探索求极限方法在数学分析中的应用

朱炎

摘要：极限思想在数学学习过程中具有至关重要的作用，本文通过总结归纳现阶段几种常见的求极限方法，具体说明求极限方法在数学分析中的应用.

关键词：极限理论;数学分析;极限求解;函数极限

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0075-03

1 极限思想在概念中的应用

极限思想贯穿了整个数学分析过程，也是解决数学问题必不可少的方法之一，可以巧妙地解决各类问题.因此，在具体应用前，必须掌握极限的概念和具体思想内容.由上可知，极限的概念是动态变化的，会根据具体变量和过程发生变化，以函数为例，如果定义函数在某点连续，就是当自变量增量趋于零时，那么函数值的增量趋近于零，如果是对导函数进行定义，就是当自变量增量趋于零时，函数增量和自变量增量比的极限值.极限思想就是要在解决数学问题过程中，先确定未知量的近似值，然后根据近似值的具体趋向，确定量的具体数值.因此，掌握良好的极限求解方法是数学分析的关键环节，在参考现有的例题内容后，从公式、定义、法则、性质这几个角度出发，确定具体的求极限方法.

2 极限理论在数学分析中的作用

极限的定义并不是一成不变的，需要根据不同类型变量、过程进行确定，而受到变量和过程多元化特点的影响，极限的形式和定义也并不固定.在这样的情况下，只需要了解常见、重要的极限形式，以此为中心进行拓展，就可以掌握其他极限形式，进而科学地展开数学分析活动.极限思想贯穿了数学分析过程的始末，这一点在很多数学著作中都有所体现，在实际应用过程中，借助这一思想将变量和常量、有限和无限之间的统一关系直观地表现出来，也是唯物辩证法对立统一规律在数学分析中的具体实现.

数学分析的主要作用在于解决初等数学无法解决的问题，如，瞬时速度、曲边形面积、曲边形体积等内容，有赖于微积分的发展，极限思想得到了完善，相应的概念体系规范化、系统化，目前已经成为了数学求解中的主要内容.作为数学分析的重要组成部分，在很多数学问题上都可以利用极限思想进行分析.由此可见，极限理论在数学分析中占有着重要位置.从实际应用情况来看，极限思想引出了连续函数、导数、定积分、多元函数偏导数等重要概念，数学分析之所以可以解决初等数学无法解决的问题，正是因为其采用了极限思想方法.

3 极限理论在数学分析中的应用

数学分析是数学体系的重要分支，而极限理论是数学分析的核心基础，作为重要的数学工具，必须要让其得到科学的应用.极限的定义的如下：

limn→∞an=aε> 0，N，当n>N，有| an-a |<ε.

从文字的角度来看，ε>0，|an-a|<ε描述数列{an}和a的接近程度，极限理论中{an}在变化时无限趋近于a.而N，n>N 则表示在n>N这一时刻后，an和a的绝对值之差小于ε.在实际判别过程中可以采用连续性定理、夹逼定理、柯西准则等方式进行判断，这也是最常见的求解极限的方法.此外，初等函数的连续性、泰勒公式、定积分求和式极限、级数收敛的必要条件等也是求解极限的常见方式.以洛必达法则这一求解方法为例，其常见于00和∞∞这两种模式的求解中，如limx→0sinxx=limx→0 （sinx）′x′= limx→0 cosx1= cos0=1，这就是一种00型模式，通过对分子和分母的求导，完成极限求解，最终得到结果.∞∞型的求解方法也是如此，但需要注意的是，这种方法仅适用于导数存在的形式.

4 求极限方法在数学分析中的具体应用

4.1 利用定义求极限

根据前文分析，对极限的定义有了一定的认识，前文中主要介绍的是数列极限的概念，在对极限进行定义的过程中，还可能应用到函数知识，具体分为两种定义方式，分别为：函数f（x）在x0某一去心邻域内和在|x|大于某一正数时，两者均有任意给定正数ε，总存在正数δ.前者需要让0δ中所有x对应的函数f（x）满足|f（x）-A|<ε，此时A就是函数f（x）在x→x0时的极限值.

例1求解极限limx→4（x2+1）.

解析根據前文的定义，该函数极限符合x0某一去心邻域要求，因此有任意给定正数ε，总存在正数δ，需要让其满足0

4.2 利用法则求极限

例2求解极限limx→4x2-3x-4x3-3x2-10x+24.

解析已知函数分子分母极限为0，那么可以通过因式分解的方式去除共同零因子，进而借助四则运算法则完成求解，最终得到的结果为514.具体的求解过程如下：

limx→4x2-3x-4x3-3x2-10x+24

=limx→4 （x-4）（x+1）（x-4）（x-2）（x+3）

=limx→4（x+1）（x-2）（x+3）

= limx→4（x+1）limx→4（x-2）·limx→4（x+3）.

