数形结合探本质，数学实验提素养——以“一元二次方程的解法——配方法”为例

◎郎伟伟 杨继真(指导老师) 李彩云

(河南省洛阳市洛阳师范学院，河南 洛阳 471000)

《义务教育数学课程标准》中指出：“数学是研究数量关系和空间形式的科学”数学课程在数学课堂上的实施不仅包含学生学习数学的结果，还包括数学结果的形成过程和教学过程中蕴涵的数学思想方法因此，数学教师“如何教、教什么、怎样教”，学生“如何学、学什么、怎样学”，以及学生在数学课堂的学习中又收获到了什么，就成了评价一节数学课的质量的关键而授课过程中是否揭示了数学本质，学生又意会到了怎样的数学思想，成为当下数学教育的一个重要研究方向因此，数学思想方法的有效渗透是每一位教师都应该关注的“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”著名数学家华罗庚的这首小诗，精练地向我们展示了数与形之间的密切关系数学教学过程中，“以形助数”和“以数解形”是运用数形结合思想常用的两种形式，它们之间相辅相成，搭建起一架通向数学核心素养的桥梁，促进学生的全面发展

一、多角度分析教材，把握数学课程标准的要点

该案例选自人教版九年级数学的第二十一章第二节第二课时新课标在“课程内容”板块中明确指出：“理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程”因此，如何使学生更好地理解配方法成为教师教学设计中的重要环节教材是保证课堂教学有效实施的具体材料，数学教材包括显性结构和隐性结构，显性结构即学生在教材上可以直接读到的公式、图形、定理等明确需要解决的数学知识；隐性结构即隐藏在教材背后的数学思想、数学文化、数学精神等具有丰富内涵的数学价值因此，如何准确分析数学教材的显性结构，挖掘数学内容的隐性结构，是每一位数学教师必须做到的为了使学生更好地理解配方法，在对苏教版中的“数学实验室”栏目教学有了一定的认识之后，教师可以利用图形与代数来描述和分析一元二次方程的配方问题本着这样的思路，对一元二次方程的配方法的教学设计进行了以下探究

二、初探——着眼于“代数运算”

在新课标的要求下，为更好地促进学生的发展，下面对 “解一元二次方程”的教学设计展开探究

片段一：

教师引导学生欲解方程+6+4=0，可以尝试用降次的思想来求解该如何降次？请学生解答大屏幕上的习题问题如下：

根据完全平方公式的特征，完成填空

(1)+10+( )=(+ );

(2)+( )+36=[+( )];

(3)-4-5=(- )-9

师：对，在上述习题中，可以看出等号右边都是依据完全平方公式由等号左边变形得出的那么，你能想到什么呢？(微笑出示+6+4)

生1：可以先看+6，用完全平方公式变形

生2：(抢答)先加上一次项系数的一半的平方，再同时减去一次项系数的平方，也就是+6+4变为+6+9-9+4，根据完全平方公式得出(+3)-5这样的话，方程转化成(+3)-5=0了，就能解这个方程了

片段二：

师：很好，像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法在这里，配方的目的是什么呢？(数学抽象)

生1：把方程化成(+)=的形式

生2：这还是降次，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解

师：对，配方法的核心仍然是用降次的方法来解一元二次方程(学生出题，各小组进行练习)

师：我们再想一下，如果一元二次方程的二次项系数不是1，怎么解呢？比如方程2+2=5,可以小组讨论(引导学生解答，并对解一元二次方程的解题步骤及方程根的情况做出总结)

在“一元二次方程的解法——配方法”的教学设计的“初探”中，主要是使学生明确解一元二次方程的根本思路在于将“二次化为一次”的降次的思想

三、再探——着眼于“几何”与“代数”的结合

教师在进行第一轮的教学设计后，且知道在后续二次函数的教学中学生会通过二次函数的图像更直观地去理解一元二次方程的相关知识点，巧妙地将数与形结合在一起但在学习二次函数之前，教师能否将一元二次方程的解法通过其他形式展示给学生呢？在苏教版九年级数学上册的教材中，“数学实验室”的设置突出在“做数学”中“学数学”，通过“做数学”，旨在使学生感受数学新知的生成过程，在亲身经历中去探索、质疑、反思、感悟等，由此，激发出结合数学实验室的内容，以及重新设计教案的想法

