基于结构力学的高中数学建模的开发思考

◎张世凡

(重庆市万州区教师进修学院，重庆 404120)

一、引 言

目前，我国高中数学课堂上应当引导学生们进行自主探索、阅读自学、动手实践以及合作交流的学习方式，充分调动学生在数学课堂上的学习主动性，使学生可以在学习的过程中探索出对数学建模的独有见解如何培养学生对数学的探索能力成为高中数学教师应当首要解决的问题对此，高中数学教师应从数学建模教学角度入手，提高学生在结构力学中数学建模的能力

二、结构力学中数学模型的发展与意义

(一)结构力学中数学模型的意义

首先，结构力学可以为学生提供丰富的数学模型，而且结构力学这门课程的总体教学规律还遵循“数学—力学—结构”这样的线路，即结构力学中每一项理论的产生都基于数学知识、理论力学和材料力学三个学科进行推理论证，才能够得出结构力学的结论因此，结构力学包含很多数学学科的基本理论知识从结构力学的角度出发，结构力学中所用到的公式本身会具有结构力学课程独特的地方，虽然这些公式都是基础的数学表达式，但结构力学可以将其中的参数与力学参数结合在一起，赋予公式处理结构力学问题的能力如果在结构力学的教学中将这些公式使用到课堂当中，对学生而言将会是一种全新的学习方式，同时是对学习思维的一种锻炼

(二)结构力学中数学模型的发展

现阶段，数学建模已经具有成形的理论基础，但是怎样让学生掌握这种理论成为人们急需解决的问题因此，各类数学建模的活动竞赛应运而生例如,教育方面，上至大学下至小学，都开始加强对学生的数学建模思想的培养，并且会经常举办各种建模活动来增强学生对数学建模的意识，提高学生对数学建模学习的积极性在社会方面，无论是国家还是社会都希望结构力学的数学建模能够体现在每一个人身上因此，现阶段各种规模的数学建模竞赛才会越来越多，且受重视程度越来越高各大高校之间也会举办各种规模的数学建模竞赛活动，通过这种方式激发当代大学生对待结构力学的学习积极性，同时可以带动参与人员的热情在造就人才方面，各大企业可以通过含金量较高的建模活动，选拔出一批具有数学建模能力的人才来充实自身，还可以通过投放奖金的方式激发学生对数学建模活动和投资企业的向往

(三)结构力学在实际生活中的应用

结构力学普遍存在于现实生活当中，例如小院的砌墙和高楼大厦的设计都与结构力学有关，可以说只要有结构存在的地方就有结构力学知识的存在同时，人们根据结构力学中“极限状态”这一概念，设计出弹性地基粱、弹性地基板及刚架式结构等设计，并且随着结构力学的不断发展，建筑行业中的疲劳问题、断裂问题以及复合材料结构等问题先后都融入结构力学的研究领域，使其在结构力学的支持下得到快速发展另外，结构力学的数学建模还通过结合计算机技术的方式，实现超大型数学建模的计算，例如大跨度的大棚建模等设计

三、数学建模的方法及步骤

(一)数学建模方法

根据建模目的、建模工具、分析方法的不同，所构建的数学模型也会存在一定的差异高中数学教学中，常用的建模方法包括机理分析法、测试分析法、综合分析法等不同的建模方法都存在独特之处，并且不同建模构建模型也存在其独有的属性例如，利用两种不同的建模方法构建的数学模型，其分析结果也会存在差异这则涉及建模方法的选择在数学建模前需要结合数学模型的特点、要求、条件等选择合适的建模方法，以保证分析结果的准确性

1机理分析法

该建模方法主要根据对现实对象属性、特征的了解，并结合已有的经验、知识等，研究现实对象中存在的各种变量以及变量之间具有的关系，以反映数学模型内部机理规律利用该方法构建的数学模型虽然能够有效解决实际问题，但是想要使用该方法构建数学模型，就必须要了解和掌握研究对象的属性特征、机理等

例如，对于机械故障问题的分析首先，我们需要了解和掌握该机械运行原理；其次，根据机械工作原理分析其故障原因在分析机械问题过程中，我们可以通过图论方式逐一排除故障问题

2测试分析法

针对研究对象运行机理不清晰的情况，可以将研究对象作为“黑箱”系统，通过对系统的输出参数和输入参数进行观察，并基于实测数据构建数学模型该方法即为测试分析法例如，对机械生产过程中次品生产率的了解，首先需要启动机械，让其进行生产模型，其次根据产品生产结果统计次品生产概率

