轴向混合磁力轴承的刚度与阻尼特性研究

许贞俊

(贵州装备制造职业学院，贵州 贵阳 550000)

0 引言

与传统的支撑轴承相比，磁力轴承在原理与方法上有着很大的差别，但其本质并没有发生改变，都是用于支承转子的部件，即为旋转部件提供所需的刚度与阻尼，故而磁力轴承亦针对其支撑刚度和阻尼进行研究。本磁力轴承是混合型磁力轴承，主要由永磁和电磁两部分组成，因而本混合轴向磁力轴承的刚度和阻尼不仅与其结构特征有关，还与其控制系统有关，即混合轴向磁力轴承的刚度和阻尼与传统支承轴承的刚度和阻尼相似，但又不能照搬对传统支承轴承的刚度和阻尼的研究方法。

1 混合磁轴承的刚度理论

目前磁力轴承还未有系统的理论，其刚度表述也未统一。通过传统支承轴承刚度的定义，混合磁力轴承的刚度是指某方向上单位位移所需的增量力。

根据定义，在某方向上的刚度为[1-2]：

(1)

式中：Fz是磁轴承在z方向上的磁拉力，z是在此方向上的位移。

磁力轴承支承阻尼：磁轴承的方向阻尼为此方向上单位速度变化所需的增量力，本磁力轴承为轴向上的，则轴向阻尼可表示为[3-4]：

(2)

2 基于轴对称特性的刚度与阻尼

2.1 混合磁力轴承的刚度矩阵

空间问题存在六个自由度，在本飞轮系统中，飞轮转子处于竖直状态，并绕其轴向z轴转动，故不考虑绕z轴的旋转自由度，但其余五个自由度都必须加以限制。对混合磁力轴承建立坐标系，如图1所示。

因此建立5×5的刚度矩阵：

(3)

从简化的混合磁力轴承分析模型可知，永磁体为一旋转体，则Kxx=Kyy=Kr，Kαα=Kββ=Kφ。同时由于本磁场为保守场，因而刚度矩阵为一对称竞争，即Kij=Kji。

当飞轮转子在平衡位置受到轴向扰动时，飞轮转子与混合磁力轴承在轴向上将产生相对位移，但此时对径向力没有影响且始终为零，因此除Kzz外，其余的Kzj和Kiz均为零。

当飞轮转子在平衡位置受到径向扰动时，飞轮转子与混合磁力轴承在径向方向将产生相对位移。(在直角坐标系下分析)假设在x轴方向上产生相对位移，则Fy和Mx都将为零，且Kyx=Kαx=0。同理可得Kβα=Kxα=0，Kyβ=Kβy=0。

根据上述分析，刚度矩阵可简化为：

(4)

因混合磁力轴承模型具有轴对称特性，故在刚度上存在以下关系：Kxx=Kyy，Kαα=Kββ，Kαy=Kyα，Kβx=Kxβ，因而只需考虑三个变量，在文中我们着重考虑的是轴向恢复刚度和径向不平衡刚度。

2.2 轴向恢复刚度与径向不平衡刚度

根据等效电流分析法，混合磁力轴承与转子间的受力情况可由洛伦兹定律求得：

(5)

同时根据电磁学基本理论可以得到：

(6)

(7)

(8)

将上述(6)式、(7)式、(8)式带入到洛伦兹定律便可求得：

(9)

由Earnshaw定律可知轴向恢复刚度与径向不平衡刚度存在以下关系：

2Kr+Kz=0

(10)

因而可得轴向恢复刚度与径向不平衡刚度分别为：

(11)

3 基于PD控制系统的刚度和阻尼

混合磁力轴承利用永磁体对导磁物体的吸引力，使物体在轴向上能够使电磁力与转子重力相平衡而稳定悬浮，这部分电磁不参与工作。当飞轮转子在轴向上受到外界干扰产生轴向位移而偏离平衡位置时，根据位移传感器的输出信息，电磁参加工作使飞轮转子重新回到平衡位置，如图3为磁力轴承控制简图。

3.1 磁拉力和控制电流与位移的关系

磁力轴承在其功能上有着其他传统支承轴承无法比拟的优势，其中无机械接触、能耗低和多循环次数表现的极为优秀，这也使得磁力轴承在高速旋转机械中有着无法想象的应用前景。阻尼和刚度的合适性是磁力轴承使得转子高速旋转稳定性的前提条件，而其阻尼和刚度即受到磁力轴承本身结构和磁路特性的影响，同时还受到控制环节的牵制。

永久磁体负责转子重量的完全卸载，而电磁负责转子在受到外界扰动时使转子重新回到平衡位置，就其静态偏置磁场和电磁场分别为：

(12)

(13)

式中：hpm永久磁铁的磁化长度，Apm磁极面积，Hc永磁矫顽力，Agap气隙面积，N线圈匝数，i控制电流，u0为真空磁导率，g0气隙。

当转子受到轴承扰动时，转子将偏离平衡位置，相应磁极气隙也将随之变化，根据磁场强度和磁拉力的关系可得扰动磁场和磁拉力为：

(14)

(15)

由于飞轮储能系统是置于真空环境中的，其最大的外界扰动是转子本身的质量不平衡分布，故转子的不平衡位移是微量的且相对于气隙是远小于的，则将磁力进行线性化后可得：

=Kzz+Kii

(16)

式中：Kz为力-位移关系特征系数，Ki为电流-位移关系特征系数。从式中可以看出磁力轴承的磁拉力与轴向位移和控制电流有关，其中Kz和Ki主要由磁力轴承的结构决定，因而磁拉力同时受到磁力轴承本身结构及其控制系统的影响。

3.2 PD控制下的刚度和阻尼

混合型磁力轴承的电磁部分是由位移传感器的反馈信息来驱动的，因而其控制系统为一闭环系统，其传递框图见图4，其中，H(s)为包括功率放大器、控制电路和位移传感器等所有的控制环节传递函数。

在磁力轴承控制系统中比例系统和微分系统是闭环稳定系统的基础，但实际控制电路系统中单纯的微分环节存在噪声，难以满足系统稳定性的要求，故一般采用的微分系统是带有低通滤波环节的，在此可以选用的PD系统为[5-8]：

(17)

式中：K为包括所有环节的增益，cp为PD比例系数，cd为PD微分系数，τd为滤波时间系数。

系统闭环传递函数为：

(18)

拉氏变换磁拉力与位移之比即为动刚度，即：

(19)

让s=jω，并带入式(19)，可得频率特性为：

(20)

频域里力和位移的关系可简化为：

F(jω)=m(jω)2z(jω)+

(21)

现将磁力轴承比例成弹簧单元，弹簧单元的运动方程为：

(22)

式中：k为等效弹簧单元刚度，d为等效弹簧单元阻尼。

则有：

(23)

(24)

式(24)即为混合磁力轴承刚度与阻尼同PD控制特性的关系。

4 结论

(1)基于本混合轴向磁力轴承的轴对称特性，对其刚度和阻尼在结构上的特点进行了研究。

(2)由于混合型磁力轴承由永磁和电磁两部分组成，针对电磁部分与刚度和阻尼的关系进行了研究，得出了本磁力轴承在PD控制下的频率特性和频域里力和位移的关系，为本混合轴向磁力轴承控制系统的设计做出了初步方案。

(3)根据有限元中磁力轴承动力学表征的特点，将磁力轴承等效为弹簧，得出了表征刚度与表征阻尼，为有限元分析边界条件的加载提供了依据。