保鲜成本分担下资金约束生鲜品供应链协调

李玲

摘要：研究二级生鲜供应链协调问题，在有无资金约束情形下，讨论了供应链的最优决策。研究表明，当零售商资金短缺时，供应商会减少保鲜投入;有无延迟支付政策时，保鲜努力水平关于自有资金的增减性不一样;延迟支付政策能激励供应商增大保鲜投入但无法达到集中决策水平;单一收益共享契约无法协调该供应链，当联合契约参数满足一定条件时，在一定程度上缓解了零售商的资金约束，同时实现供应链协调。

关键词：保鲜努力水平;延迟支付;成本分担;收益共享

一、引言

随着经济发展，生鲜度是衡量生鲜品质量的重要指标也是影响市场需求的重要因素。据相关资料统计，我国生鲜产品的流通损耗率高达15%～30%，所以加大保鲜成本的投入已成为企业共识。此外，生鲜品零售商资金短缺的问题日益严重，零售商门店扩张，消费转型等方面需要付出更多的成本，导致其资金需求量较大，这从其长短期借款以及短期负债率可看出。在生鲜行业，延迟支付的案例也很多，如生鲜巨头——“永辉超市”也通过占用供应商的资金用于企业自身周转。

本研究与需求依赖新鲜度的生鲜供应链最优决策和协调文献相关，这类文献大多集中于考虑零售商保鲜以及确定性需求的情况。例如王磊等考虑确定性需求下，由零售商负责保鲜的情况并设计契约使最优保鲜努力水平达到集中决策。郑宇婷等则考虑由分销商负责保鲜，分别讨论了当零售价格和订货数量外生的情况下，分销商的最优保鲜努力水平。Dey等分别在动态和静态折扣环境下建立了需求受价格，库存水平影响的模型，确定了零售商的最优保鲜努力水平。Cai等则在保鲜水平影响销量的条件下，考虑了生鲜产品供应链的优化和协调问题，结果表明由供应商投入保鲜努力将提高供应链利润和产品新鲜度。

二、问题描述与模型说明

考虑一个由供应商和资金约束的零售商构成的二级生鲜农产品供应链，由于生鲜农产品具有易腐性等特点，需升级保鲜设备等来提升产品新鲜度，此时市场需求为d=θ（e）+ξ。供应商保鲜投入成本为c（e），其中c′（e）>0，c″（e）>0，随机扰动项ξ概率密度和概率分布函数分别为f（ξ），F（ξ），设失效率函数为h（ξ）=f（ξ）/F（ξ），且随机变量的分布满足失效率递增，设零售商的自有资金为B，融资额为K。本文考虑供应商生产单位成本为c的生鲜农产品，并负责保鲜。例如：北京四季优选农场引入保鲜车辆，研发生鲜保温“青流箱”等来提升产品送达零售商的新鲜度。零售商根据供应商保鲜努力投入信息来确定自身订购量q。文中提出以下假设条件。

假设1：“批发价格w为外生变量，由市场竞争决定。

当生鲜产品供应比较平稳时，其批发价格 保持稳定，该假设符合现实情况。Gupta等人在优化生鲜供应链时，假设批发价格为定值，由市场竞争情况决定。

假设2：生鲜品新鲜度函数为θ（e）=ke。

其中，e为供应商的保鲜努力水平，k>0为保鲜努力系数。其中Cai等假设，新鲜度θ是关于努力水平e的增函数。

为方便下文比较分析，先计算无资金约束下的最优订货量和保鲜努力水平。在集中决策下，将整个供应链视为单一企业，确定订货量q和保鲜努力水平e。此时供应链的利润函数如式（1）所示。

π=E[pmin{θ+ε，q}-cq-c（e）]（1）

此时E[π（q，e）]是关于q和e的严格凹函数，故存在唯一最优解（q**，e**）。集中决策下最优订货量q**和e**满足式（2）和式（3）：

F（q**-θ）=c（2）

c′（e**）=k（p-c）（3）

下面在无资金约束时讨论分散决策问题，首先讨论零售商的决策，再讨论供应商的决策。分散决策下，企业均以自身利润最大化为目标来确定最优决策值，当零售商订货资金充足时（B≥wq1），零售商利润函数如式（4）所示，为方便计算，令p=1。

