差分扰动的堆优化算法

张新明，温少晨，刘尚旺，2

（1.河南师范大学计算机与信息工程学院，河南新乡 453007；2.智慧商务与物联网技术河南省工程实验室（河南师范大学），河南新乡 453007）

0 引言

随着社会的快速发展，现实生活中亟待解决的优化问题越来越多，也越来越多样化和复杂化。传统的优化方法如牛顿法和梯度法并不能有效地解决这些问题［1］。受自然现象和生物进化行为等的启发，许多学者开发出多种元启发式算法（Meta-heuristic Algorithm，MA）。这些MA 包括差分进化（Differential Evolution，DE）［2］、粒子群优化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法［3］、生物地理学优化（Biogeography-Based Optimization，BBO）算法［4］和灰狼优化（Grey Wolf Optimizer，GWO）［5］算法等。因简单易实现等优势，已经在现实生活中得到了非常广泛的应用。然而，根据无免费午餐理论［6］，没有一种MA 能够解决所有的优化问题。另外，为了处理不同的和更复杂的优化问题，不断有新的或改进的MA被提出。

堆优化（Heap-Based Optimizer，HBO）算法是Askari 等［7］在2020 年提出的一种新的MA。它利用堆结构模拟了公司的层级结构，采用了堆的概念形成个体之间的交互，并且构建了三种构造新解的数学模型。HBO 有独特的搜索机制，且解决经典优化问题的性能优于一些经典的MA，如PSO 等。但HBO 也存在一些不足，例如高层个体和低层个体之间的信息交流不足，没有对最优个体的位置进行更新，导致其在解决复杂优化问题时存在搜索能力不足、效率低下等问题。另外HBO 提出的时间较短，有许多工作要做，如理论研究、改进研究和应用研究等。因此对HBO 的研究非常必要。

差分扰动策略利用两个或多个个体之间的加权差来扰动当前个体，有效增强种群的多样性，提高种群中的各种信息的使用程度。许多学者对差分扰动策略进行了大量的研究，主要可以分为以下几个方面：1）两个随机个体差分扰动，主要用来增强个体之间的信息共享能力［8］；2）最优个体与最差个体差分扰动，通过最优个体的引导，可以增强信息引导能力［6］；3）最优个体、当前个体和两个随机个体两组差分扰动。通过两组不同类型的差分，兼顾信息共享与信息引导［4］。

因此，为了解决HBO 存在的一些问题，本文采用了不同的差分扰动策略以改进HBO，提出了一种差分扰动的HBO（Differential disturbed HBO，DDHBO）算法。本文的主要工作如下：1）由于HBO 独特的搜索机制，无法更新最优个体的位置和前期易产生无效解，本文对最优个体采用一种随机差分扰动策略，在前期采用基于维的差分扰动策略，从而提高搜索效率；2）对于最差个体，采用一种最优最差差分扰动策略更新其位置，强化其搜索能力；3）对于一般个体，采用一种多层差分扰动策略，以强化高层与低层之间的信息交流，提高搜索能力。由于HBO 原始算法的优化性能仅仅在经典函数上进行了验证，本文将HBO 及其改进算法运用到复杂函数集CEC2017［9］上进行验证。

1 堆优化算法

HBO 模拟公司层次结构建立树状结构，它选择的是三元堆或者说是一个三叉树，具体见图1。公司等级制度的最终目标是以最好的方式完成与业务相关的任务，主要包括三个数学模型：下属与直接领导的交互、与同事的交互和个体的自我贡献。

图1 中X1所在的层次为最高层第一层，仅有一个个体；X2～X4所在的层次为第二层，3 个个体；X5～X13所在的层次为第三层，9 个个体；如此，第四层应该有27 个体；所有这些个体组成一个群体，其种群大小为40。从X2开始所有的个体都是通过直接领导和同事的引导进行更新。以X8为例，由于堆独特的结构，与X8在同一层次的个体均为其同事，为X5～X13，且只有一个直接领导X3。然而对于最高领导X1，它所在的层是最高层，没有直接领导，并且该层只有X1一个个体，也不存在同事。

