HPM视角下教科书的 数学史内容分析与教学建议

胡磊

[摘要] 以HPM的视角分析数学教科书的数学史内容，发现其育人价值：明晰学科发展，锻炼理性思考;感受数学美感，涵养审美情趣;体验数学精神，促进德性养成。以西师版小学数学教科书为例，总结出教科书的数学史内容具有注重图文并茂、覆盖面较广博和遵循认知规律进阶编排等特点。为深化教科书中数学史的育人功能，可以适时补充数学史，响应学生兴趣探究;整理经典数学史，设置专业学习活动;渐进组织数学史，设计学科实践活动。

[关键词] 小学数学;西师版教科书;HPM;数学史;核心素养

数学史与数学教育（简称HPM）是数学教育中重要的研究领域，其强调将数学史的演进历程融入数学教育中，从而让学生更好地理解学科知识的由来，以及背后重要的思想方法。HPM作为数学史与数学教育的融合，它的诞生说明了数学史内容存在独特的育人价值。数学史是研究数学产生、发展与规律的一门科学，简单地说就是追溯数学概念、方法和思想的形成过程[1]。新颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确提出，教科书设计要介绍数学文化、数学发展前沿等，要反映数学在自然与社会中的应用 [2]。可见，数学教科书中应当充分体现并编排数学发展史的相关内容，做到内容适宜、分布合理与融入巧妙。为此，研究者结合HPM视角深入剖析了教科书中数学史内容的育人价值，并总结归纳了西师版小学数学教科书数学史内容的基本特征，以此为实践教学提供实践参考。

一、小学数学教科书中数学史的育人价值

（一）明晰学科发展，锻炼理性思考

西师版小学数学教科书数学史所包含的内容比较广泛，例如杨辉、华罗庚、高斯等数学家及其成果介绍，田忌赛马等数学史趣闻故事，阿拉伯数字的由来等重要数学历史事件及相关数学背景材料。根据研究者自主统计，在西师版小学数学教科书中共涉及34处数学史料。这些数学史材料的涵盖面较广，可以让学生补充了解数学学科下统计概率、数与代数、图形几何等各二级学科领域的发展历程。然而，数学史知识内容的提供并非仅为了让学生理解学科发展史，更是为了让学生经由古代先辈们解决问题的数学方法学习，锻炼自身的理性思考，从而运用数学知识解决现实问题。因为数学学科发展中数系的扩充与趣味故事往往潜藏着数学知识的现实应用，而各类公式、定理的证明方式则包含着数学知识探究的各类思维方式。如果仅在教学中采用趣味性的游戏教学提升学生的兴趣，自然是浅表化、片面化。透过数学发展史，理解数学知识由来的基本方法与思路，看到数学知识与现实生活的关联并尝试进行实践，这才是数学史融入数学教育的关键价值所在。

（二）感受数学美感，涵养审美情趣

数学知识发展的内在驱动可能是各种数学思维应用，但其发展仍旧存在一个驱动诱因，即采用简约的符号进行表达与美的传递。如西师版小学数学教科书中的杨辉三角等展示了数学对称的形式美感，以及数学家华罗庚研究精神蕴含的实践美学，都可以作为让学生感受数学美感、提升审美情趣的重要素材。诚然，自“德智体美劳”五育并举的教育改革以来，如何在学科教学中渗透美育、深化育人功能成为实践落地的关键所在[3]。美育具有重要的功能，其不仅可以引导学生认识美、审辨美，并且还有助于学生创造美，生成健全的人格品质。数学作为一种自然科学家交流的符号与工具，其强调简约的形式表达[4]。这一方面导致了数学教科书中的数字符号和概念命题等具有极强的抽象性，另一方面也造就了教科书在选择相应的数学史内容时，不可避免地会涉及形式简约的美学要素，以及为追求简约与表达而强调的数学家奋斗与实践美。例如，在学习五年级下册“古老的方程”中，学生会发现人类对于方程的研究由来已久，为了找到等量关系构建平衡的方程式，这不仅体现了平衡、和谐的方程形式之美，也可由此通过数学史探究激发学生发现美，在欣赏数学知识美的同时增进创造美的能力。

（三）体验数学精神，促进德性养成

如上文所述，教学中充分利用教科书中的数学史内容进行渗透转化，能够提升学生创造美的基本能力。这在一定程度上就促进了学生透过数学发展的历史长河，感受先辈们进行数学研究的精神，从而熏陶自身德性的养成。尤其是教科书中大量数学家的故事，能够让学生从中深度了解并模仿，进而影响自身必备品格的涵养[5]。详细说来，通过数学史的学习能够体现出如下两个方面的德性涵养目标。一方面，数学史中大量的事迹有助于引导学生养成正确的数学精神。小学生自我判断能力比较差，但是他们的模仿能力比较突出。而数学史含有大量的优秀数学案例，尤其是数学史中有关数学家的介绍，可以让学生形成崇拜数学家的感情，以此引导学生在日常学习中按照榜样的思维开展学习。例如，在西师版五年级下册的“陈景润与哥德巴赫猜想”教学中，可以让学生通过对哥德巴赫猜想难度的描绘与陈景润的简单介绍，了解到其人格魅力，从而激发学生学习数学、探索数学的精神。另一方面，数学史的学习能够让学生看到数学家通过对数学方法应用，解决现实生活问题、为人们生活谋福祉的基本过程，从而在一定程度上理解数学学习的价值取向。由此，在帮助学生进行价值判断的同时，涵养他们科研奉献、积极运用学科知识为自己及他人服务的良好品质。