π■■=E[pmin{θ1+ξ，q}-wq]（4）

零售商最优订货量如式（5）所示。

？鄣π■■/？鄣q1=pF（q1-θ1）-w（5）

上式对q1求二阶导数可得？鄣2π■■/？鄣q12=-f（q1-θ1）<0，故存在最优解q1*：

F（q1*-θ1）=w（6）

分散决策下，供应商的利润函数如式（7）所示为：

π■■=（w-c）q1-c（e1）（7）

式（6）两边同时对e1求导可得？鄣q1*/？鄣e1=k，式（7）对e1求导可得dπ■■/de1=（w-c）k-c′（e1），因為d2π■■/de12=-c″（e1）<0易知，供应商的最优保鲜努力水平e1*满足下式：

c′（e1*）=（w-c）k（8）

此时，若供应链实现协调，则有p=w=c成立，这与现实不符，所以无资金约束时供应链不能实现协调。

三、资金约束决策分析

（一）无延迟支付决策分析

当零售商存在订货资金约束时，即自有资金小于订货成本（B<wq1），此时最优订货量q2满足，0<q2≤B/w，零售商的利润函数如下所示。

π■■=pmin{θ2+ξ，B/w}-B（9）

零售商最优订购量为q2*=B/w，供应商的利润函数为：

π■■=B-cq2-c（e2）（10）

供应商的最优保鲜努力水平e2*=（B/w-F-1（w））/k，若使供应链实现协调，则应满足B/w=q**，又因为B/w<q1，且q1≠q**，所以资金约束时供应链也不能实现协调。

命题1：当零售商存在资金约束时，有如下结论：

1. 无资金约束下零售商的利润更大，即E[π■■]>E[π■■]。

2. 供应商保鲜努力水平e是关于B的增函数;是关于保鲜努力系数k和批发价格w的减函数。

证明：分别将q1*和q2*带入式π■■=E（pmin{θ1+ξ，q}-wq）和π■■=pmin{θ2+ξ，B/w}-B得π■■=（p-w）q1*和π■■=（p-w）B/w， π=π■■-π■■=（p-w）（q1*-B/w）由B<wq1可知B/w<q1，故π>0;由式（2）可知，q1*=θ1+F-1（w），设存在资金约束时，生鲜品的新鲜度为θ2，在同等新鲜度条件下，资金约束下的最优订货量将小于资金充足时的订货量可得：B/w≤θ2+F-1（w）;此时，供应商的最优保鲜努力水平e2*=（B/w-F-1（w）/k。显然地，？鄣e2*/？鄣w1=（B/w12+1/f（1-w1）/-k<0），所以保鲜努力水平是关于批发价格w1的减函數。由e2*表达式可看出保鲜努力水平随着零售商自有资金的增大而增加，随着保鲜弹性系数和初始新鲜度的增大而减小，无资金时的自有资金最大，所以保鲜努力水平e1*>e2*。

（二）延迟支付融资策略分析

当零售商存在资金约束时，事件发生顺序为，供应商确定最优保鲜努力水平e3*，零售商以w的批发价格向供应商订货，并向供应商延期支付货款k=wq3-B，为保证零售商能在销售期结束时按期偿还货款，即确保[pmin{θ3+ξ，q3}-K]+成立。此时零售商利润函数如式（11）所示。

π■■=E{[pmin{θ3+ξ，q3}-（wq3-B）]+-B}（11）

由？鄣2π■■/？鄣q■■=w2f（wq3-B-θ3）-f（q3-θ3）<0可知π■■是关于q3的凹函数，所以，令一阶导数为零可得零售商最佳订货量q3*满足下式：