众所周知，实验可以极大地提高学生的学习兴趣，让学生直观感知知识的生成过程下面，我们来看如何结合“数学实验室”把一元二次方程的配方问题变得更直观、形象以下为第二次增加的教学设计部分

片段一：

师：上节课，我们布置了一个思考题：怎样解方程+6+4=0呢？带着这个问题，我们一起走进花园，先来做个小实验，在这块长为(+6)、宽为的花坪中，因实际需求，要使它变成一个正方形的花坪，该怎么办呢？(小组讨论，有的学生尝试画一画，有的尝试剪一剪)制图过程如下：

图1 配方法的制图过程

师：在这个环节，你可以发现什么呢？

生：这个长为(+6)、宽为的长方形，不管是通过画正方形，还是剪正方形，得出的大正方形都缺失了一块边长为3的小正方形

师：所以，这个长方形花坪的面积是？(缓慢、反问的语气)

生1：不变的，可以是(+6)

生2：也可以是(+3)-3

生3：所以(+6)=(+3)-3

师：现在再来看方程+6+4=0，你有什么想法呢？(生沉思，接下来纷纷举手发言)

生4：把方程左边的+6替换为(+3)-3，得出(+3)-3+4=0，整理为(+3)=5

生5：将(+3)=5直接开方，进行求解就行了

师：非常好，我们通过将矩形“割、拼、补”为正方形，非常轻松地解答了+6+4=0这个方程，也实现了将长方形花坪改拼为正方形花坪的需求，解决了实际问题再来观察方程+6+4=0中的+6，你们还能想到什么呢？

片段二：

师：可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解(此时，班级里发出了“咦”的反问信号)

生1：花坪问题是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，这里运用配方法也是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程

生2：用求正方形面积的方法解方程和用完全平方公式进行配方解方程有没有什么联系呢？

生3：应该是一样的吧

师：数学上可以说应该或者差不多吗？(生纷纷摇头)请大家回忆一下我们将长方形转化为正方形时，是如何操作的？

生1：先剪出一个边长为的正方形，剩余的图形为长为、宽为6的小矩形，再一分为二，拼得一个缺了一部分(边长为3的小正方形)的大正方形，拼前、拼后的面积始终是不变的

生2：那就是(+6)=(+3)-3

生3：这不就是用完全平方公式配方的那一步吗

师：非常好其实，花坪问题中由长方形到正方形的面积转化过程就是运用完全平方公式进行配方的过程(进行对比)

拼图过程配方过程 x(x+6)(x+3)2-32x(x+6)=(x+3)2-32 x(x+6)=x2+6x+32-32=(x+3)2-9注:32为一次项系数一半的平方

师：请同学们尝试一下如何用拼图的方法来描述一下方程+2-24=0的配方过程这时，缺少的小正方形的面积是多少呢？(小组边通过画图、剪图的方法操作，边进行思考、讨论)

生：得到一个边长为(+1)的正方形，这个正方形缺了一个边长为1的小正方形所以，缺少的小正方形的面积是1(操作过程较之前更娴熟了)

师：在拼图的时候，你发现了什么规律呢？

生：其实缺少的这个小正方体的面积就是一次项系数一半的平方

师：确定第一个正方形时，剪去矩形的一边长为一次项系数，另一边长等于第一个正方形的边长，再将这个矩形一分为二，进行拼组，空缺的小正方形的边长等于一次项系数一半的平方(边说边展示)

教师通过设置如上环节，增加了学生学习一元二次方程的趣味性，学生在直观的动手操作、动脑思考中感受一元二次方程的配方过程，“数”与“形”的结合自然而不失生动有趣学生在“做数学”的过程中，进行直观想象，潜移默化地培养分析问题、解决问题的能力与数学语言的表达能力，激发学生不断地进行思考，逐步地渗透数学的核心素养

