探究数学思想在初中数学解题中的应用

赵若彤

摘  要：数学思想是沟通数学知识间内在联系的桥梁，数学思想方法的教学有利于素质教育。因此，教师在数学教学中要转变教学模式，有意识地渗透数学思想，将数学思想在数学解题中的应用教给学生，为解决复杂的数学问题提供了一条新的思路，进而为提高数学教学效果和质量奠定良好的基础。

关键词：数学思想;初中解题;教学

一、数形结合思想

初中常用的数学思想方法有很多，而数形结合思想具有数学学科的鲜明特点，是解决许多数学问题的有效思想.所谓数形结合思想，即将抽象的数学语言与其所反映的图形结合起来考查，以形助数巧解代数问题，以数助形巧解几何问题，从而促进抽象思维和形象思维有机结合。利用数形结合思想可使初中数学中的复杂问题简单化，抽象问题具体化，数形结合思想解题可分两类：

（1）利用几何图形来表示数的问题，常借用数轴、函数图象等解决;（2）运用数量关系来研究几何图形问题，常常要建立方程（组）或建立函数关系式等。

例 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是多少？

问题分析：首先从数轴上a、b、c的位置关系可知： c<a<0; b>0且|b|>|a|，接着可得a+b>0，c-b<0，然后化简|a+b|-|c-b|，最后得出结果.

我认为数形结合思想是贯穿数学课程的主线，是一种重要的数学思想。它是在一定的数学知识，数学方法的基础上形成的。它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，解决数学问题能起到促进和深化的作用。

二、分类思想

所谓分类思想，就是将数学对象分为几类，分别进行讨论来解决问题的一种方法。分類思想有助于学生进行归纳总结，让学生所学的知识加固条理化，提高思维的概括性。

例 某超市推出如下优惠活动。方案：A.一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折。B.一次性购物超过300元一律8折。C.一次性购物不超过100元不享受优惠。小兰两次购物分别付款80元和252元。若她一次性购买和前两次相同的商品，则应付款多少钱

A.288元 B.332元C.288元或316元 D.332元或316元

问题分析：第一次购物显然没有超过100，因为如果超过一百元的话，那么按打九折，实际消费应为88.88元，因此第一次实质购物价值为80。设第一次实质购物价值为x，则：

①x不超过300，则x×0.9=252得x=280那么该付款（x+80）×0.8=288

②x超过300，则x×0.8=252 得x=315那么该付款（x+80）X0.8=316

分类思想不是通过几节课的教学就能使学生掌握的。教师应当让学生在数学学习的过程中形成对分类思想的主动应用。学生在日常的学习中也应当注意基础知识的学习，稳扎稳打，才能增强自身的数学知识能力。初中的数学越来越注重抽象思维能力的培养，这就需要学生认真对待数学基础知识的学习，从最开始就学好数学的基本内容。学生不仅要掌握数学思想在题目中的具体运用，也要善于学习与巩固基础知识，在学习过程中，学会归纳整理初中数学中重要的定义、定理和公式，利用课余时间消化好这些数学的基础知识，以更好的状态备战中考数学。

三、换元思想

说到换元思想，我想大家都不陌生，这是我们数学生涯中的老伙计了。即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），变量求出结果后，返带回去就能求得原变量在问题中的结果了。这样能使复杂的问题简单化，明朗化;换元法又称变量替换法，是我们解题常用的方法之一。利用换元法，可以化繁为简，化难为易，从而找到解题的捷径。说白了就是把一堆乒乓球装进一个透明的盒子里，然后拿盒子去进行后面的运算，这样既可以简化问题，又可以用这个盒子来表示那个整体的各个部分。但其实盒子是不存在的，只是起到最后把乒乓球解放出来的作用。近来一直在看华师大第四版的数学分析，那么姑且就用其中求不定积分的换元法来举个例子罢，这样也能加深读者对换元法的理解与使用。

那么最后一步我们要做的就是将x=asint带入到上式中，将它变为关于x的式子，即可求得原式的积分解：

我们不难发现，经过换元法变换后的式子由于甩掉了根号这个讨厌的东西，使得其比原式要简洁得多，那么自然也简化了之后的计算过程，直让人高呼其妙，或许这就是换元法的独特魅力吧。我们在做题的过程中不仅要知道使用换元法这一强有力的工具，更要学会如何换元，也就是说怎样把一个复杂的东西换做一个简单的适当的能够简化我们解题步骤的东西。我想我们知道换元这个方法很容易，但如何应用还需要我们知识的积累与掌握。在学习过程中，我们可以多积累一些常见的换元公式，熟能生巧，见得多，做得多，理解的透彻了，我想我们心中自然会形成关于换元这个方法的独到见解。

参考文献

[1]夏忠仁.数学教学中的分类思想[J].数学大世界（教 师适用），2010（5）.

[2]张奠宙.对《数学课程标准》的理念部分意见[J].数学通报，2005（12）. W