例析离心率问题

金铁强

(浙江省诸暨市草塔中学 311812)

圆锥曲线离心率问题通常是指椭圆和双曲线的离心率问题，一般包含两类：一是求离心率值；二是求离心率的取值范围.求解离心率，一般是构造参数a,c或a,b等式或者不等式，找出它们的关系，从而计算.离心率问题难点不在求解，而在找等量关系或者不等量关系，也就是找出题目中的数学本源.如何能在最短的时间内，找到关系，最有效的办法是从数学本源出发，研究命题方向和结合的知识点，发现规律，探究方法，形成一系列解题策略.

1 特殊三角形与离心率

这类题目通常利用特殊三角形的性质来找参数关系，用到的性质一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等，解题方法可用代数法也可用几何法，通常数形结合，用几何法计算量较小，运算相对简单.

解析因为顶点A,B在双曲线上，由双曲线的定义，可得到含四个参量的两个等式，结合等腰直角三角形这个条件，可以消掉两个参量，再利用Rt△F1BF2解出BF1，BF2的值.

如图1，不妨设点B是Rt△F1AB的直角顶点，则

图1

①

又点A,B在双曲线上，由双曲线的定义，得AF1-AF2=2a，BF1-BF2=2a.

②

在Rt△F1BF2中，由勾股定理，得

2 平行四边形与离心率

与平行四边形结合的离心率问题一般有两类，一类是题目中存在四边形；另一类是利用圆锥曲线的对称性构造四边形.用到的性质通常有：对边平行相等；两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等.解题时可用代数法也可用几何法.

图2

解析因为|PM|2+|PN|2是定值，而式子中的两个线段长度不好表示，所以可以利用平行四边形的对称性进行转化.点P在椭圆上，坐标满足椭圆方程，于是想到把定值转化成与点P坐标有关的量，代入椭圆方程，就找到了一个有关参数的等量关系.

3 圆与离心率

借助于圆的性质求离心率问题的题目相对较多，考查点通常是圆的性质和圆锥曲线性质的结合，比如弦的中点与圆心的连线与弦垂直，直径所对的圆周角是90°，半径相等，圆与圆的位置关系等.

图3

解析两圆的半径分别有参数a,c，找a,c的关系，只需找两圆的关系即可.解题方法可以用代数法也可用几何法，但几何法要相对简单.

由对称性可知PQ⊥x轴，因为OF是圆的直径，且|PQ|=|OF|，所以PQ也是圆的直径.

所以△POM是直角三角形.

于是有OP2=OM2+PM2.

4 变量的范围与离心率

该类题目通常是先给出标准方程中某个参数的范围，或者变量的范围，再结合具体图形的平行关系、共线关系、垂直关系等求离心率的取值范围.通常用代数法来求解.

图4

图5

因为M(x0,y0)在第一象限，所以x0

总之，对于比较复杂的离心率问题，找出等量关系或者不等关系是关键，通常会与很多知识结合起来，有时还涉及数形结合.对于一些常见公式，应该引导学生自主观察、独立思考，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，找出数学本源，从而更有效、简洁地解决它，培养学生的数学核心素养.