一类热弹性板解的空间性质

石金诚

（广州华商学院 数据科学学院，广东 广州 511300）

0 引言

Saint‐Venant 原则是应用数学与力学领域中重要的研究内容，早期的Saint‐Venant 原则的研究主要集中在对解的空间性态，并得到了当空间变量趋于无穷远时，解是衰减的，但在研究解的空间衰减估计时，往往需要添加一个解在无穷远处趋于零的限制。近年来，许多学者开始研究解的Phragmén‐Lindelöf 二择一结果，而研究解的Phragmén‐Lindelöf 二择一时不需要对解在无穷远处添加限制条件。经典的Phragmén‐Lindelöf 定理指出：调和方程的解从圆柱面有限的一端到无穷远处必须随距离呈指数增长或指数衰减。Payne 和Schaefer［1］将调和方程解的Phragmén‐Lindelöf 二择一结果推广到了双调和方程上，得到双调和方程在三个不同区域的Phragmén‐Lindelöf 二择一结果。文献［2-5］利用各种方法研究了双调和方程的空间性态。特别地，对于与时间相关的双调和方程解的性态研究可见Liu 和Lin［6］，他们采用二阶微分不等式的方法得到与时间相关的Stokes 方程的Phragmén‐Lindelöf 二择一结果。上述文献所考虑的均是单个方程，由于双调和方程研究的难度较大，导致研究双调和方程组的文献较少。

近年来，国内也有一些学者开始进行解的Saint‐Venant 原则或Phragmén‐Lindelöf 二择一研究，文献［7-13］研究了各种热方程，得到一些抛物方程解的空间性质。本文尝试研究双曲抛物耦合方程组的Phragmén‐Lindelöf 二择一性质，由于方程组中两个方程的性态不同，从而导致构造解的函数表达式的难度加大。

本文所考虑的区域定义为

其中h是一给定的正常数。本文引入以下记号

文献［14］研究了著名的α‐β模型，通过傅里叶变换的方法，得到一些解的时间性态结果。本文考虑的是的方程组［14］

其中：u表示板的垂直扰度，v表示温度差，∆表示Laplace 算子，∆2表示双调和算子。上述模型可以用来描述由弹性膜和弹性板构成的演化过程。

初边值条件为

gi(x2，t)，i=1，2，3 是给定函数并满足相容性条件

本文试图建立双调和方程组（1）（2）的解在条件（3）（4）下的Phragmén‐Lindelöf 二择一结果。首先定义一个解的函数表达式，然后推导出解的函数表达式所满足的一阶微分不等式，最后通过求解该不等式得到解的Phragmén‐Lindelöf 二择一结果。由于此时方程组是双曲抛物耦合系统，如何定义恰当的解的函数表达式是本文创新点，如何控制解的函数表达式是本文的难点。对于双曲抛物耦合的双调和方程组解的空间性态研究，目前研究较少。文中采取以下符号约定：用逗号表示求偏导，用，i表示对xi求偏导（i=1，2），v，i表示为；重复的希腊字母α，β表示1 至2 求和，如：

1 解的函数表达式φ(z，t )

为了得到Phragmén‐Lindelöf 二择一结果，需要定义一个解的函数表达式。该表达式对于得到结果具有重要作用。

首先在式（1）两边同时乘以exp( -ωt)u，t并积分，可得

定义函数φ1(z，t) 为

联合式（5）和（6），可得

在式（2）两边同时乘以exp( -ωt)v并积分，可得

定义函数φ2(z，t) 为

联合式（8）和（9），可得

在式（1）两边同时乘以exp( -ωt)u，11并积分，可得

定义函数φ3(z，t) 为

联合式（11）和（12），可得

定义新的函数表达式φ(z，t) 为

其中k1为后面定义的大于零的常数。

2 Phragmén‐Lindelöf 二择一结果

首先通过φ(z，t) 的性质得到一个微分不等式，然后求解该微分不等式，最后结合φ(z，t) 与E(z，t)，F(z，t) 的性质得到解的Phragmén‐Lindelöf 二择一结果。

联合式（7）、（10）、（13）和（14），可得

同理，可得

联合式（6）、（9）、（12）和（14），可得

其中k2为可计算的大于零的常数。

下面分两种情况进行讨论。

情形1对任意的时间t͂，假设存在一个z1，使得则对于所有的z>z1，有

积分式（18），可得

情形2对任意的时间͂，如果不存在一个z1，使得

则对任意的z>0，有

因此由式（18），可得

对式（17）两边同时从z1到z积分，可得

联合式（19）和（22），可得

在情形2 下，由式（16），可知

对式（24）两边同时从z到∞积分，有

联合式（21）和（26），可知

综合上面的讨论，得到如下定理：

定理1假设(u，v) 为初边值问题（1）-（4）的经典解。当z→∞时，解的能量表达式或者满足

或者满足

式（28）与式（29）必有一个成立。