与直接领导交互的数学模型可以描述为：

其中：t是当前迭代次数；T是最大迭代次数；j是一个解向量的第j个分量；B是当前个体的直接领导；r是均匀分布在［0，1］中的随机数；在迭代过程中，γ是一个三角波，它的值在1的左右波动，从2 到0，或从0 到2。

在堆中，位于同一层的个体都是其同事，每个个体Xi根据随机选择的同事Sr更新位置，数学模型见式（4）：

其中：f是个体的目标函数。对于最小极值问题，若f（Sr）＜f（Xi），个体可以探索Sr周围的区域；若f（Sr）≥f（Xi），个体可以探索Xi周围的区域，以保证搜索向好的方向发展。

在个体的自我贡献的模型中，个体在前一次迭代中的一些位置信息会一直保留到下一次迭代。即个体Xi在下一次迭代中不会改变其第j个分量的值。

在HBO 中，p1、p2和p3决定了个体将会在这三个数学模型中选择哪个模型进行更新。选择概率的计算方法如下：

HBO 通过p1选择自我贡献模型更新个体，通过p2选择与直接领导交互的数学模型更新个体，通过p3选择与同事交互的数学模型更新个体，其中p3=1。HBO 的伪代码见算法1。

算法1 堆优化算法。

其中边界控制是：当Xj小于Lj（下界），则Xj=Lj；当Xj大于Uj（上界），则Xj=Uj。

从以上描述来看，HBO 具有以下特点：1）具有独特的结构和搜索机制。HBO 采用三元堆结构，不同层次由于受到不同的直接领导的引导和随机选择同事更新个体的方式，因此产生的解会不同，如此会获得一定的多样性。2）HBO 每产生一个新解，就计算其适应度值，并采用贪心选择方法更新对应的个体，更新后的好个体又对后续新解的产生发挥作用，如此的选择称为动态贪心选择，它形成一种正反馈，使算法获得更强的局部搜索能力，加快收敛［1］。3）式（4）的更新方式可以保证个体向更好的方向演化，从而获得好的收敛性能。4）堆中的个体通过直接领导和同事的引导进行局部搜索，但每一次局部搜索都会影响堆的构建，因此更新堆可以在一定程度上实现个体间的信息交流。

2 差分扰动的堆优化算法

2.1 HBO存在的问题及改进的动机

虽然HBO 具有较多的优势，但仍存在一些不足：1）HBO独特的堆搜索结构决定了HBO 的最高领导不会参与搜索过程。2）虽然在不同的层次中会产生不同的解，从而增强种群的多样性，但个体仅受到直接领导和同事的影响，尤其最差个体采用这种搜索模型导致搜索能力受限。3）第l层个体的更新只依赖于第l层和第l-1 层个体，与其他层（间接层）的个体之间没有联系，仅通过动态更新堆实现信息共享，信息利用的程度较低，缺少间接层之间的信息交互，从而导致在解决复杂优化问题时搜索能力不足［1］。4）在迭代前期，p1的值很大，接近1，此时通过式（5）产生的新解可能与原解相同，此新解是无效的，算法在迭代前期的搜索能力较差。另外，在搜索后期，若t＞T/2，则p1的值小于0.5，p2的取值范围为［0.5，0.75］，个体所在的层次越低，产生新解的多样性越强，虽然有利于防止算法陷于局部最优，但会影响收敛速度。因此，本文提出了DDHBO，在保持HBO 最大优势的同时，克服了HBO 的一些缺陷。

2.2 最优个体：随机差分扰动策略

正如上文所述，在HBO 中，由于堆的独特结构，根节点（最优个体）在堆中没有直接领导和同事，因此在HBO 中并未参与搜索，导致了算法搜索效率低的问题。因此，本文对最优个体采用了随机差分扰动策略，突破结构限制。通过对种群中随机选择的两个个体之间的正弦加权差进行扰动，提高搜索效率，强化最优个体，具体如式（8）所示：

