把握数学概念本质 促进学生深度体验

闫巍　王玉

教学内容：人教版四年级下册第五单元第60、61页。

教学目标：

1.通过操作、观察、比较等活动，使学生认识三角形，知道三角形的特征。

2.知道三角形底和高的含义，掌握三角形的高的画法。

3.知道三角形的稳定性及其在生活中的应用，感受数学与生活的联系。

教学重、难点：经历三角形概念的形成过程，理解三角形高的概念;能够理解三角形的高与底的对应关系;学会画高。

教学过程：

一、联系生活，情境导入

师：同学们，你认识这些世界知名建筑吗？（出示图片。）在这里找到我们熟悉的平面图形了吗？（生答三角形。）

师：是啊，三角形在我们生活中十分常见，这些建筑中为什么都出现了三角形呢？这仅仅是一个巧合吗？相信学完这节课之后，同学们一定能明白其中的道理。

二、结合经验，探究新知

1.操作感知，理解概念。

师：你认为什么样的图形是三角形？（生答。）就像同学们说的，每个三角形都有三条边、三个角和三个顶点。看来同学们对三角形有了初步的了解，能不能根据你对三角形的了解在纸上把它画出来呢，并介绍一下你是怎么画出三角形的？

生：我画了三条线连在一起。

师：是这样吗？（给出错例，端点没紧连在一起。）

师：谁能讲得更清楚一点？是三条怎样的线，怎样连的？

生：三条线段首尾相接，就是每条线段的端点依次相连，围起来。

师：谢谢你，在你的帮助下，老师画出了一个正确的三角形。现在再来说说什么样的图形叫三角形？

生：由三条线段围成的图形叫做三角形。

师：谁还有补充吗？

生：我想补充，必须是每相邻两条线段端点相连，才能叫做三角形。

师：你认为三角形的概念中哪个词语最重要（线段、围成、相邻线段端点相连。）

师：跟你的同桌说一说什么叫三角形。指一指下面图形中哪些是三角形呢？（生判断。）同学们在画三角形的时候都是这样画的吗？

生：也可以先点出三个点（不在同一直线上），然后连接。

师：为了更方便，我们可以用大写字母表示三角形的三个顶点。如果在三角形的三个顶点上分别写上字母A、B、C，那么这个三角形就是“三角形ABC”，可以写作△ABC。请在自己画的三角形中标出三角形的顶点、边、角。

