面向桥梁结构健康监测的压缩感知动力响应信号重构

张笑华，肖兴勇，方圣恩

（福州大学土木工程学院，福建福州 350108）

引言

桥梁结构是运输业的重要交通通道，随着其服役期的增长，在各种荷载及自然灾害作用下，不可避免地出现结构损伤与性能退化，严重时甚至产生结构破坏导致灾难性事故发生。因此，在这些结构上建立桥梁健康监测系统，进行服役期间的安全监测，为桥梁管理者实时掌握桥梁的健康状况，具有重要的意义。

桥梁结构健康监测是结构工作期间，在环境激励下，通过传感器系统对结构的响应进行实时采集，再利用数据传输系统输送动力响应信号至中央处理器进行存储和数据处理分析，提取对结构损伤比较敏感的特征信息，进而运用各种损伤诊断技术，评估桥梁结构目前的健康状况，分析其剩余寿命［1］。由此可见，结构动力响应是结构健康监测的基础和依据。传统的结构动力响应信号采集需要遵循Nyquist 采样定理，即采样频率需大于原始信号最大频次的两倍以上，以避免信号恢复过程中的损耗。由于监测系统的长时性，按Nyquist 采样定理采集的数据往往是海量的，从而增加了数据传输和存储的成本，而且海量的数据给结构参数的识别带来很大的困难。近些年，Donoho 和Candés 提出了压缩感知（Compressed Sensing）理论［2-3］，数据的采样可不遵循Nyquist 采样定理，为信号采集和分析带来了全新的思路。其核心思想是只要信号具备可压缩性和稀疏性或者在某个变换域有稀疏性，则可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将该信号投影到一个低维空间上，然后通过求解非凸优化问题用这些少量的投影数据重构出原始信号［4］。压缩感知理论与传统的Nyquist 采样定理相比，优势在于它可以实现用少量的采样数据恢复较为准确的原始信号。国内外针对压缩感知理论开展了大量的研究，应用领域涉及图像重构［5］、图像优化［6］、光学成像［7］、数据通信［8］、无线传感网络［9］、结构损伤识别［10］等。

土木工程结构的动力响应时程在频域、小波域和在其他变换域上具有近似稀疏的特性，符合压缩感知理论对信号的特性要求。压缩感知理论为解决结构健康监测海量数据问题提供了新的途径。Mascarenas 等［11］通过传感器获得的测量值对数据进行重构，发现实际工程的动力响应在稀疏变换基内的稀疏性较差，当测量值较大时才能实现高精度重构。Ji 等［12］则是通过对LF-21 航空防锈铝板进行结构损伤识别试验，表明在无线传感器网络中，出现数据丢失也能用压缩感知的方法来重构响应信号，且能实现损伤的准确识别。Bao 等［13］提出了基于机器学习的压缩感知数据重构方法，将求解过程化为一个标准的有监督学习任务，并通过数值算例和一座悬索桥的实测无线数据验证该方法的有效性。O’Connor等［9］将压缩感知用在无线传感器中进行长期监测，表明使用压缩感知能实现功耗和数据传输的减少；Jiang 等［14］将超声层析成像技术与压缩感知理论相融合，通过对钢管板的结构损伤监测表明该技术比传统的超声层析成像技术更为高效。康杰等［15］提出了基于Polar 插值改进的结构振动信号压缩采样正交匹配追踪恢复算法，解决了离散傅里叶原子的频率与信号实际频率不匹配的问题，提高了信号重构的精度。吴贤国等［16］提出了基于传感器网络的压缩感知重构算法，解决了运营隧道健康监测系统中多节点传感器网络下高频采样带来的大数据存储和传输问题，当压缩比为60%以上时，重构信号误差在20%以下。这些研究成果表明压缩感知理论可以运用在动力响应信号重构和结构损伤识别上，但这些研究主要集中在重构算法上。而压缩感知信号重构的精度不仅与重构算法有关，还依赖于稀疏基和观测矩阵的选择。

本文引入压缩感知理论，降低桥梁结构健康监测数据的采集量，针对桥梁环境振动测量信号具有稀疏性差和噪声干扰大的特点，优化观测矩阵，增加观测矩阵和稀疏基的不相关性，改善动力响应信号压缩感知重构的精度，解决桥梁结构健康实时监测海量数据造成存储和传输成本高的问题。

