弹簧基非线性能量阱的刚度误差许可范围研究

杜锦龙，唐明君

(1.天津理工大学机械工程学院天津市先进机电系统设计与智能控制实验室，天津 300384；2.天津理工大学机电工程国家级实验教学示范中心，天津 300384)

0 引言

振动现象在工程的各个领域普遍存在，高效地降低机器的振动对提高产品的加工质量，增长机器的有效使用时间和机器的安全性尤为重要[1-2]。非线性能量阱拥有较小的质量以及较宽的减振频带等优点，在现代工程中有良好的应用前景[3-5]。杨豪[6]等人研究了混合阻尼对非线性能量阱吸振效果的影响。熊怀[7]等人基于传递和耗散能量的方向，提出一个拥有较好吸振作用的立方非线性能量阱。

张也弛[8]研究了一种由两自由度非线性能量阱和单自由度吸振器构成的减振装置，该装置有较好的振动抑制效果。王国旭[9]等人研究了含有两个弹簧的非线性能量阱在简谐激励下的优化问题。杨一帆[10]研究了一种两自由度非线性能量阱。该系统相对于单自由度NES能够高效抑制主结构的振动。Gourc[11]等人研究了在车削过程中出现不稳定的颤振时，非线性能量阱的被动控制问题。刘艮[12]等人研究了非线性能量阱对悬臂矩形板振动的抑制。Wang[13]等人提出了一种新的轨道双稳态非线性能量阱，目的是解决传统轨道结构对能量的依赖问题。

陈建恩[14]等人提出了一种刚度递减的非光滑吸振器，该吸振器能够消除稳定的高分支响应。Li[15]等人提出了一种分段线性非线性能量阱，用于同时抑制振动和收集能量。陈建恩[16]等人对比了并联吸振器和单自由度吸振器的吸振效能，发现前者吸振能力优于后者。孙敏[17]等人研究了串联和并联非线性能量阱的择选以及对此两种能量阱提高吸振效率的研究。

具有纯立方刚度的非线性能量阱因具有宽频吸振能力而受到广泛关注，然而，在实际工程中实现并长时间保持NES的纯非线性刚度特性具有一定的困难。鉴于此，本文研究了纯立方刚度弹性元件在实现过程中存在较小偏差时，非线性能量阱的失效情况。例如，当实现纯立方刚度的横置线性弹簧元件在使用中受到压缩时，就会产生较小的负线性刚度，进而会对吸振器吸振效能产生影响。

彭献[18]等人对负刚度弹簧系统进行了研究，并且对此系统的能量进行分析。研究表明具有负刚度弹簧的振动系统拥有较低的固有频率、较大的承载能力、较好的隔振效果等优点。王维锐[19]等人研究了一种利用负刚度来控制车悬架的方法。苏智伟[20]等人研究了一种含负刚度混合隔振系统，该系统能够在较大载荷下依然保持较好的吸振效能。

目前大部分非线性能量阱的研究都没有完全考虑到实际安装情况，缺少由于安装误差或长期服役导致的较小正或负刚度对非线性能量阱吸振效能的影响的研究。本文研究了单自由度吸振器和串联两自由度吸振器在这些情况下的刚度误差许可范围，进而推进非线性能量阱在工程中的应用。

1 单自由度吸振器吸振效能研究

由单自由度吸振器和单自由度线性主结构组成的系统如图1所示(当吸振器仅具有非线性刚度时，即构成所谓的非线性能量阱)，其动力学方程为：

(1)

(2)

目前，实现纯立方刚度最常用的方式是利用垂直于质量块运动方向的两根线性弹簧，图2[21]给出了其示意图。

质量块的运动被限制在X轴方向上，线性弹簧的两端分别与质量块和支座铰接。其中弹簧线性刚度系数为K，原长为L，铰支座与振子距离为l。

当振子中的弹簧处于自由伸长状态时，吸振器仅具有纯立方刚度；当振子中的弹簧处于拉伸状态(l>L)时，除具有纯立方刚度外，该吸振器还存在正线性刚度；当振子中的弹簧处于压缩状态(l

根据静力学分析可得回复力函数：

(3)

将F(X)对X进行泰勒级数展开(展开前2项)得：

(4)