2.认识三角形的底和高。

师：动物园正在修建大门，你能帮助长颈鹿和小乌龟设计一个三角形的门吗？长颈鹿的门高在哪？能设计一下小乌龟的门吗？这扇门的高在哪？

师：你认为这个门的高在哪呢？AB是门的高吗？

生：不是。AC才是门的高，必须是从A点引出的一条垂线。

师：同学们，像我们刚才这样，从三角形的一个顶點到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

师：现在老师转动三角形，AC还是它的高吗？

生：是。不管三角形的位置怎么变，只要是从顶点到对边的垂直线段，就是三角形的高。

师：同学们，刚才两位同学所说的三角形的两条直角边AD、AE是不是它的高呢？

生：是。我们可以看成从点D向对边AE引一条垂线，那么垂直线段就是DA，所以AD是三角形的高。

小结：如果三角形的两边所夹的是直角时，这两条边就是三角形的高。

师：刚才我们已经认识了三角形的高，你会画吗？怎样画以BC为底的高？（课件出示△ABC。）

生：从A点出发，向BC做一条垂直线段。

师：（去掉AB、AC两条边）同学们，这是我们学过的什么知识？

生：这是我们以前学习的从直线外一点向已知直线做垂线。

师：对，那么画高的时候我们要注意什么呢？

生：要用虚线画高。

生：要标注直角符号。

生：标好对应的底与高。

师：如果不给对应底，就是画三角形的高，你还能画出来吗？能画出几条？同学们试一试，然后和你小组的同学交流一下。（三名学生分别展示以AB、AC、BC为底的高。）

师：现在我把这三名同学的三角形重叠起来，看，你发现了什么？

生：老师，我发现三角形有三条高。

师：为什么呢？

生：因为三角形有三条边，每条边都可以作为底。

小结：通过观察探究，学生发现三角形有三条高，当三角形没有给出固定底时，三边都可以作为三角形的底。一个底对应一条高，所以有三条高。

生：我发现三角形的三条高相交于一点。

师：太棒了，这是我们今后要学习到的知识。

师：如果是钝角三角形呢？也是三条高吗？

生：也是，只不过有一条高在外部。

（师出示钝角三角形。）

师：你觉得最后一条高在哪里？

生：我们可以把这条边延长，然后做一条垂线，高就在这里。

师：因此我们得到结论，任意的三角形都有三条高。

师：你能画出底为6厘米、高为3厘米的三角形吗？

（几名学生展示不同形状的三角形。）

师：仔细观察这些同学所画的三角形，你发现了什么？

生：我发现底和高的长度固定了，但是三角形的形状未必相同。

三、三角形的特性

师：我们要加固动物园房屋，用哪一种图形方式更好？

生：三角形。

师：为什么？

生：因为三角形有稳定性。

师：老师带来了一个三角形，谁到前面拉一拉。三角形为什么这样稳定呢？到底是什么确定了它的形状和大小呢？请同学们拿出小棒摆三角形和四边形。

师：同学们，仔细观察你发现了什么？

生：摆出来的三角形的形状大小都一样。

师：这是为什么呢？请同学们观察，你们用的小棒有什么特点？

生：用的小棒长度都一样。

师：你能用这些小棒摆出形状或者大小不同的三角形吗？

生：能。

生：不能，都是一样的形状，只不过是三角形的方向发生了变化。

师：都是同样长的小棒，为什么四边形能摆出这么多种？这是怎么回事呢？

小结：四边形虽然长度确定了，但是角度发生了变化，使得形状随之改变。但是三角形的三条边长度确定了，这个三角形的大小和形状也就完全确定了。因此三角形具有稳定性。

师：我手里的四边形总是摇晃，你能想一个方法让这个四边形不摇晃吗？

生：加上一根木条就行。

师：在哪里加上才好呢？

生：我想把木条加在这里。（生指出平行四边形的对角线。）

师：你来试一试。

（生到前面演示。）

师：真的不晃了。谁能说说现在为什么不摇晃了？

生：因为变成了两个三角形了。三角形具有稳定性。

师：生活中哪些地方还用到了三角形的稳定性？

生：篮球架运用的是三角形的稳定性。

生：摄像机的三脚架也应用了三角形的稳定性。

师：同学们真善于观察和思考，其实三角形的稳定性在生活中的应用非常广泛。

结语：同学们，现在你们了解设计师的意图了吗？相信通过今天的学习，加上你们以后的努力，老师相信在不久的将来你们也一定能够像这些建筑师一样，创造出令人叹为观止、流传千古的建筑奇迹。

评析：

三角形的认识是学习平面图形知识的起点，是研究其他几何图形的基础，在实践中有着广泛的应用。本节课是在学生已经直观认识了三角形和学习了线段、垂线段、角的基础上进行教学的，是认识三角形的第二阶段。本节课的教学主要包括三角形的定义、各部分名称、画高等内容。整个教学过程始终围绕教学目标展开，层次清楚，环节紧凑，并注意引导学生通过观察、分析、動手实践、自主探索、合作交流等活动，自主探究知识。

1.画三角形，深化概念内涵

学生对“围成”“每相邻的两条线段端点相连”等数学化的描述难以体会其内涵。为了引导学生体会三角形是“封闭图形”，教师设计了画三角形的活动，使学生产生认知冲突，再通过比较以及对错例的评析，使学生认识到了三角形必须具备两个条件：（1）是否具有三条线段;（2）是否围成封闭的图形。这样的教学设计体现的是学生的学习过程，学生在汇报过程中通过画、标、讲、议等活动把原本模糊不清的概念，逐渐清晰化。

2.研究高，突破教学难点

教师把教材中“介绍高”的定义创新设计成研究高的活动。首先通过给小动物设计门的活动引出高的概念。当三角形转动起来时，学生跳出了认知的误区，不再受高的位置的影响，用动态的眼光看静止的知识。这样不仅深化了学生对三角形高与底的概念建构，突出高的概念的本质特点，还促进了学生对高的知识的内化。在教学画高时，通过去掉AB、AC两边，还原了三角形做高的原点，充分利用了学生原有的认知结构，有机地借助新旧概念之间的密切联系，予以迁移。最后进一步探讨锐角三角形的三条底及其对应的高，并拓展到直角三角形、钝角三角形的高，让学生进一步感知平面图形中高的概念，有效突破了教学难点，让学生对三角形的高有了比较全面、透彻的认识。

3.围三角形和四边形，凸显特性本质

三角形的稳定性是指当三角形的三条边的长度确定时，三角形的面积、形状完全被确定。教师首先让学生拉动三角形，亲身体验三角形稳定性的表面特性。接下来通过围一围的活动探究三角形稳定的内因。在围的过程中，学生发现，所有的三角形形状、大小一模一样，而四边形形状各异、大小不一，水到渠成地体会了三角形的稳定性是其结构的稳定。最后应用三角形的稳定性固定四边形，使学生深刻地体会到数学知识来源于生活、应用于生活的道理。

教师着眼于概念的建构、特性的认识、空间观念的培养等目标开展教学，有效地帮助学生建构了关于三角形的概念及空间表象。当然本节课也存在不足之处。在课堂上我们可以增加一些生生互动学习。比如，在研究三角形的概念时，可以让学生通过全班交流提取关键词，进一步感知“围成”的实际意义。然后通过小组同学之间的交流，由学生逐步概括出三角形的定义，在交流中进一步体会数学概念的简洁、准确、严密，为今后平面图形的研究打下基础。

编辑/魏继军