四、教学设计整体的对比分析

钱珮玲教授曾说过，数学思想方法是隐形的本质的知识内容因此，在教学中，教师必须深入钻研教材，充分挖掘教材中的有关思想方法而直观想象素养的核心表现就是数形结合思想的形为真正理解苏教版 “数学实验室”的设置目的与实际意义，并更好地在运用配方法解一元二次方程中融入数形结合的思想，培养学生直观想象素养，下面对上述两个教学设计的环节和教学设计理念进行分析，纵向挖掘两个教学设计之间的本质区别，通过对图形直观操作与对应的代数运算的强调，旨在通过“数”与“形”的结合增强学生的数学联系能力和培养学生多角度思考问题的习惯，同时增进他们对乘法公式的理解与记忆，进而谋求在设计理念方面紧紧围绕新课标中“人人都能获得良好的数学教育”，创设学生主动进行数学思考的情境，在“会说、会辩、会用”的前提下，培养学生的“四能”，达成学生数学直观想象素养的提升，让学生在快乐中学数学，在学数学中寻找快乐

(一)教学设计理念对比

第一次第二次教学目的以会用配方法解一元二次方程为目的关注数学核心素养,使学生在理解的基础上,培养学生从多角度分析问题、思考问题的能力教学方式以讲解、引导为主.旧知引入新知,进而总结相关概念,使学生会解答常规的运算问题,概念性较强,内容显得枯燥,学生容易缺乏学习兴趣以探究、引导为主.课前,以“数学实验”创设情境,让学生在“做数学”中去“学数学”,在实际的动手操作中激发学生的学习兴趣,通过对一元二次方程的配方法进行数与形之间的联结,培养学生的直观想象核心素养教学活动无引入“花坪问题”,贴近学生的生活实际.通过画一画、剪一剪、拼一拼的形式,学生可以更好地理解、思考并探究解一元二次方程的配方法教学过程设计在教师的引导下,学生完成学习任务,达成课程目标的要求在创设的“花坪问题”情境中,通过对图形的动手操作,不断激发学生进行数学思考.在教学中,积极引导学生去发现问题、分析问题,进而解决问题

(二)教学环节对比

第一次第二次设计意图新课导入PPT出示:根据完全平方公式的特征,解答习题,引出课题由花坪问题引入课题.创设实际情境,使学生在动手操作中激发思考,引发认知冲突调动学生的积极性,在“做”中“学”,激发学生的求知欲,旨在培养学生的直观想象素养新课教学无通过对矩形进行剪、画,得出缺失一个小正方形的大正方形,从而直观地进行一元二次方程的解法探究让学生动手进行具体操作,利用图形深入理解“数与代数”,感知新知的生成过程依据完全平方公式的特征将等号左边变形进而探究一元二次方程x2+6x+4=0的求解过程观察方程中x2+6x,引发学生思考,根据完全平方公式的特征对方程进行变形在旧知的基础上,引发认知冲突,建立新旧知识之间的联系新课教学无引导学生对两种解一元二次方程的方法进行对比分析,挖掘解一元二次方程的核心就是配方通过直观操作,建立起几何与代数之间的联系,直观意会到解一元二次方程的根本思路是“化二次为一次”的“降次”的思想,深入挖掘蕴涵的数学本质,增加学生的学习印象

五、结束语

俗话说，授人以鱼不如授人以渔知识的传授也是如此在教学过程中，单单教给学生数学显性层面的知识，只要求学生在一元二次方程的代数运算方面有所提高，不符合新课标的教学理念，于学生来说，也不利于他们的长足发展因此，在本节课第二轮的教学设计中的图形操作的环节，教师让学生通过“剪、画、拼”的动手操作形式，直观感受一元二次方程的配方过程中数学知识的生成过程，将“数”与“形”充分结合起来，不但极大地激发了学生主动探究的兴趣，而且学生直观操作的效果远远大于教师对数学知识直接讲授的效果在这里，苏教版中“数学实验室”栏目的数学本质就是引导学生在“做数学”中“学数学”，在“做”中“感悟”因此，教师在进行教学设计时，要紧紧围绕新课标的具体要求，要以学生的发展为本，在教学过程中，提倡学生主动进行思考与探索，引导学生会用数学语言进行表达，在“三会”的基础上培养学生的“四能”，并注重数学核心素养的培养这是每一位教师成长生涯的“标配”在此基础上，教师仍需要不断地进行个人“充电”，跟紧时代的步伐，勇于创新，从而提升个人的专业能力