其中：Xa和Xb是从种群中随机选择的两个个体的位置；fr是缩放因子，采用正弦模型［10］。

由式（9）可得，fr的值在0.5 左右波动，当fr＞0.5 时，可以增大当前个体的搜索范围；当fr≤0.5 时，个体可以进行更精细的搜索，有助于提高局部搜索能力。由式（8）可得，最优个体的位置更新受到了两个随机个体Xa和Xb的影响，因此，随机差分扰动策略可以通过种群中的两个随机个体的扰动，增强不同层次（含间接层）之间的信息共享，从而提高搜索能力。

总之，对于最优个体采用随机差分扰动策略对其位置进行更新，不仅提高搜索效率，而且也提高了算法的搜索能力。

2.3 最差个体：最优最差差分扰动策略

由木桶效应可知，一个由多个木板组成的水桶可以装载的水容量，取决于其中最短的一块木板。在MA 中，也是同样，种群中最差个体的质量可能影响整个种群的搜索能力。因此，为了提高最差个体的质量，采用了一种最优最差差分扰动策略，其中具有两种不同的更新方式，根据迭代次数的不同在两种更新方式中进行选择。两种更新公式都是通过最优个体的引导，提升最差个体的质量，从而强化最差个体的搜索能力，具体如式（10）～（12）所示：

其中：Xw为当前种群中的最差个体位置；Xg为当前种群中的最优个体位置；ceil是一个向上取整函数；⊗表示两向量间各个对应的分量相乘；rt是一个随迭代次数随机变化的量。

最优最差差分扰动策略根据rt的不同在两种更新方式中进行选择，若当前迭代次数t＜rt，则执行式（11）；若t≥rt，则执行式（12），以此实现在两种更新方式中的动态和随机选择。由式（11）可知，缩放因子为2(rand-0.5)，rand是一个随机向量，其中每一个分量在［0，1］中均匀分布，则该缩放因子中每一个分量均匀分布在［-1，1］，Xg与Xw差分结果的每一个分量都通过不同的随机数进行加权，可以更好地提升解的多样性。由于在每次迭代过程中，rt的值在不断变化，因此，式（11）和式（12）在整个迭代过程中执行的次数不一定相同，并且，在迭代前期执行式（11），最优个体Xg与最差个体Xw之间的差异较大，可以使个体在更大的范围内进行搜索，强化了探索能力；在迭代后期执行式（12），随着种群的进化，最优个体Xg与最差个体Xw之间的差异逐渐缩小，有利于个体更精细的搜索，增强开采能力。

2.4 一般个体：多层差分扰动策略

在HBO 中当前个体仅与直接领导和同事有信息交换，与其他层次的个体之间没有信息共享导致搜索能力不足。因此，对一般个体采用了多层差分扰动策略，最优个体与当前个体差分，高层随机选择个体与低层随机选择个体进行差分的方法对一般个体的位置进行更新，以强化多层之间的信息交流，提高搜索能力，具体如式（13）所示：

其中：Xc是从高层个体中随机选择个体的位置；Xd是低层个体中随机选择个体的位置。这里的一般个体是指从除最优个体和最差个体外余下个体中随机选择的一个个体。

由式（13）可知，当前个体的位置更新受到了4 个不同个体的影响：最优个体、当前个体本身、随机选择的高层个体和随机选择的低层个体。这4 个个体几乎分别来自不同的层次，最优个体位于堆的最高层，当前个体与最优个体一定处于不同层次上，故两组差分扰动形成多层差分扰动。另外，个体在进化的过程中不仅受到了最优个体的引导，还受到高层个体的引导，可以向着更好的方向进化，加快收敛速度；同时，也受到了不同层次中个体的相互影响，从而增强种群的多样性，实现不同层次之间信息共享，提升搜索能力。