二、小学数学教科书中数学史的内容特征

西师版小学数学教科书中数学史的内容主要通过数学史事件、数学概念、数学公式历史及历史命题展现，通过对西师版小学数学教科书的统计，数学史的整体分布较为均衡，仅低年级涉及数学史的内容略少。由于学生年龄、思维发展特征及接受能力的差异性，使得西师版小学数学教科书中的数学史在内容上呈现出知识难度的梯度性，即在各个知识点的呈现中，穿插数学文化内容。具体特征如下：

（一）注重图文并茂，深化数学知识

数学史在小学数学教科书中应用的最大价值就是激发学生学习数学的积极性，拓展学生数学知识面，增强学生的数学应用能力。数学是一门强调探索的学科，小学生具有很强的探索能力，因而如何将数学知识内化为体系是数学教学的核心要求。纵观西师版小学数学教科书数学史的展现形式，其更多突出了与生活实际的结合性，让学生将生活中的情境与数学知识相结合，以此提高對数学知识的把控力。西师版小学数学教科书中数学史的内容与小学数学教学的重心相符，能够激发学生实践应用的动力。经调查在西师版中一共有34处数学史料，通过对比新旧教科书版本可以看出新教科书中增加了部分数学史教学内容，就数学史的内容而言其与社会生活的联系更加紧密;根据统计，教科书中作为补充数学史资料与背景知识的内容为17处，占据了50%的比例。可见，数学史更多作为学生学习的延伸性资料在教科书中予以呈现，借由补充追问学科发展来深化数学知识。而相较于人教版小学数学教科书中大多以补充性板块“你知道吗”进行呈现，西师版教科书则占据着大量版面，并单独列出。此外，数学史内容多以图文为载体，这样更加符合小学生的学习特点。在小学数学教科书数学史板块中，关于数学原理的介绍更多的是通过图文并茂的方式展现的，这样符合小学生的学习特点，通过图片的辅助可以加深学生对数学历史的理解程度，激发学习热情。A0A7CFF6-7C29-4613-BA6E-9A87051CAEC8

（二）多板块呈现，覆盖面较广博

西师版小学数学教科书主要以数学家趣事、数学原理、数学公式历史等呈现数学史内容，丰富的板块可以为学生提供广泛的学习素材，激发学生学习的积极性。具體而言，一是数学史的内容类型较多。有学者调查分析发现，西师版数学教科书中数学家趣事介绍的比例为24.2%，经典数学问题或历史事件的比例达9.1%，数学成果的比例为18.2%，相关数学知识背景资料达48.5%;其中涉及数与代数的比例为70.5%，图形与几何的比例为26.5%，统计与概率的比例为3%[6]。因此，所涉及的板块比较多，基本涵盖小学阶段数学的所有知识点，能够突出数学实际应用能力培养的要求。二是数学史所涉及的国家更多地突出中国古代的数学知识。经统计西师版小学数学教科书的数学史料更多以中国为主，含有德国、英国、法国及古希腊。可见，数学史分布国度比较广泛，这与当前小学数学教学的核心目标有关，通过多元化的数学史料可以进一步丰富小学生的视野，尤其能将多元化的文化学习元素展现给学生，让学生在数学学习中既理解多元文化中数学知识的稳定性，也能涵育他们的家国情怀。三是数学史的展现方向比较丰富，提高了覆盖面。西师版小学数学教科书中，关于数学史的介入在小学高年级较多，且贴近生活实际，丰富生动，符合小学阶段教学任务，能够让学生体会到数学知识的重要性，增强应用数学知识的意识。

（三）遵循认知规律，编排螺旋上升

小学生认知能力、接受知识水平的差异性要求小学数学教科书的内容必须遵循学生的差异性原则，采取螺旋式上升的结构模式[7]。通过观察分析西师版数学教科书数学史的内容设置情况，可以清晰地看出数学史内容设置上体现了以下特点：一是数学史内容设置以学生的认知规律为导向，突出学生的学习兴趣。小学生具有天生的好动性，随着年龄的增长及接受文化的增多，他们对数学探索的欲望也会不断增加。因此，在西师版小学数学教科书中数学史的设置，在第一学段主要以游戏和简要的背景知识介绍为主，符合小学一二年级学生的特点：他们对枯燥的知识不感兴趣，因此通过游戏设置可以让他们在游戏中获得知识。第二学段则是根据高年级学生具有一定的认知能力和判断能力，以推理和数学阅读为主要方式进行教学，这样能够满足学生的数学探索欲望，培养他们的发散性思维。二是在数学史融入上突出了隐性与显性相结合的方式。具体而言就是在小学低年级主要通过显性的引入方式，让学生对数学史有一个清晰的了解。而隐形的引入则是通过对不太明显的人名、地名的知识引入，让学生形成一定的探索欲望，调动学生的课堂学习积极性。