F（q3*-θ3）=wF（wq3*-B-θ3）（12）

命题2：无延迟支付政策下，保鲜努力水平e2*是关于自有资金B的增函数，延迟支付下，e3*是关于自有资金B的减函数。

证明：当供应商不提供延迟支付时，由命题1可知e2*是关于自有资金B的增函数。

提供延迟支付政策下有，？鄣q■/？鄣B（？鄣q■/？鄣e3）（？鄣e3/？鄣B）。式（12）两边用隐函数法则同时对B求导可得：

？鄣q■/？鄣B=-wf（wq3-B-θ3）/[f（q3-θ3）-w2f（wq3-B-θ3）]

代入失效率函数化简可知，

？鄣q■/？鄣B=-h（wq3-B-θ3）/[h（q3-θ3）-h（wq3-B-θ3）]

由假设4可知，h（ξ）为增函数，且由式（12）可知F（q3*-θ3）wq3-B-θ3，所以？鄣q■/？鄣B<0。由命题2可知？鄣q■/？鄣e■>0，所以？鄣q■/？鄣B<0，证毕。

供应商的利润函数如式（13）所示，

π■■=E{q3（w-c）-[（wq3-B）-min{（wq3-B），（θ3+ε）}]-c（e3）（13）

此时供应商最优保鲜努力水平e3*满足下式：

c′（e3*）=（w-c）？鄣q■*/？鄣e3+F（wq3*-B-θ3）（k-w？鄣q3*/？鄣e3）（14）

定理1：供应商提供延迟支付下，q1*<q3*<q**，e1*<e3*<e**。

证明：由式（8）可得分散决策下，供应商保鲜努力水平满足c′（e1*）=（w-c）k，集中决策下的努力水平为c′（e**）=k（p-c），易知c′（e**）>c′（e1*），由假设4可知c″（e）>0，所以e**>e1*，即θ>θ1。同理，由式（6）可得分散决策下的最优订货量满足F（q1*-θ1）=w，因为供应商具有盈利动机，故w>c，因为F（ξ）单调递减，所以q**-θ>q1-θ1，因为θ>θ1，故q**>q1。由式（6），式（12）可得q3*-θ3>q1*-θ1。供应商利润为：

π■■=E{q3（w-c）-[（wq3-B）-min{（wq3-B），（θ3+ξ）]}-c（e3）}

上式对w求一阶导可得：？鄣π■■/？鄣w=？鄣q3*/？鄣w（wF（wq3-B-θ3）-c）+F（wq3-B-θ3）q3=0。因为F（wq3-B-θ3）q3>0，所以有？鄣q3*/？鄣w（wF（wq3-B-θ3）-c）<0成立。又式（13）两边同时对w求导可得：

？鄣q3*/？鄣w=[F（wq3*-B-θ3）-wq3 f（wq3*-B-θ3）]/[-f（q3*-θ3）+w2f（wq3*-B-θ3）]

将失效率函数h（ξ）带入并化简可得：

？鄣q3*/？鄣w=■。

由F（q3*-θ3）=wF（wq3*-B-θ3）可知，（q3*-θ3）>（wq3*-B-θ3），由假设2可知，h（ξ）为增函数，0<w<1，所以w2h（wq3*-B-θ3）-wh（q3*-θ3）<0。令H（ξ）=（ξ+a）F（ξ），其中a=θ3。分别对H（ξ）求一阶导和二阶导可得：？鄣H（ξ）/？鄣ξ=F（ξ）[1-（ξ+a）h（ξ）]，？鄣2H（ξ）/？鄣ξ2=-F（ξ）？鄣（ξ+a）h（ξ）/？鄣ξ<0，所以，H（ξ）是关于ξ的凹函数。因为（ξ+a）h（ξ）为增函数，根据零点定理可知，存在唯一点ξ使得？鄣H（ξ）/？鄣ξ=0。所以H（ξ）为单峰函数，且当ξ=ξ时，H（ξ）取得最大值，且有（ξ+a）h（ξ）=1成立。因为延迟支付下最优订货量满足F（q3-θ3）=wF（wq3-B-θ3），所以q3F（q3-θ3）=wq3F（wq3-B-θ3）>wq3F（wq3-θ3）恒成立，即H（q3-θ3）>H（wq3-θ3），又因为（q3-θ3）>（wq3-θ3），所以当ξ∈[q3-θ3，wq3-θ3]时，H（ξ）为增函数，即有（wq3-θ3）位于单峰函数左侧，故ξ>（wq3-θ3），由（ξ+a）h（ξ）=1可得，wq3h（wq3-θ3）<1，因为（ξ+a）h（ξ）为增函数，所以，wq3h（wq3*-B-θ3）<wq3h（wq3*-θ3）<1。即可证得[1-wq3h（wq3*-B-θ3）]>0，故？鄣q3*/？鄣w<0。