2.5 搜索前期：基于维的差分扰动策略

正如前文所述，HBO 通过随机数p在个体的自我贡献模型，与直接领导的交互、与同事的交互三种不同的更新方式中进行选择，根据式（6），在搜索前期p1的值很大，接近1。依据式（5），每次迭代，在个体的自我贡献模型中，将前一次迭代得到的解直接赋值给当前的新解，有可能产生的新解与原解相同，如此的新解是无效解，故前期全局搜索能力不足。因此，本文采用了基于维的差分扰动策略，在搜索前期增强全局搜索能力，改进后的更新公式如下所示：

其中：Xm和Xn是从当前种群中随机选择的两个个体。

由式（14）可知，为了增强全局搜索能力，对HBO 的自我贡献模型进行改变，当t＜0.05T时，采用了对两个随机个体位置进行正弦差分的方式，替代HBO 中的直接赋值。两个随机个体在迭代前期的差异较大，并且与最优个体的随机差分扰动不同，每一维都随机选择两个不同的个体，即，在迭代前期，个体有很大的概率会采用前期基于维的差分扰动策略更新，从而在迭代前期避免产生无效解，增强全局搜索能力。

2.6 本文算法的总流程

虽然HBO 采用动态贪心选择能够加快收敛速度，但存在一些不足，如易陷于局部最优，导致算法不稳定和目标函数难以进行并行计算等。为了克服这些不足，本文采用了静态贪心选择，即每次迭代，在所有的个体产生新解之后，并行处理每个新解的边界，并行计算所有个体的适应度值，然后采用贪心选择更新种群，如此贪心选择被称为静态贪心选择。更新种群后再对堆进行更新。因此静态贪心选择虽然降低了收敛性能，但提高了稳定性，并且静态贪心选择使并行计算可行，可以有效地减少算法的运行时间。

将各种差分扰动策略嵌入到HBO 中，并采用静态贪心算法，构建DDHBO。流程如图2 所示。其中随机差分扰动、最优最差差分扰动和多层差分扰动是三种基于个体的更新策略。

图2 DDHBO流程Fig.2 Flowchart of DDHBO

与HBO 相比，DDHBO 具有如下的不同之处：1）HBO 中最优个体并未参与搜索过程，没能发挥最优个体的作用；而DDHBO 中最优个体采用随机差分扰动策略，突破了HBO 更新模型的限制，提高搜索效率和搜索能力。2）在DDHBO 中，最差个体放弃原更新方式，采用了两种不同的方式进行位置更新，不仅增强了算法的全局搜索能力，也在一定程度上增强了算法的局部搜索能力。3）HBO 个体都是通过与直接领导和同事交互进行更新，而DDHBO 对一般个体采用了多层差分扰动策略，突破了仅与直接层个体有信息交流的限制，提升了不同层次间个体的交流。4）HBO 采用式（1）～（5）对个体进行位置更新，在搜索前期易产生无效解；而DDHBO 在搜索前期采用了基于维的差分扰动策略，从而避免产生无效解，增强搜索能力，即对于其他个体采用改进后的式（14）进行位置更新。5）HBO 采用动态贪心选择可加快收敛速度，但稳定性不强；DDHBO 采用了静态贪心选择，可采用并行计算，这种计算方式有效地减少了算法的运行时间，增强了稳定性。

