STEAM理念下的初中数学拓展课教学探究

赵千惠 张维忠

【摘 要】随着全球教育格局的变革，对学生综合素养的发展提出了日趋迫切的诉求，培养学生的跨界思维已成为数学课堂教学改革的时代命题。文章立足STEAM理念的视角，以“曲线缝合：以‘直造‘曲”为例，对初中数学拓展课教学进行探究，旨在达成数学、艺术、技术等学科的交互融合。

【关键词】STEAM理念;跨学科;数学拓展课;曲线缝合

STEAM教育是集科学（Science）、技术（Technology）、工程（Engineering）、艺术（Arts）、数学（Mathematics）于一体的有机结合体，强调多学科的交叉融合，而非五门学科的简单叠加拼接，被寄予了打破传统教育制度框架、促进综合创新型人才培养的厚望，一跃成为风靡全球的教育新范式[1]。我国最新颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》也十分注重数学课堂中跨学科教学的目标导向，明确指出以跨学科项目式学习的方式，整合数学与其他学科的知识和思想方法，从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐述社会生活以及科学与技术中遇到的实际问题[2]。由此可见，跨学科融合已成为当下数学教育一个重要的改革风向标，值得为之进行积极有效的探索和大胆的教学尝试。事实上，现有的实际教学实施与呈现效果并不尽如人意。本应指向培养跨界思维、解决真实情境问题能力等的初中数学拓展课却在设计与实施的过程中暴露出综合性与实践性不足、关联学科较为局限等缺漏[3]。因此，借助STEAM理念来优化现有的初中数学拓展课显得尤为重要，亦可延续二者的协同增效之路，巩固相辅相成的优势联动关系。

一、STEAM理念下的数学拓展课教学

数学拓展课和STEAM理念在目标导向上具有一致性，二者具备坚实稳固且延续不断的契合关系。一方面，STEAM理念能为数学拓展课的设计与开发提供丰富的内容基础，另一方面，数学拓展课也能为STEAM理念的落地生根提供牢固抓手。其实，数学拓展课教学以STEAM理念作为促进策略，本质上是一种具体化、深入化的数学拓展课教与学的新形式，旨在通过STEAM理念的落实来凸显数学拓展课教学的特征，进而打造跨学科性、问题性、综合性、实践性、现实性及过程性浓郁的数学拓展课堂。毫无疑问的是，立足于STEAM理念实施数学拓展课无疑是对师生教与学的开展提出了更高的要求。在保留传统数学拓展课教学模式以确保其普适性的前提下，不仅需要从宏观层面上设置切合实际、具体可操作的数学拓展课教学环节，在教学明线上坚守教学目标和教育初衷，更需要依托真实情境问题解决过程中的具象表征形态、内在认知水平的发展及数学化活动设计过程等暗线要素，在微观层面上做出相应调整，思考如何在学习者、教学者双主体的角色转换间抓住真实问题并得以解决，实现综合素养的提升。

基于此，整合斯海霞[4]、张国祥[5]等学者的研究以及TIMSS 2019数学测评框架从认知要求角度对数学问题解决能力的三水平划分[6]，指出STEAM理念下的数学拓展课需包含以下四个关键的教学阶段。1.激活阶段。即问题情境信息与数学认知结构中“相似块”的耦合、链接和活化阶段，要求师生作为情境共同体，需从复杂现实中抽丝剥茧，择出关键数学信息，对应数学化的情境层次（与问题情境息息相关，针对某一专题范畴，促使脉络化知识及策略在情境中得以运用）。在激活阶段，学生会经历识别、检索、测量等思维程序，其真实情境问题解决能力处于“知道”水平。2.寻求阶段。即结合已知条件信息，利用已有的认知结构去寻求合适的问题解决方案或途径，链接数学化的指涉层次（利用指涉问题所衍生情境的具体数学模型取代特定的数学对象）和普遍层次。在寻求阶段，学生的认知发展将覆盖决定、表征、实施等层次，整体处于“应用”水平。3.重组阶段。考验学生的数据分析素养及善于将结果用数学语言进行表述的能力，并得到初步结论，与数学化的形式层次（数学对象已引用至规范化的步骤和符号范畴内，允许学习者进行纯粹思维活动）相互关联。4.评价阶段。不仅包含对真实情境问题解决方案的合理性评估及改进思路，也囊括对学生学习过程及最终展示成果的多方位定量兼定性评价。此阶段映射至数学化的应用层次，即终究回归现实，保持和内化有效的认知结构、策略及方案，投入到更为广泛的应用情境中。在重组阶段和评价阶段，分析、整合、评估、一般化等高阶的认知层次将自始贯彻，学生的认知发展达到“推理”水平。