1 压缩感知基本理论

压缩感知理论的核心思想是只要信号具备可压缩性和稀疏性或者在某个变换域有稀疏性，则可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将该信号投影到一个低维空间上，然后通过求解非凸优化问题用这些少量的投影数据重构出原始信号。具体的基本理论阐述如下。

一维离散时域信号x∈Rn，根据信号稀疏分解理论，在n×n的标准正交基Ψ=[ψ1，ψ2，…，ψn]下可以表达为：

式中α为信号x在Ψ基下的K稀疏表示，x中非零元素的个数最多为K，且K≤n。稀疏基是应用压缩感知理论的前提。常用的稀疏基有傅里叶变换基、余弦变换基和小波变换基等。傅里叶变化基构造简单，稀疏化信号过程复杂度低，因此后续的实例分析中选择傅里叶变化基。

使用观测矩阵Φ∈Rm×n（m≪n）对原始信号x进行观测，即将x投影到Φ上，得到观测信号y∈Rm为：

将式（1）代入式（2）：

式中D∈Rm×n为感知矩阵。式（2）中若知道y和D就可以求解α，再通过式（1）的稀疏反算即可重构原始信号x。由于m≪n，式（2）是欠定方程组，没有确定解，重构原始信号x是一个病态的逆向问题。在压缩感知理论里，信号x是可压缩的和稀疏的或者在某个变换域具有稀疏性或近似稀疏性，且观测矩阵Φ满足约束等距性条件（Restricted Isometry Property，RIP），则式（2）的求解可以转化为L1 范数的优化问题［17］：

式中为估计的K稀疏表示。

求解式（4）的算法有基于L1 的正则化算法［18］和贪婪迭代算法［19］。基于L1 的正则化算法的信号重构精度较好，但需要大量的观测数据，计算耗时长。基于贪婪迭代思想的算法重构复杂度低，对于中小维度的重构问题运算速度快。基于贪婪迭代思想的常用算法有匹配追踪算法［20］、正交匹配追踪算法［21］、分段正交匹配追踪算法［19］等。正交匹配追踪算法具有收敛速度快、算法简单的特点，因此，文中的重构优化算法选用正交匹配追踪算法。

2 观测矩阵的优化

实现压缩感知的关键要素之一是观测矩阵Φ需满足RIP 条件。已有文献证明RIP 的等价条件是观测矩阵与稀疏基不相关［22］，定义相关系数：

目前，已有学者通过优化观测矩阵，尽量提高Φ和Ψ的不相关性，以改善压缩感知信号重构的精度［23-24］。Cao 等［25］利用代数和组合方法提出了三种确定性结构的观测矩阵，具有低相关性的优点，性能优于高斯随机矩阵。彭玉楼等［26］对随机观测矩阵进行奇异值分解，通过均值算法修改矩阵的特征值，达到提高重构精度的目的。Xu 等［27］以互相干性最小为目标，基于等角紧框架设计，采用交替极小化方法，优化投影矩阵。王海艳等［28］提出了K-L 变换观测矩阵优化算法，减小观测矩阵与稀疏基之间的相关性，提高信号重构的精度。汪博峰等［29］利用循环位移构造一个类似托普利兹结构矩阵，以优化观测矩阵在低频段的采样，达到降低Φ和Ψ的相关性的目的。这种优化观测矩阵的方法具有简单易用的优点。但桥梁结构环境激励下的动力响应信号不可避免地受到噪声干扰，在变换域里无法完全稀疏，且结构信号在非低频段仍具有一定能量，若直接用该类似托普利兹结构矩阵优化观测矩阵，重构误差较大。因此文中利用移动窗技术，改进了文献［29］提出的优化观测矩阵方法。改进的观测矩阵优化方法适用于土木工程结构非完全稀疏性的动力响应信号压缩感知重构。

首先构造一个与观测矩阵Φ维数相同的矩阵U∈Rm×n，U矩阵所有元素均为1。再构造一个i×j的构造矩阵K，其结构如下：

矩阵中a和b是一对互质的参数，能够保证构造矩阵K中的任意两列不相关；另外要求j≤i≤m以降低列向量之间的相关性。可令i=j=m，然后用矩阵K替换矩阵U中的前m列元素得到矩阵U1，再将U1与观测矩阵Φ点乘得到新的观测矩阵Φ1。跟原始观测矩阵Φ相比，Φ1矩阵第1 至m列的系数增大，优化了该部分的采样，同时增加列向量之间的不相关性。这种观测矩阵优化方法适用于要采样的特征值主要集中在前半部分的信号，即能量集中在低频部分，例如一些图像信号。而桥梁结构动力响应信号在非低频段仍具有一定能量，直接用该方法优化观测矩阵再用于原始信号重构，会导致误差很大。

