教学为例：已知某件商品的每件的进价为20元，调查发现，在某段时间内，若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30-x）件. 若要使利润最大，则每件的售价应为多少元？

教学中首先要引导学生根据条件列出函数解析式：y=-x2+50x-600，在此基础上引导学生绘制对应的图像，确定顶点坐标（25，25），如图5所示. 然后引导学生关注图像性质，理解x=25时，二次函数有最大值，此时的利润最大. 这样，能让学生体验数形结合解析问题的过程，感知数形结合的思维优势，感悟其中的思想内涵.

总之，“用二次函数解决问题”章节内容充分体现了“学以致用”的教学理念，教学中要打破传统的“讲授”模型，要尊重学生的主体地位，尊重学生的认知发展，精设教学环节，让学生体验建模过程，掌握解题的策略. 同时探究过程要让学生体会数学思想，发展学生的核心素养.5C49615E-33DD-4F5F-A3FC-DF23295FDB88