需要注意的是，在应用四则运算法则前，必须要保证每个因子均存在极限，或者变形后存在极限，同时分母极限不能够为零.任何一个条件不满足都不能够应用这种计算方式.

两个准则主要为夹逼准则和单调有界准则，常用于数列极限求解.前者主要是通过函数h（x）找出两个极限相同的一大一小函数f（x）和g（x），进而就可以得到极限.后者主要是借助数列的单调性和有界性，利用通项递推公式和极限的唯一性求解极限.因此，单调有界性准则中要求单调有界数列必须有极限，且极限唯一.前文对洛必达法则进行了一定的介绍，这是一种未定式极限，利用两个无穷小量或者无穷大量的比求出极限，主要是以导数为工具展开研究，同类型包括0-∞，∞-∞，∞0，00等都属于此类型，可以进一步转换为00和∞∞型.在利用该法则进行求解的过程中，必须要满足以下两个条件：（1）函数f（x）和g（x）均可求导，且函数g′（x）≠0;（2）limf ′（x）g′（x）存在或者无穷大.

4.3 利用公式求极限

利用公式求极限的过程中，主要包括两个重要的极限公式法、泰勒公式法这两个方面.前者主要借助了三角函數的“00”型未定式和“1∞”型未定式.

例3求解极限limx→0sinx32x.

解析从三角函数的“00”型未定式出发，将x3视为一项，具体求解过程：limx→0sinx32x=limx→0x3·sinx32x4=limx→0x32x·limx→0sinx3x3，最终得到极限值为0.

例4求解极限limx→0x（1+3x）

解析limx→0x（1+3x）=limx→0（1+3x）13x·3

=limx→0（1+3x）13x3=e3.

需要注意的是在利用这两个重要极限公式的过程中，必须要慎重观察函数形式是否符合未定式形式，如果不符合，则证明求解过程中存在错误，或者该极限思路并不适用于这一数学分析过程.

在利用泰勒公式求解的过程中，先利用这一公式将函数展开，然后再利用普通的求极限方式进行计算分析.实际上，泰勒公式对一些较为复杂的求极限过程具有化简作用.在实际应用过程中，函数f（x）需要在x=0时，存在n+1阶连续导数，在此基础上，可以进一步展开处理.

例5求解极限limx→0ax+a-x-2x2（a>0）.

解析按照泰勒公式，对该函数进行化简，就可以得到ax和a-x的具体数值，进而按照具体的简化步骤进行求解.

ax=exlna=1+xlna+x22ln2a+…+R，

a-x=e-xlna=1-xlna+x22ln2a+…+R，

最终得到limx→0ax+a-x-2x2=limx→0xln2a+Rx2=ln2a.

4.4 利用性质求极限

除了上述几个方法之外，利用性质也可以求解极限，主要分为无穷小量性质法、函数连续性法.以无穷小量性质法求解为例，在该性质中有三点性质和极限有关，只要符合这三点性质，就可以利用无穷小量的性质解决相关的极限问题.（1）有限无穷小量的代数和为无穷小;（2）无穷小量与有界函数的乘积为无穷小;（3）有限无穷小量的乘积为无穷小.

4.5 其他求解方法除了上述几个方面之外，也可以利用微分中值定理、积分中值定理完成极限求解.这两个定理内容也较为相似，都需要函数f（x）在闭区间＼[a，b＼]内连续，但微分需要其在开区间（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），而积分则需要函数g（x）在区间＼[a，b＼]内不变号且可积，至少存在一点ξ∈（a，b）.定积分法也是求解极限的一种模式，主要是利用定积分的定义进行极限求解，将定积分划分成和式极限的形式，完成求解过程.反之亦然，在求解和式极限的过程中也可以将其转化为定积分的形式.综合来看，微分中值定理、积分中值定理，实际应用中可以提高解题效率，简化解题步骤，解题准确率也会得到大幅度提高.

综上所述，数学分析中求极限的方法众多，但每个方法都具有一定的局限性，在实际使用过程中需要充分考虑到使用前提和具体条件，正确完成计算求解.通过对求极限方法的归纳分析，明确不同方法的求解条件、内在条件，以及不同方法之间的内在联系，让求极限方法在数学分析中得到灵活的应用.

参考文献：

[1] 王健.求极限方法在数学分析中的应用分析[J].山西青年，2018（16）：236.

[2] 罗琼.关于极限问题中常数的确定方法探析[J].内江科技，2019，40（05）：56+92.

[责任编辑：李璟]