因此，文中利用移动窗技术改进该观测矩阵优化方法。将窗长设置为m，将K矩阵按照窗长移动依次替换U矩阵中对应的列，再优化观测矩阵并用于后续的原始信号重构，每次迭代结束后留下窗对应的重构信号。当然，计算过程中由于使用了移动窗技术，导致计算时间有所增加。

3 基于压缩感知的动力响应信号重构算法步骤

基于压缩感知的动力响应信号重构算法步骤总结如下：

步骤1：确定稀疏基Ψ、初始观测矩阵Φ，以及观测信号y，令xrec=[]；

步骤2：构造一个矩阵Um×n，所有元素皆为1；

步骤3：确定一对互质的参数a和b，然后构造矩阵K；

步骤4：矩阵K按照窗长移动第i次（i=0，1，2…，round(n/m）+1），替换U矩阵中第1+i×m到m×（i+1）列得到新矩阵U1，将U1与观测矩阵Φ点乘得到新的观测矩阵Φ1；

步骤5：将优化后的观测矩阵代入公式（4），用正交匹配追踪算法计算公式（4），得到α^；

步骤6：按下式重构原始信号，留用第1+i×m到m×（i+1）时刻信号替换xrec中的第1+i×m到m×（i+1）列

步骤7：重复步骤4，直到迭代次数为round(n/m）+1 次，得到原始信号xrec。

4 实例分析

4.1 吉安大桥简介及试验概况

采用吉安大桥的现场环境振动试验数据验证基于压缩感知的桥梁动力响应重构的可行性和有效性。该环境振动测试采集了加速度响应，但文中提出的压缩感知动力响应重构方法适用于其他类型的动力响应压缩感知重构，只要该动力响应时程信号具有或者在其他变换域上具有稀疏或者近似稀疏的特性。

吉安大桥位于江西省吉安市，是钢管混凝土中承式拱桥，如图1所示。桥全长536 m，跨径为36 m+138 m+188 m+138 m+36 m，桥面总宽28 m。桥面的竖向振动测试试验测点一共有176 个，传感器的布置如图2所示，桥面两侧各88 个传感器，分别位于桥吊杆和立柱处的上下游桥面上。传感器采用中国地震局工程力学研究所生产的941-B 型伺服加速度传感器。传感器测得的环境振动加速度信号通过放大器放大并滤波，再由32 通道东方科卡数据采集仪采集，同时将采集到的数据记录在电脑硬盘上，采样频率为200 Hz。该桥的一阶竖向频率为0.623 Hz，一阶扭转频率为1.039 Hz，二阶竖向频率为1.057 Hz［30］。

图1 吉安大桥Fig.1 Ji′an Bridge

图2 竖向加速度传感器测点布置平面图（单位：m）Fig.2 Vertical accelerometers placement（Unit：m）

4.2 信号重构及数据分析

以中跨上侧测点U81 采集的信号为例，用文中提出的方法进行响应压缩重构。信号压缩比定义为：

式中M为压缩信号的长度，用数据个数来表示，N代表原始信号的长度。

重构算法采用正交匹配追踪法，稀疏基为傅里叶正交变换基。初始观测矩阵选取随机高斯矩阵。定义重构信号与原始信号的相对误差ξ来衡量重构信号精度：

ξ越小，表明重构的精度越高。

首先a/b分别选取3/2，19/17，51/47 和101/97四组数值，研究互质参数a/b取值不同时对压缩感知响应重构精度的影响。同时也分别用10%，20%，30%，40%，50%和60%六种压缩比进行信号压缩得到观测信号。对于每组a/b数值，分别用这6种压缩比的观测信号进行原始信号重构。信号重构相对误差如图3所示。相同压缩比时，重构相对误差随着a/b取值的增大而减小，尤其是在低压缩比的情况下，这种情况更加明显，但当a/b值大到一定程度时，继续增加a/b值，重构误差减少有限，反而增加计算负担。随着压缩比的不断增加，四个情况的a/b取值对重构误差的影响趋于一致，表明在压缩比较大时，a/b取值对重构误差的影响不大。原因是低压缩比下，信号特征值丢失较多，较大的a/b能够增加观测矩阵与稀疏基的不相关性，较为明显地改善原始信号重构的精度，而高压缩比下，这种改善不明显。此外，从图中还可以看出，压缩比从10%增大至20%，重构误差会出现显著降低，这是因为压缩比为10%时，压缩后的数据量过少。文献［26］指出压缩信号的长度M，稀疏度k，和原始信号长度N三者之间的关系需满足M≥k×lg（N/k），才能较高精度地重构原始信号。稀疏度取值56，当压缩比为10%时，观测信号的数据长度小于k×lg（N/k），而压缩比为20%时，压缩后的数据量已经能满足该条件。

