隐含的直角

张玉清

初中数学竞赛题中，有不少对解题很有用的条件都隐含在题中，需要学生用慧眼去发现，从而解题，下面举例加以分析，供读者参考.

例1 如图1，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC.点P在△ABC内，且PA=3，PB=5，PC=2.求△ABC的面积.

分析 △ABC是否有特殊性？分散的条件怎样集中？

已有的经验是∠ACB=90°时利用旋转的方法解.沿着这条思路，我们发现，题中有两个90°的隐含条件.

其一，由“∠BAC=60°，AB=2AC”可知∠ACB=90°.

其二，由“PA=3，PB=5，PC=2”想到基本勾股数3，5，4，将此三条线段变换后集中在一个三角形是常见的解题方法.

解 如图2，作△ABQ，使得

∠QAB=∠PAC，

∠ABQ=∠ACP.

则△ABQ∽△ACP，

从而可得△ACB∽△APQ.

因为AB=2AC，

所以AQ=2AP=23，

BQ=2CP=4.

因为∠ACB=∠APQ=90°，

所以PQ=3AP=3，

所以BP2=25=BQ2+PQ2.

從而∠BQP=90°.

过点A作AD⊥BQ于点D，在矩形APQD中，

AD=PQ=3，

DQ=AP=3，

所以BD=4+3.

所以AB2=（4+3）2+32=28+83.

所以S△ABC=12AB·AC·sin60°

=38AB2=6+732.

例2 如图3，已知D为锐角△ABC内部的一个点，使得∠ADB=∠ACB+90°.且AC·BD=AD·BC，求AB·CDAC·BD的值.

解 由“∠ADB=∠ACB+90°”易知

∠CAD+∠CBD=90°.

作AE⊥AD且EA=AD，则

∠EAC=∠DBC.

因为AC·BD=AD·BC，

所以ACBC=ADBD=AEBD，

可得△EAC∽△DBC.

进而可得△ECD∽△ACB.

所以DEAB=CDBC=CEAC，

所以AB·CD=BC·DE.

又因为DE=2AD，

所以AB·CDAC·BD=2.

以上两题发现题中隐含90°角是解题关键.所作辅助线实质是旋转相似变换，是解题的方法.作为练习，例2的条件下，还可求AB·CDBC·AD的值.（答案为：2）