令L=0.2 m，当弹簧被压缩时，质量块会偏离图2中所示的位置，根据弹簧被压缩量的不同，可以通过勾股定理算出质量块的初始位置并将其用于后续计算。

令主结构刚度k1=100 N/m，主结构质量M=1 kg，吸振器中小质量块的质量为0.05 kg，吸振器中的线性弹簧的刚度系数K取两个值，分别为150 N/m和500 N/m，主结构和吸振器的线性阻尼系数均为0.01 Ns/m，则可以得出表1。

表1 弹簧具有不同压缩程度和K值时的k2、k3值和质量块初始位置

主结构能量的计算公式为：

(5)

冲击载荷F为半波形式：

(6)

其中，T=0.4/π。

如图3(a)所示，当弹簧刚度系数为500 N/m且压缩量为0.003 m时，吸振器吸振效能曲线出现较大波动；如图3(b)，当弹簧刚度系数为150 N/m且压缩量为0.006 m时，吸振效能曲线才会出现波动。可以得出，弹簧的线性刚度系数越小，吸振器的刚度具有较大误差允许范围。弹簧刚度系数为150 N/m且压缩量为0.002 m时，吸振器在较小载荷下的吸振效能比同等压缩量下，线性刚度系数为500 N/m时的吸振效能高。吸振器在较大载荷下，两个吸振器吸振效能曲线趋势大致相同，可以得出，吸振器受到较小载荷且弹簧受到相同压缩量的情况下，线性刚度系数越大，吸振器的吸振效能越低。

弹簧刚度系数为500 N/m且压缩量为0.001 m时的吸振效能比同等刚度下弹簧自由伸长状态时的吸振效能高，弹簧刚度为150 N/m且压缩量为0.002 m时的吸振效能比同等刚度系数下弹簧自由伸长状态时的吸振效能高。可以得出，不论弹簧的刚度系数取值的大小，弹簧具有一个很小的压缩量，能够使吸振器的吸振效能大于同等条件下弹簧处于自由伸长状态时的吸振效能。

上文研究了吸振器中的弹簧在不同压缩状态下的吸振效能，下面将研究弹簧在不同拉伸状态下的情况，可以得出表2。

表2 弹簧具有不同拉伸程度和K值时的k2、k3值和质量块初始位置

得出弹簧具有不同K值时吸振器在不同的弹簧拉伸量下的吸振效能，如图4。

如图4(a)所示，吸振器在较小载荷下，弹簧刚度系数为500 N/m且拉伸量为0.001 m时吸振器的吸振效能大于相同刚度系数条件下弹簧处于自由伸长状态时的吸振效能。如图4(b)所示，吸振器在较小载荷下弹簧拉伸量为0.002 m、0.004 m、0.006 m时的吸振效能比弹簧自由伸长状态时的吸振效能高。可以得出，吸振器在较小载荷下，弹簧具有一定伸量时的吸振效能比弹簧自由伸长状态时的吸振效能高。具有纯非线性刚度的吸振器具有一定的激发阈值，只有外激励达到该值，吸振器才能够较好地发挥作用。

如图4(a)所示，弹簧刚度系数为500 N/m且弹簧拉伸量大于0.003 m时，吸振器的吸振效能始终约为20%；如图4(b)所示，当弹簧刚度系数为150 N/m且拉伸量为0.008 m时的吸振效能仍保持在40%左右，比前者的吸振效能高。可以得出，弹簧刚度系数越小，弹簧的可拉伸范围就会越大。而且，载荷增大到一定程度后，相同的刚度系数下，弹簧的拉伸量越大，吸振器的吸振效能越低。

如图4所示，在弹簧的拉伸量为0.002 m时，刚度系数为150 N/m时的吸振效能比刚度为500 N/m时的吸振效能高。可以得出，在弹簧的拉伸量一定时，弹簧的刚度系数越小，吸振器的吸振效能越高。在系统受到小载荷时，不论弹簧刚度系数取值的大小，只要弹簧处于自由伸长状态，吸振器的吸振效能均约为50%，在吸振器受到载荷约为5 N时的吸振效能达到峰值，随着载荷不断增加，吸振效能逐步下降，吸振效能下降的快慢取决于弹簧的刚度系数，其刚度系数越大，吸振器的吸振效能下降得越快。由图4还可以看出，不论弹簧的刚度系数取值的大小和拉伸量数值的大小，其吸振效能曲线始终是平滑的。

2 串联两自由度NES吸振效能研究

本节将研究两自由度吸振器中弹簧在拉伸或者压缩状态且弹簧刚度系数均为150 N/m时的吸振效能。

由串联两自由度吸振器和单自由度线性主结构组成的系统如图5所示，其动力学方程为：

(7)