值得注意的是，为了打破数学学科长期被冠以“封闭有余、开放不足、习惯固守边界以维护所谓的学科‘纯粹”的刻板印象，裨补人文因素的式微，STEAM理念视角下的数学拓展课堂应在保证凸显数学学科本质的前提条件下，适时推倒关联学科的“局限墙”，合理融入人文艺术的元素。其包含两方面的含义：一是以历史、语言、社会学等内容作为情境要素，对学生的知识储备进行扩容;二是通过创意展示、艺术表达、审美鉴赏等方式，考查学生将内在想法传达给外部世界的“舞台”张力与渲染力，以及对外部形象和美的感知、鉴赏与评价能力，亦可作為多维评价的有力参考指标之一，实现STEAM教育在价值观上从“识知”到“育人”的突破。

因此，本文立足于STEAM理念的视角，基于上述设计理念，以“曲线缝合：以‘直造‘曲”为例，对初中数学拓展课教学进行研究探讨（此节拓展课可设置在“二次函数”章节之后，授课对象为九年级学生）。旨在实现如下教学目标的同时进行相关拓展性讨论：利用GeoGebra等几何画图软件或代数方法求得直角坐标系内“曲线缝合”图形中的曲线方程，提升学生的运算能力，感悟技术在数学发展中的不可或缺性;根据“曲线缝合”图形所蕴含的规律，总结归纳出“用直线创造曲线”的一般作图流程，让学生体会由特殊到一般的数学思想方法;欣赏并创造“曲线缝合”艺术作品，领略数学的审美价值、应用价值、文化价值;创意展示，艺术表达，让学生学会用数学的眼光欣赏美，会用数学的思维思考问题，会用数学的语言统一、简约地表达和谐美。

二、“曲线缝合：以‘直造‘曲”教学设计E9ED0054-F5F4-4A35-8EF5-70E6320CD2FC

（一）激活階段

环节1：引入情境，探测信息

师生活动：教师让学生简单地回忆已学二次函数的性质、图象等相关内容。随后，教师提问激疑，启发学生思考抛物线和直线这两种平面图形之间的关系，激发学生的求知欲望。

问题1：请同学们回忆自己踢足球的经历或者观看球赛的场景，如图1，GA表示A方球门，PB表示预设将球S一脚射入对方球门的B方运动员，PA表示试图拦截球S的A方运动员[7]。

（教师用PPT动态演示，明确3个起始位置。）

问题1-1：当PA第一眼看到球S时，他最希望做什么？（在PB处截下球S）

师生活动：连接PAPB（S）以此代表PA最初的想法，并确定球S和PA在每一时间单位内运动的恒定距离，分别为S→S1和PA→PA1，以此类推。

问题1-2：球S的最终归宿是在尚未被PA拦截之前顺利抵达GA[连接PB（S）GA]。但是，当球S滚动到S1处，PA运动到PA1处时，此时运动员仍然会按照原来的路径继续运动吗？他是否会改变自己的想法，即改变追及方向？请通过作图对此运动过程进行分析。[当球从S滚动到S1时，运动员沿着代表最初想法的PAPB（S）轨迹从PA运动到PA1，但此时他看到球已不再位于PB（S），而是位于S1，于是他改变了想法，即顺着PA1S1轨迹运动，希望在S1处实施拦截，以此类推]

师生活动：师生共同作图分析整个运动过程，指出球S的预期和实际轨迹始终保持一致，而PA却不尽然。其中，PA1S1，PA2S2，PA3S3…代表PA的内心想法，PAPA1PA2PA3…则代表其实际发生的行为轨迹，二者均被球的实时定位所牵引、修改。

【设计意图】以学生熟悉的踢足球情境引入，抛开以往情境中“只研究理想状态下的情况”的常规思路，立足于现实的人和物运动的视角剖析运动员及足球的移动路径问题，通过对比、描摹运动员PA的内心预期路线和实际行动轨迹，最大限度地引发学生的认知冲突，激发学生接续学习的热情。同时，以PPT动态演示运动情境的发生全过程，直观、清晰地还原曲线产生的画面，凸显真实问题情境的说服力和震撼力。