图3 互质参数a 和b 取值不同时信号重构误差对比Fig.3 Comparison of reconstruction error in different a/b

以a/b取值51/47 为例，图4 展示了不同压缩比下原始信号、未优化观测矩阵重构信号和优化观测矩阵重构信号的时程对比。表1 则对比了观测矩阵优化前后的信号重构相对误差。从图4 和表1 可见，当压缩比在20%以上时，重构信号与原始信号均吻合良好；且在不同信号压缩比下，优化观测矩阵重构的信号精度高于初始观测矩阵重构的信号，这种优势在低压缩比情况下更加明显。

图4 响应信号时程对比（随机高斯矩阵）Fig.4 Comparison of responses time history （random Gaussian matrix）

表1 观测矩阵优化前后的重构误差Tab.1 Reconstruction errors before and after measurement matrix optimization

为了测试算法稳定性，信号重构计算了100 次，得到随机高斯矩阵优化前后的信号重构误差标准差，如表2所示。利用优化观测矩阵进行压缩感知信号重构的计算结果更加稳定。

表2 重构误差标准差对比Tab.2 Comparison of standard deviation of reconstruction errors

以a/b取值51/47，以及压缩比20%和40%为例，图5 展示了观测矩阵优化前后的重构信号以及原始信号的傅里叶谱。从图中可见，观测矩阵经过优化后，压缩比不论是20%还是40%，均能很好地识别到结构的一阶竖向频率0.623 Hz、一阶扭转频率1.039 Hz 和二阶竖向频率1.057 Hz，跟原始信号的频谱吻合良好，频谱出现的其他几个峰值均能准确对应。相比之下，观测矩阵未经优化，重构信号的频谱出现较多峰值的误判；当压缩比为20%时，未能识别到一阶竖向频率、一阶扭转频率和二阶竖向频率；当压缩比为40%时，识别精度虽有改善，能捕捉到一阶扭转频率和二阶竖向频率，但一阶竖向频率的识别存在误差。

图5 傅里叶谱（随机高斯矩阵）Fig.5 Fourier spectrum（random Gaussian matrix）

a/b取值51/47，观测矩阵分别改用伯努利矩阵和稀疏随机矩阵，验证优化观测矩阵方法的适用性。图6 为使用这两种观测矩阵，优化后和未优化进行压缩感知信号重构的相对误差对比。从图中可见，不论观测矩阵是伯努利矩阵还是稀疏随机矩阵，观测矩阵经过优化后，信号重构的精度均高于未优化的重构结果，且压缩比大于20%后，重构相对误差在0.1 以下，结论与前面观测矩阵采用随机高斯矩阵一致。

图6 不同观测矩阵优化前后的重构误差Fig.6 Reconstruction errors of different measurement matrix

5 结论

本文引入压缩感知理论，降低桥梁结构健康监测数据的采集量，针对桥梁环境振动测量信号具有稀疏性差和噪声干扰大的特点，优化观测矩阵，增加观测矩阵和稀疏基的不相关性，改善动力响应信号压缩感知重构的精度，解决桥梁结构健康监测采集海量数据带来数据传输和存储成本大的问题，用少量的采样数据恢复较为准确的原始信号。论文的主要工作和结论总结如下：

（1）构造了一个列向量不相关的优化矩阵，采用移动窗技术优化观测矩阵，并用于后续的压缩感知信号重构；

（2）采用吉安大桥的现场环境振动试验数据验证基于压缩感知的桥梁动力响应信号重构的可行性和有效性。研究结果表明压缩感知重构信号不论在时域还是频域均能与原始信号吻合良好；

（3）利用优化观测矩阵重构的信号精度高于初始观测矩阵重构的信号，尤其是在低压缩比情况下；

（4）观测矩阵优化方法可以适用于随机高斯矩阵，伯努利矩阵和稀疏随机矩阵，具有较大的适用范围。