由？鄣q3*/？鄣w（wF（wq3-B-θ3）-c）<0可知：wF（wq3-B-θ3）-c>0。

又因为延迟支付下的最优保鲜努力水平 满足下式：

c′（e3*）=（w-c）？鄣q3*/？鄣e3-wF（wq3-B-θ3）？鄣q3*/？鄣e3+kF（wq3-B-θ3）

因为式（12）对e3求导可得：

？鄣q3*/？鄣e3=kwf（wq3-B-θ3）-kf（q3-θ3）/+w2f（wq3-B-θ3）-f（q3-θ3）

因为，k<？鄣q3*/？鄣e3<k/w，所以当？鄣q3*/？鄣e3取最小值k时，c′（e3*）取得最小值（w-c）k+k（1-w）F（wq3-B-θ3），分散决策下的保鲜努力水平e1满足c′（e1*）=（w-c）k。故，c′（e3*）>c′（e1*）成立。由假設4可知，c′（e）为增函数，故e3*>e1*。因为q3*-θ3>q1*-θ1，故q3*>q1*。

当？鄣q3*/？鄣e3取得最大值k/w时，c′（e3*）取得最大值（w-c）k/w，集中决策下的保鲜努力水平e**满足c′（e**）=（1-c）k。因为k/w>k，所以c′（e**）>c′（e3*），即e**>e3*。因为wF（wq3-B-θ3）-c>0，所以q**-θ**>q3*-θ3，即q**>q3*。由命题1可知无资金约束时的保鲜努力水平e1*>e2*，q1*>q2*。所以，q2*<q1*<q3*<q**，e2*<e1*<e3*<e**，证毕。

四、延迟支付下供应链协调性分析

引入成本分担+收益共享契约协调供应链，设零售商分担保鲜成本的比例为？覬∈（0，1）;并将其收益按一定的比例（1-φ）支付给供应商，此时，零售商的利润函数为：

π■■=E[（φpmin{θ3+ξ，q3}-（wq3-B））+-B-？覬c（e）]（15）

由？鄣π■■/？鄣q■■=（w/φ）2f（（wqφ-B）/φ-θφ ）-1/φf（qφ/φ-θφ）<0可知，E（π■■）是关于qφ的凹函数。令？鄣π■■/？鄣q■=0，可得零售商最优订货量满足：

φF（qφ-θφ）=φw-wF（（wqφ-B）/φ-θφ）（16）

上式两边同时对eφ求导可得：

？鄣qφ/？鄣eφ=[kφf（q3-θ3）-wkf（■-θ3）]/ [φf（q3-θ3）-w2/φf（■-θ3）]（17）

供应商的利润函数为：

π■■=E[（1-φ）pmin{θ+ξ，q}+（w1-c）q-[（wq3-B）-min{（wq3-B），（θ3+ξ）}]-（1-？覬）c（e）]（18）

同理可得，供应商最优保鲜努力满足：

（1-φ）c′（eφ）=（1-φ）[？鄣qφ/？鄣eφ-F（qφ-θφ）（？鄣qφ/？鄣eφ-k）]+（w-c）？鄣qφ/？鄣eφ-wF（wqφ-B-θφ）？鄣qφ/？鄣eφ+kF（wqφ-B-θφ）