3 实验与结果分析

3.1 实验环境配置及参数设置

为了验证DDHBO 的优化性能，选择公开的复杂优化问题benchmark：CEC2017 测试集［9］进行大量实验。CEC2017 包括30 个不同类型的复杂基准函数。其中，F1～F3为单峰函数、F4～F10为多峰函数、F11～F20为混合函数，F21～F30为复合函数。所有实验都是在Windows 7 操作系统下，CPU 为3.1 GHz，内存为4 GB 的PC 上实现的。编程语言采用Matlab2014a。为了公平比较，所有算法的公共参数设置相同，即维度D为30，依据文献［9］的最佳推荐设置，最大目标函数评价次数为D×10 000，独立运行次数为51。为了更好地验证DDHBO 的优化性能，本文选择了8 个具有代表性的优秀算法进行对比实验。这些算法既有最经典MA 的代表如DE 和PSO 的改进算法，也有最近提出的MA 的代表如BBO和GWO 的改进算法。分别是HBO、SaDE（DE with Strategy adaptation）［11］、SE04（Spherical Evolution）［12］、WRBBO（Worst opposition learning and Random-scaled differential mutation BBO）［13］、DEBBO（Differential Evolution and BBO）［2］、HGWOP（Hybrid PSO and GWO）［3］、MEGWO（Multi-strategy Ensemble GWO）［14］和MPSO（Motion-encoded PSO）［15］，其中DEBBO 和SaDE均为DE 的变体，HGWOP 和MPSO均为PSO 的变体，WRBBO 和MEGWO 分别为BBO 和GWO 的改进算法，HGWOP、MPSO 和SE04 是最新提出的算法，因此，本文中所选择的对比算法有较强的代表性和可比性。每个对比算法的参数设置均为对应文献中的最佳推荐，具体如表1 所示，其中SaDE 和SE04 的具体的参数设置见文献［12］。本文采用均值（Mean）、标准差（Std）和排名（Rank）［3］评价算法的性能好坏。对于最小值问题，均值越小性能越好，方差越小，算法的稳定性越强。

表1 不同算法的参数设置Tab.1 Parameter setting of different algorithms

3.2 与不完全算法的对比分析

为了验证本文所提出的每种差分扰动策略的有效性，将DDHBO 与它的3 个不完全算法（ESHBO、EBHBO 和WEHBO）和HBO 进行对比实验。其中，ESHBO 为在HBO 的基础上采用了静态贪心和基于维的差分扰动策略（HBO with static greedy and dimension-based differential disturbance strategy），EBHBO 为在ESHBO 的基础上添加了对最优个体的随机差分扰动策略（ESHBO with the random difference disturbance strategy for the best individual），WEHBO为在EBHBO 的基础上添加了对最差个体的最优最差差分扰动策略（EBHBO with the best worst differential disturbance strategy for the worst individual），DDHBO 为在WEHBO 的基础上添加了对一般个体执行的多层差分扰动策略。3 个不完全算法与DDHBO 的参数设置相同。DDHBO 与其3 个不完全算法及HBO 在30 维CEC2017 复杂函数上进行实验，对比算法的平均排名如表2 所示。将结果进行Wilcoxon 符号秩检验［3］，显著性水平为0.05，其检验结果见表3。表3 中：“n”表示30个CEC2017 的复杂函数；“+”表示优于对比算法；“≈”表示两种算法获得近似的优化结果；“-”表示劣于对比算法；最后一行为“n/+/≈/-”的统计结果。

表2 不完全算法平均排名结果Tab.2 Average ranking results of incomplete algorithms

表3 不完全算法的Wilcoxon符号秩检验结果Tab.3 Wilcoxon signed rank test results of incomplete algorithms

由表3 可得，ESHBO 优于HBO 的函数个数是25，仅在5个函数上的优化结果上劣于HBO，由此可得，本文所采用的基于维的差分扰动策略和静态贪心选择可以有效地提高HBO 的优化性能。EBHBO 优于ESHBO 的函数个数是27，并且结合表2 可得，EBHBO 的平均排名为2.93，优于ESHBO 的排名3.87，表明对最优个体的随机差分扰动策略有效地提高了ESHBO 的优化性能。WEHBO 优于EBHBO 的函数个数是27，在3 个函数上的优化结果劣于EBHBO，WEHBO 的平均排名结果为2.13，相较于EBHBO 的平均排名又有了一定程度的提升，表明本文对最差个体的最优最差差分扰动策略对算法性能的提高是有帮助的。DDHBO 在27 个函数上的优化结果优于WEHBO，并且DDHBO 在平均排名上优于WEHBO，由此可见对一般个体执行的多层差分扰动策略在一定程度上提升了算法的优化性能。结合表2 可知，在5 个算法中，HBO 的平均排名为4.70，排名第5，优化性能最差。DDHBO 的平均排名为1.37，在30 个复杂函数上的总排名为第1，说明DDHBO 具有最好的优化性能，并且在大多数函数上均提供了最优结果。综上，本文所提出的每种改进策略都不同程度地对DDHBO 整体性能有贡献，每一个改进策略都是不可或缺的。