环节2：有序检索，识别问题

问题1-3：PA1S1，PA2S2，PA3S3…是什么类型的线？PA，PA1，PA2，PA3…构成了什么类型的线？

问题1-4：你认为是什么元素直接促使PA创造出这个曲线运动轨迹？

师生活动：教师展示图片，为学生介绍曲线缝合（Curve Stitching）艺术，让直线和曲线这两个看似毫无关联的平面图形产生碰撞，扭转“不可能事件”的局面——“用直线创造出曲线”。

曲线缝合的艺术最早可以追溯到1904年，英国人Mary Everest Boole发明了这种采用直线段表现曲线的艺术形式。她采用针线和纸板进行曲线的缝合，获得许多优美图案。曲线缝合艺术极具感染力，是一种能给人以曲线错觉的工艺，深受艺术家的喜爱，在世界各国的雕塑、工艺品等艺术作品中被广泛使用。譬如，Eli Hess用绳索和树木创作了抛物线;Cory Poole巧用正多边形的对称性得到由抛物线组成的星形，并用铅笔实现了向三维空间的跃升。同时，随着计算机技术的发展，这种曲线缝合的艺术也开始以计算机编程的方式出现在大众视野。譬如，美国宾夕法尼亚州计算机艺术家Lionel Deimel创作了大量的曲线缝合艺术作品（如图2）。

【设计意图】从环节1的真实情境中，学生已初步承认直线“似乎”确实可以创造出曲线的事实。教师顺势对“曲线缝合”的相关背景知识进行介绍，让学生体悟数学的美学价值，点明主题。但此处并不是和盘托出，而是埋下伏笔，引发学生想要验证“以直造曲”的强烈欲望。

（二）寻求阶段

环节3：集思广益，工程设计

问题2：我们是否也能借助直线创造出曲线呢？请给出具体的实施方案。

师生活动：小组合作与师生交流并行，提出、修改并最终确定整体方案。

（1）观察已有的曲线缝合图片，利用直线、线性方程等内容所涉及的相关代数方法及技术手段确定其是否为曲线（或近似于曲线），并得到其曲线方程。

（2）结合步骤（1）中发现的规律，总结归纳出“用直线创造曲线”的一般作图流程。

（3）运用发散思维，利用纸笔、GGB软件、织物或电脑编程等方式创造曲线。

【设计意图】STEAM理念所倡导的工程设计思维有助于全局观念的发展，旨在让学生从确定情境问题需求出发，构思最佳的实施方案，其中不乏包括考量技术设备利弊、选择最优化使用工具、小组任务分配等，从而进一步指导计划的落实，推动最终成品的产出。

环节4：协作实施，技术制作

（1）以图3为例，学生首先通过直线上已知两点坐标得出每条直线的斜截式，发现10条直线表达式之间存在高度对称性[8]348-357。

在确定了10条直线的函数表达式之后，学生借助GGB软件或利用纸笔求解9个线性方程组，确定每相邻两条直线的交点坐标。在此过程中，学生可以充分发挥GGB软件在画图、计算等方面的优势，直观、精准地绘制出每条直线并标注出9个交点（见表1），其中点P1表示直线l1和直线l2的交点，点P2表示直线l2和直线l3的交点，依次类推。

更进一步，学生可以尝试证明直线交点是否落在曲线上，并利用P1～P9共计9个交点坐标得出曲线的表达式。根据已有二次函数的学习经验可知，这些点看似是位于抛物线上或者落在其附近，即意味着可利用二次函数的一般表达式对其实施模型的建构。在此过程中，教师施以支架式引导，支持学生主动借助GGB软件去挖掘“整体接近程度”的内涵，寻求“整体最接近”9个交点的抛物线，利用“双变量回归分析”功能建立多项式回归模型，得到一元二次函数y=ax2+bx+c，其中a≈-0.04545，b=0，c≈-5.45455（实际也可得精确值a=-[122]，b=0，c=-[6011]），误差平方和为0，整体拟合效果好，即认定9个点均落在二次函数的曲线图象上，函数表达式为y=-[122]x2-[6011]。E9ED0054-F5F4-4A35-8EF5-70E6320CD2FC

（2）经由步骤（1）的探究，总结归纳出“用直线创造曲线”的一般作图流程（如图4）。

①建立直角坐标系，确定横、纵坐标轴的等值间距;