三、小学数学教科书中数学史的教学建议

数学史内容作为激发学生学习热情，扩展他们知识广度与深度的重要元素，在教学中进行巧妙转化与教学渗透显得尤为重要。就研究者自身的体悟而言，西师版数学史教学过程中易受教学课时、学生参与积极性，以及教师自身知识结构等诸多方面因素的影响，进而难以完成教科书知识调适或创生的教学转化。基于此，结合新课标核心素养的育人理念，建议从如下方面入手优化数学史教学。

（一）适时补充数学史，响应学生兴趣探究

只有理解人类如何获得事实或概念的知识，我们才能对孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断[8]。数学是一门追求探索的科学，数学知识是自由的，数学文化应该是根植于学生内心的。虽然西师版小学教科书数学史内容是根据教学知识进度安排的，但从内容契合度上而言，其存在内容之间过渡、衔接的不顺畅。以五年级上册教科书“小数点惹的祸”为例，课堂中对于数学严谨性的认识会更上一层，但从活跃的氛围到严谨的一般教学过程着实单调了些。这时候，教师可以尝试讲述阿尔·花拉子模的故事，告诉学生他的生平事迹，及其解决的相关问题。最后，从乌兹别克斯坦印发的该数学家邮票作结尾，让学生体会到数学研究对于国家与社会具有重要意义，在锻炼他们严谨表达数学符号的同时，埋下了学生对数学专业知识探索的种子。

（二）整理经典数学史，设置专业学习活动

基于核心素养理念的课程改革逐步推进，尤其是“双减”政策实施后，小学数学教学的功利性色彩越来越淡化。但是，针对数学教学中所存在的教师对数学史理解与应用能力不足的问题，学校需要加强教师研学培训，提升教师的数学史素养：一是要加强教育培训，让教师树立正确的数学文化理念。数学理念是开展数学教学工作的基础，在数学教学中教师树立怎样的数学观念就会有怎样的教学活动。数学史已然列入西师版数学中，因而在教学中不应当出现教师不重视该环节的现象，而应当充分认识到数学史的育人价值。因此，学校要立足于实际，加强对教师数学文化理念的引导，让教师充分认识到数学史的重要性，并且利用数学史章节调动学生的积极性。二是整理经典数学史，设置专业学习活动，用于提升教师的数学史教学技能。数学史属于西师版教科书重要的内容，其应该渗透到具体的数学知识体系中，这样既能满足学生学习需求，又能拓展小学数学教学的内涵。由于数学史所涵盖的内容比较丰富，如涉及人文、历史等，因而要求教师加强整理记录与新技术学习。例如，教师在上课前要做好备课工作，通过网络等平台收集数学知识资料，及时掌握数学史的拓展知识点与应用信息技术展示数学史的新方法。

（三）渐进组织数学史，设计学科实践活动

数学史教学的重要目标就是增强学生实践应用能力，教师可以通过丰富多彩的社会实践活动增强学生对数学史的应用：一方面，以组织学生积极参加社会实践活动的方式，学习、把握教科书中有关数学史的知识体系。例如，在学习圆周率时，组织学生开展系列的圆周率实践调查活动，让学生到图书馆、科技馆等观察圆的规律。另一方面，学校还可以组织各种演讲比赛，通过演讲比赛让学生得到对信息再加工的技能，并围绕数学史知识，要求学生谈谈自己的感悟。学生可以从祖冲之的圆周率计算比外国早一千年而获得民族自豪感，可以从陈景润等人研究数学奥秘的辛苦中获得探索的勇气。另外，教师还要巧妙设置考核，实现对学生的综合评价。具体的考核方式：一是教师通过试题的方式进行考核。如教师可以将数学史中的相关知识点以试题的方式纳入平时的训练中，这样既能检验学生的掌握情况，也告知学生此种题目非常重要。在学生学习完四年级的格子乘法之后，教师则可以按照要求让学生用画格子的方式求出两数相乘的结果，调动学生学习数学史的知识。二是通过比赛的方式让学生参与到数学史的学习过程中。如在一年级“七巧板”中，教师组织比赛让学生参与进来，通过比赛的方式调动学生的学习积极性，培养他们的创造性思维。

[参考文献]

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[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[3]马维林.家国情怀视域下高中历史教学审美化建构[J].中国教育学刊，2022（03）：14-20.

[4]陈兵.适应：数学符号意识培育的应然路径[J].中小学班主任，2021（18）：43-44，49.

[5]祖丹，孔凡哲.数学必备品格的组成要素分析：基于数学家的视角[J].天津师范大学学报（基础教育版），2020，21（02）：59-65.

[6]沈佳.小学数学教材中数学史内容的比较研究[D].杭州：杭州师范大学，2018.

[7]刘令，徐文彬.我国小学数学教科书中数学史料的分析与建议[J].天津师范大学学报（基础教育版），2008，9（02）：43-47.

[8]波利亚.怎样解题[M].北京：科学出版社，1982.A0A7CFF6-7C29-4613-BA6E-9A87051CAEC8