(8)

(9)

吸振器中两个小质量块的质量均为0.025 kg，两个线性阻尼系数均为0.005 Ns/m，主结构参数保持不变，研究第一、二级吸振器中弹簧在不同拉伸或压缩量下，吸振器的吸振效能变化。首先研究仅拉伸第一级弹簧或第二级弹簧，对吸振器吸振效能的影响。如图6所示，吸振器在较小载荷下，仅第一级吸振器具有正线性刚度时，误差许可范围较大。随着载荷的增加，增大某一级吸振器正线性刚度会使吸振效能有所降低。

下面将研究第一、二级吸振器中两个弹簧都处于拉伸状态时的吸振效能，首先要研究第一级弹簧拉伸量固定时，第二级弹簧在不同拉伸量的影响下吸振器的吸振效能。如图7(a)所示，随着第二级吸振器正线性刚度的增加，吸振效能逐步下降，同样地，如图7(b)所示，吸振效能同样降低，且在第二级吸振器具有较大正线性刚度时，吸振效能已不足50%。

图8给出了第二级弹簧拉伸量固定时，第一级弹簧在不同拉伸量下的吸振效能。不论第二级吸振器正线性刚度数值的大小，增加第一级吸振器正线性刚度，吸振效能逐步下降。对比图7和图8可知，第二级吸振器对于弹性元件拉伸的许可范围稍大于第一级吸振器。

图9给出了第一、二级弹簧压缩时的吸振效能。先研究仅压缩第一级弹簧和第二级弹簧时的吸振效能。

如图9(a)所示，第一级吸振器负线性刚度的增加不会降低吸振效能，反而会使吸振效能有所增加。如图9(b)所示，第二级吸振器具有负线性刚度且吸振器在较大载荷下，才能得到较大的吸振效能，吸振效能曲线大致和图9(a)一致。可以得出，第一级吸振器具有负线性刚度时，误差许可范围较大。

对比图6和图9，可以得出某一级吸振器具有负线性刚度时的吸振效能比其具有正线性刚度时的吸振效能高，该结论和关于单自由度吸振器的结论定性上一致。

研究第一、二级弹簧都处于压缩状态时的吸振效能。首先研究当第一级弹簧处于某个固定压缩量下，第二级弹簧在不同压缩量下的吸振效能，如图10。

如图10(a)所示，第二级吸振器负线性刚度数值的大小不会影响吸振效能。但是，当第一级弹簧压缩量增大后，增加第二级吸振器负线性刚度，吸振效能曲线就会出现较大波动，如图10(b)所示。但在较大载荷下，吸振效能曲线又回到相对较高位置。对比图7和图10，第一级吸振器具有负线性刚度时的吸振效能比其具有正线性刚度时的吸振效能高。

图11给出了当第二级弹簧处于某个固定压缩量时，第一级弹簧在不同压缩量下的吸振效能。

吸振器在较大载荷下，不论第二级吸振器负线性刚度数值的大小，吸振效能都很高。但是，第一级吸振器负线性刚度越大，在较小载荷下，吸振效能曲线越容易出现波动，随着载荷的增加，吸振效能曲线又回到较高位置且趋于平稳。对比图10和图11可知，第二级吸振器对于弹性元件压缩的许可范围稍大于第一级吸振器。对比图8和图11，可以得出，第二级吸振器具有负线性刚度时的吸振效能比其具有正线性刚度时的吸振效能高。

3 结论

目前，关于非线性能量阱的研究较少考虑到实际安装情况，缺少由于安装误差或长期服役导致的较小正或负线性刚度对非线性能量阱吸振效能的影响的研究。本文研究了单自由度和串联两自由度非线性能量阱在这些情况下的刚度误差许可范围，进而推进非线性能量阱在工程中的应用。获得的主要结论如下：

(1)无论单自由度吸振器还是两自由度吸振器，相对于正线性刚度，弹性元件对于负线性刚度的误差许可范围较大，当弹性元件适当的负刚度时，甚至能够提升吸振器的性能。

(2)对于两自由度吸振器，第一级或第二级吸振器具有负线性刚度时的吸振效能比其具有正线性刚度时的吸振效能高。第二级吸振器对于弹性元件拉伸或压缩的许可范围稍大于第一级吸振器。