②用直线将横轴上距离原点最近的点和纵轴上距离原点最远的点连接起来，譬如x轴上的1和y轴上的20;

③用直线将横轴上距离原点第二近的点和纵轴上距离原点第二远的点连接起来，譬如x轴上的2和y轴上的19;

④重复上述操作，始终确保xi+yj=21（i=1，2，3…20;j=20，19，18…1），即可得到曲线（实则为近似曲线，随着直线数量的增加，拼接所得的图形看起来会越来越像一条平滑的曲线）。

（3）延伸拓展，发散思维，打破直角坐标系的禁锢，同时借助多种媒介创造曲线[9]。

①反向延长横、纵坐标轴，使抛物线向外继续延展;

②改变两轴的夹角度数，形成“非直角坐标系”，制作开口更大或开口更小的抛物线;

③在正三角形、正方形等多边形内部创建曲线，构建美妙图案;

④使用直线和圆创建同心圆、椭圆、心形图案等;

⑤除了传统的纸笔，还可借助织物、绘图软件、电脑编程以及其他实物等媒介制作更多艺术作品;

……

【设计意图】在此教学阶段，学生完成了数学化活动从现实向数学化的转变，譬如，将视觉上的曲线进行了精细的量化处理，即探索了同组直线之间存在的数量及位置关系，试图确定曲线的方程;归纳出“用直线创造曲线”的一般作图流程等。学生在参与、体验课堂的过程中收获合作交流、共情通感的能力，驾驭复杂信息，输出思维模式的最终产物（这既可以指富有外在具象的实体作品，也可以是理论上的观念作品）。步骤（3）中设计创意作品是获得学习成就感的重要方式，也是维持和激发学生学习动机、保持学习好奇心的重要途径。在这个过程中，学生的工程设计思维及技术制作能力均受到了一定挑战。

（三）重组阶段

环节5：归纳梳理，整理成果

师生活动：此阶段给予学生适当的课堂缓冲时间，平息小组“协作实施，技术制作”环节带来的兴奋感。学生整理所得成果，确定以何种方式介绍本小组作品的设计理念和艺术价值。同时，理性梳理本节课的整体学习思路，思考获得何种学习启示，这亦是下一教学环节的重要内容。

【设计意图】梳理、归纳上述环节产生的成果，让数学化活动实现由数学化到形式化的转变，允许学生对所得成果及过程中习得的感悟进行纯粹的思维活动，并思考如何用数学语言加以阐述。

（四）评价阶段

环节6：创意展示，艺术表达

师生活动：学生选择各异的艺术形式，针对数学思想观点、创意想法、方案策划以及最终成果的实用性与外观、价值与功能等方面进行汇报与展示。同时交流自己本节课的学习心得与体会，譬如对于如何利用直线交点确定曲线表达式等发表自己的观点。

【设计意图】此环节不仅考查学生对外部形象和美的感知水平，也旨在发展学生对艺术表征的鉴赏与评价能力，即学会倾听他组汇报，并进行对比分析，以此取长补短。评价阶段的数学化活动实现了从形式化向现实的复归。

环节7：优化改进，延伸思考

拓展思考1：除了利用GGB软件，是否还有其他方法可以证明这些点落在抛物线上，并得到环节4步骤（1）中的二次函数表达式？[8]348-357（以次数较低、计算更为简便的一次函数入手进行规律探究，得到初步结论，再将其类比到二次函数，以此降低思维难度，更能被学生接受）

规律1：对于落在一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）图象上的一些点，其横轴坐标间隔相等，则其纵轴坐标的差值为一个相等的恒定常数，反之亦然（见表2），其中y1′表示y1与y2的差值，y2′表示y2與y3的差值，依次类推。

类比思考：在二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）中是否也存在此规律，能够假以帮助我们求得已知抛物线的表达式呢？

规律2：对于落在二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象上的一些点，其横轴坐标间隔相等，则其纵轴坐标二次相减后得到的差值为一个相等的恒定常数，反之亦然（见表3），其中y1′表示y1与y2的差值，y2′表示y2与y3的差值，依次类推;y1″表示y1′与y2′的差值，y2″表示y2′与y3′的差值，依次类推。下同，不再赘述。

反过来，便可利用此性质证明环节4步骤（1）中的交点落在抛物线上，并得到二次函数表达式。若对一些横轴坐标间隔相等的点的纵坐标进行二次作差得到恒等的常数，即可说明这些点落在二次函数图象上。