命题5：单一收益共享契约不能协调该生鲜供应链，存在成本分担+收益共享契约实现供应链完美协调且契约参数满足下列条件：

φ=w？覬=（1-φ）F（wq**-B-θ**）/0<φ<1（1-c）

证明：若供应链实现协调，则分散决策下的最优值等于集中决策下的最优值，即q**=qφ*，e**=eφ*。显然地F（qφ-θφ）=F（q**-θ）=c成立，c′（eφ）=c′（e**）=k（1-c）则有φw-wF（（wqφ*-B）/φ-θφ）=φc成立，即当φ满足φF-1（φ（w-c）/w）+θφφ=wqφ*-B时，供应链实现协调。由q**=qφ*可得，？鄣q**/？鄣e**=？鄣qφ*/？鄣eφ=k，因为？鄣qφ*/？鄣eφ=[kφf（qφ*-θφ）-wkf（■-θφ）]/[φf（qφ*-θφ）-w2/φf（■-θφ）]，所以w=w2/φ，即φ=w。因为0w，所以φ∈（0，1）。当引入保鲜成本分担契约时，供应商利润函数为： π■■=E[（1-φ）pmin{θ+ξ，qφ}+（w1-c）qφ-[（wqφ-B）-min{（wqφ-B），（θφ+ξ）}]-（1-φ）c（e）]

当引入保鲜成本分担契约时，将？鄣qφ*/？鄣eφ=k，φ=w带入式（19）可得，？覬=（1-w）F（wqφ-B-θφ）/（1-c）。因为0<（1-w）/（1-c）<1且0

若只引入收益共享契约供应商利润，供应商利润为：

π■■=E[（1-φ）pmin{θ+ξ，qφ}+（w1-c）qφ-[（wqφ-B）-min{（wqφ-B），（θφ+ξ）}]-c（e）]

上式求一阶导可得最优保鲜努力水平满足下式：

c′（eφ）=（1-φ）[？鄣qφ/？鄣eφ-F（qφ-θφ）（？鄣qφ/？鄣eφ-k）]+（w-c）？鄣qφ/？鄣eφ-wF（wqφ-B-θφ）？鄣qφ/？鄣eφ+kF（wqφ-B-θφ）

将？鄣qφ*/？鄣eφ=k，φ带入可知，若改契约能协调供应链，则c′（eφ）=c′（e**）=k（1-c），显然有（1-w）F（wqφ-B-θφ）=0，即当市场需求（wqφ-B-θφ）→0时，有F（wqφ-B-θφ）=0成立，与q**=qφ*，e**=eφ*矛盾。所以收益共享契约不能协调该供应链，证毕。

五、结语

本研究在零售商存在资金约束的条件下，探讨零售商自有资金量，保鲜努力影响系数等对保鲜努力水平的影响，并对有无资金约束下的最优决策进行了比较分析。最后，引入契约实现生鲜供应链的协调。研究发现，在不提供延迟支付时，供应商会降低保鲜努力投入水平;延迟支付政策的引入，使供应商承担了部分风险，此时的保鲜努力水平大于无资金约束但小于集中决策水平，在协调性方面， “成本分担+收益共享契约”能实现完美协调。本研究得到以下管理启示：一是供应商产品的新鲜度会影响零售商的订购量;二是供应商为零售商提供延迟支付政策时不仅能激发零售商更积极地订货还能提高产品的新鲜度;三是在政策参数设计中，应平衡好供应链双方成员的收益与成本，特别地，若提高零售商的收益分享比例，则只需关注供应商市场的竞争强度。

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[7]Gupta V，Chaudhuri A，Tiwari M K，et al.Modeling for deployment of digital technologies in the cold chain[J].IFAC-Papers on Line，2019，52（13）：1192-1197.

*基金项目：国家自然科学基金资助项目（71762021）;教育部人文社会科学研究规划基金项目（15XJA630004）。

（作者单位：昆明理工大學管理与经济学院）