3.3 与最先进算法进行比较

为了更好地验证DDHBO 的优化性能，本节将其与8 个具有代表性的优秀算法进行对比实验。8 个算法见3.1 节所述。在30 维CEC2017 的复杂函数上的实验结果如表4 所示，其中SaDE 和SE04 的实验数据直接来自文献［12］。

由表4 可知，在3 个单峰函数上，DDHBO 的排名均为第1，获得了最好的结果，大幅度优于其8 个对比算法，由此可得，在9 个算法中，DDHBO 具有最强的局部搜索能力和最好的优化精度。尽管在7 个多峰函数的均值上DDHBO 略逊于不同的对比算法，但在6 个多峰函数的均值上都优于HBO的均值，表明本文所提出的策略可以有效提高HBO 的全局搜索能力。在20 个复杂函数上（10 个混合函数和10 个复合函数），DDHBO 获得排名第1 的次数为8，而其他8 个算法HBO、WRBBO、DEBBO、SaDE、SE04、HGWOP、MEGWO 和MPSO 获得排名第1 的次数分别为0、1、4、0、0、4、3 和0，由此可得，与其他8 个对比算法相比，DDHBO 具有更强的解决复杂优化问题的能力。总体而言，DDHBO 在29 个函数（96.67%）上具有比HBO 更好的优化性能。所有算法的排名顺序为DDHBO、MEGWO、HGWOP、DEBBO、SE04、SaDE、WRBBO、MPSO、HBO。DDHBO 排名第1 的次数为11，总排名为第1，表明DDHBO 具有最好的优化性能，本文所提出的改进策略有效提高了HBO 的性能。

续表

3.4 收敛性分析

为了验证DDHBO 的收敛性能，本节进行收敛性实验和分析。为了更简洁描述和更能说明问题，从CEC2017 测试集的4 类函数中选择了4 个具有代表性的函数来分析讨论DDHBO 与其他3 个不完全算法、HBO，以及MEGWO 和HGWOP（在表4 中排名第2、第3）的收敛性能。这4 个函数F3、F7、F14和F30分别为单峰函数、多峰函数、混合函数和复合函数。7 种算法在30 维的收敛曲线如图3 所示，其中纵轴表示算法获得的实际最优值与函数的理论最优值之间误差的平均值。

图3 DDHBO及其对比算法的收敛图Fig.3 Convergence curves of DDHBO and its comparison algorithms

由图3 可知，DDHBO 在4 个不同函数上的收敛速度均优于其3 个不完全算法和HBO，随着目标函数评价次数的增加，DDHBO 的收敛速度最快。由3.2 节可知，从ESHBO、EBHBO、WEHBO 到DDHBO，分别在HBO 中依次叠加了静态贪心选择和基于维的差分扰动策略，对最优个体的随机差分扰动策略，对最差个体的最优最差差分扰动策略，对一般个体执行的多层差分扰动策略。尽管DDHBO 在F7上的收敛性能略逊于HGWOP，但优于其他5 个对比算法；并且在其他3 个函数上的收敛性能始终优于6 个对比算法的收敛性能。以图3（c）为例，可以看到随着改进策略的增加，算法的收敛性能也得到了不同程度的提升，7 个算法在函数F14的收敛性能顺序为DDHBO、MEGWO、WEHBO、EBHBO、HGWOP、ESHBO 和HBO。因此，与HBO 相比，DDHBO 不管是在单峰函数、多峰函数、混合函数还是复合函数上都具有更好的收敛性能，表明本文所提出的改进策略不仅增强了探索能力和开采能力，更好地实现了探索与开采之间的平衡；再次验证了本文所提出的改进策略在HBO 上的有效性，可以有效加快HBO 的收敛速度。

3.5 时间对比

为了测试DDHBO 的运行速度，进行运行时间对比实验。由于DDHBO 是HBO 的改进算法，因此，为了简洁和更能说明问题，对比算法仅选择了4 个算法，即DDHBO、HBO，以及MEGWO 和HGWOP（表4 中排名第2和第3），在30 维CEC2017 复杂函数上的平均运行时间如表5 所示。