分析表4数据可知，交点纵坐标二次作差后的数值yi″（i=1，2，3…7）恒等于-[411]，故根据规律2即可推断这9个点均落在二次函数上。其次，比较表3和表4易知，2am2=-[411（]m=2），解得a=-[122]，且由于曲线过点[0，-6011]，说明c=-[6011]，再带入任一点坐标亦可得b=0，即求得该二次函数的表达式为y=-[122]x2-[6011]。多重方法的比对，不仅使学生感知到技术软件的力量，还可以实现学生思维的多向度发展。

拓展思考2：曲线与直线的碰撞充分展示了几何图形组合后产生的奇妙反应，体验了一场几何与视觉的魔术盛宴。数学中是否还存在其他有趣的几何图案呢？请查阅相关资料。

【设计意图】富有弹性和开放性的拓展问题能帮助学生有效缓解思维定式的困扰，教师可提供多种截然不同的拓展思考方向，让学生进一步展开探究。同时，教师也需注重激发学生主动提出新问题的积极性，让学生搜集相关资料，实施后续自主研究。

环节8：多元主体，多维评价

师生活动：要求通过多元评价主体、形成性评价、面向学习过程的评价，由学生本人、同伴、教师对学生学习过程的态度、兴趣、参与程度、任务完成情况以及学习过程中形成的作品等进行多方位质性及量化评估。E9ED0054-F5F4-4A35-8EF5-70E6320CD2FC

【设计意图】就STEAM理念视角下的数学拓展课堂而言，其评价重点关注的是学生核心素养发展的长远目标，强调激发兴趣、激励参与、促进发展、总结经验、改进活动设计等学习活动过程的多维、多元、多样评价。

三、结语

STEAM理念下的数学拓展课教学以跨学科作为其核心特征，在与外部环境充分交融互动的过程中，学生能最大限度地发挥主观能动性，敏锐辨识、透视知识在不同属性下所具有的各异表征，创造性地内化并产出情境化的知识内涵，提升灵活迁移运用的综合素养，习得社会性成长。挖掘“曲线缝合：以‘直造‘曲”的数学教学意义并以此作为教学主题，围绕数学学科，向内浇筑艺术、技术等其他学科领域的相关知识，将核心问题“如何借助直线创造出曲线？”转化为一系列高投入的实践探索，从而达到对知识的意义建构和深层次理解。纵观整个教学过程，学生并不是在教师提供的确定思路和要求下按图索骥，而是被给予了能充分发挥自主性、创造性的学习空间，同时也有力印证了STEAM理念是一剂优化数学拓展课的良药。

参考文献：

[1]张维忠，赵千惠.澳大利亚初中数学教科书中的跨学科内容[J].浙江师范大学学报（自然科学版），2022（2）：233-240.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[3]斯海霞，叶立军.浙教版初中数学拓展性课程教材编写特点及改进建议[J].数学教育学报，2019（6）：16-20.

[4]斯海霞，孔梦蝶，叶立军.初中生活数学类拓展性课程课堂数学活动特征研究：基于名师教学视频分析[J].数学教育学报，2021（4）：35-40.

[5]张国祥.数学化与数学现实思想[J].数学教育学报，2005（1）：35-37.

[6]MULLIS I V S，MARTIN M O. TIMSS 2019 assessment framework[EB/OL].（2019-12-25）[2021-03-01].https：//timssandpirls. bc. edu/timss2019/frameworks/.

[7]SOMERVELL E L. A rhythmic approach to mathematics[M].London：George Philip & Son，Ltd，1906.

[8]BERGTHOLD T. Activities for students：curve stitching：linking linear and quadratic functions[J].The Mathematics Teacher，2005（5）：348-357.

[9]GARFINKEL K，ALBRECHT M. The art of curve stitching：a creative mathematics project for students[J]. The Mathematics Teacher，2018（1）：60-66.

【作者簡介】赵千惠，浙江师范大学教师教育学院在读硕士研究生，主要研究方向为数学课程与教学论;张维忠，博士，浙江师范大学教师教育学院教授，博士生导师，主要研究方向为数学课程与教学论。

【基金项目】2021年浙江省教育厅科研项目“基于STEAM教育理念的初中数学拓展课教学研究”（Y202147153）E9ED0054-F5F4-4A35-8EF5-70E6320CD2FC