从表5 可以看出，DDHBO 的平均运行时间（3.445 0 s）为HBO 平均运行时间（9.500 6 s）的36.26%，DDHBO 的平均运行时间为MEGWO（3.801 6 s）的90.62%。与HGWOP 的平均运行时间（3.287 3 s）相比，DDHBO 的平均运行时间稍多，这是由于HGWOP 采用了更简洁的更新方程，而DDHBO 每次迭代需要更新堆。与HBO 相比，DDHBO 的运行时间更少的主要原因如下：HBO 中使用了动态贪心选择以更新种群中个体的适应度值。动态贪心选择是一种串行计算方法，在每次迭代中，每次更新个体，计算适应度值一次，耗费的时间更多。DDHBO 采用静态贪心选择，在每次迭代中，更新种群中所有个体后，并行处理边界和计算所有个体的适应度值，减少了运行时间。另外，虽然在HBO 添加了4 种差分扰动策略，但除了随机差分扰动策略外，其他3 种策略都是替换操作不增加额外的计算复杂度。

3.6 显著性分析

Wilcoxon 符号秩检验是非参数统计检验［3］，用于检测两种算法之间差异的显著性。其中R+为正秩总和，R-为负秩总和。一般显著性水平设为0.05。如果p-value＜0.05，则两个算法之间存在显著性差异；如果p-value≥0.05，则在优化性能上，DDHBO 劣于对比算法或二者几乎相同。n/w/t/l表示在n个函数上，DDHBO 在w个函数上优于对比算法，在t个函数上获得了与对比算法相同的结果，在l个函数上劣于对比算法。DDHBO 与其他8 个对比算法在CEC2017 复杂函数上的Wilcoxon 符号秩检验结果见表6。

表6 Wilcoxon符号秩检验结果Tab.6 Wilcoxon sign rank test results

由表6可知，DDHBO 与HBO 相比的p-value为0.000 002，远远小于0.05，表明DDHBO 显著优于HBO，再一次说明本文中所采用的改进策略是有效的。与WRBBO、DEBBO、SaDE、SE04、HGWOP、MEGWO 和MPSO相比，pvalue全部小于0.05，并且DDHBO优于HBO、WRBBO、DEBBO、SaDE、SE04、HGWOP、MEGWO 和MPSO 的函数数量分别为29、26、22、26、25、19、22、30，由此可以进一步验证，本文提出的DDHBO 显著优于对比算法。

4 结语

针对HBO 在解决复杂优化问题时存在的搜索能力不足和效率低的问题，本文提出了一种差分扰动的HBO（DDHBO）。首先，为了提高HBO 的搜索效率，对于在HBO中并未更新的最优个体位置，提出了一种随机差分扰动策略；其次，为了增强算法的搜索能力，强化最差个体从而提升整个种群质量，提出了一种最优最差差分扰动策略；然后，提出了一种多层差分扰动策略强化一般个体，增强不同层次之间个体的信息共享，提升搜索能力；最后，提出了一种基于维的差分扰动策略，从而解决HBO 在搜索初期获得有效解的概率低的问题。采用了静态贪心选择替代HBO 中动态贪心选择，并行计算方式减少了算法的运行时间，提高了算法的运行速度和稳定性。在30 维CEC2017 复杂函数上的实验结果表明，与HBO 和其他最先进的优化算法相比，DDHBO 具有更好的优化性能；并且，DDHBO 具有比HBO 更少的平均运行时间。综上可得，相较于对比算法，DDHBO 具有更强的竞争性和解决复杂优化问题的能力。但由于HBO 是最新提出的算法，还有许多的地方需要进一步完善，如算法理论研究、改进研究和应用研究以弥补其不足，本文仅仅是一种改进研究尝试。在未来的研究中，将对HBO 上述三方面做深入的研究，并将DDHBO 应用于解决不同类型的工程优化问题。