3综合分析法

针对某一问题无法通过单一的建模方法构建出完整的数学模型时，可以采用两种及以上的建模方法，如利用机理分析法构建数学模型结构，然后再利用测试分析法计算法数学模型的详细参数

(二)数学建模步骤

1合理假设

基于现实问题构建数学模型时，首先需要对问题有基本的了解，即问题是什么？目的是什么？一般情况下，当遇到现实问题时，我们对于问题的了解往往不够深入，因此需要对问题展开深入的探索，通过收集信息、研究问题、集体讨论等方式明确数学模型构建的目的同时基于问题的变化规律，利用非形式语言对其进行描述，以此来初步了解和掌握问题变量与问题之间的相互关系在构建数学模型前，首先需要明确问题的基本特征和背景，其次了解其属于的模型类型，并做好构建模型的准备工作，最后明确需要解决的问题以及想要达到的目的

在建模过程中基于掌握的资料、模型类型等，可以合理提出假设简化问题，同时利用数学语言来描述问题不同的假设方法和简化方法所获得的数学模型也会存在一定差异，如果假设方案缺乏合理性则会直接影响数学模型分析结果的准确性

2数学模型构建

基于假设方案、研究对象等，利用数学工具描述和刻画研究对象的变量关系，同时构建数学图表、表格、公式等数学结构，即数学模型在数学模型构建完成后，还需要对模型进行简化和分析，以便于数学模型的求解此外，还要根据研究目的，对数学模型进行检查，检验数学模型是否能够真实地反映实际问题和是否能够到达预期目的需要注意的是，数学模型构建应当简单明了，确保人们可以对其进行应用和理解

3数学模型应用

模型应用具体是指将构建的数学模型进行改进并应用到实际系统中，检验其是否可以解决实际问题如果无法解决问题，则需要对数学模型再次进行改进，并重新检验数学模型构建流程如图1所示

图1 数学模型构建流程

需要注意的是，数学模型的构建并不是完全按照上述步骤进行操作的在实际数学模型构建中，需要针对问题、目的等条件，灵活转换建模方式，不能拘泥于采用一种方法构建数学模型

四、结构力学中的数学模型分析

(一)当前高中数学建模习题资源中存在的问题

现阶段，我国高中新课程规范对数学建模教学提出具体的教学要求与考察要求但是因为各种原因，我国的高中生对待数学建模的能力很差,且造成该原因的因素多种多样,其中缺乏有效的教学方法和学习方法是造成此类问题的主要原因所以当代教师应当完善对结构力学中数学建模的教学方法，提高学生对待数学建模的接受能力同时，各类教学教材、建模竞赛等结构力学的数学建模知识过于单一、数量不足以及与实际生活联系不够也是造成高中学生数学建模能力差的原因此类问题最重要的原因在于授课教师手里缺少足够的建模资源以及与结构力学数学建模方面相关的习题，且教师在实际的结构力学授课当中，缺乏数学模型的支撑，使得一些枯涩难懂的力学模型缺少数学公式的辅助理解，长此以往会使学生失去对结构力学的学习兴趣

(二)基本荷载

结构力学中的荷载，通常是指造成结构发生形变的内外力和其他因素同时，荷载问题是任何结构设计中必须首先要考虑的主要依据，荷载能力的大小决定着结构构件的尺度和用料荷载还可以按照作用与期限的不同进行分类，其类别主要可以分为恒荷载、活荷载、集中荷载以及均布荷载等

恒荷载：恒荷载在结构设计中也称为永久荷载，是施加在工程结构上恒定不变的荷载例如，结构自身的重量、永久性外加承重、非承重结构构件以及建筑装饰重量等均可以称之为恒荷载因此，在高中的结构力学数学建模教学中，授课教师应当对其进行说明，明确恒荷载在结构力学中的作用

活荷载：在结构设计中也可以称为可变荷载，是由人群、动物以及机械等物体对建筑结构施加不断力产生的例如车辆荷载、风荷载、雪荷载以及裹冰荷载等均可以称之为活荷载

风荷载：在结构设计中也可以称之为风的动压力，属于活荷载中的一种，是空气流动的气体压强对工程结构产生的作用，风荷载主要可以分为稳定风和脉动风两种，在工程中通常称之为空气静力作用和空气动力作用，会对大风地区和高耸结构施工带来影响

雪荷载：同样属于活荷载中的一种，通常是指在建筑结构上方的积雪对建筑施加的力在结构力学中一般会将雪荷载的值设计为，将基本雪压称之为，将目标积雪分布系数称之为,从而得出的值

=

在建设设计中一般会使用标准荷载作为雪荷载的设计参照标准荷载通常是指建筑结构能够承受的最大荷载因此，在正常建筑结构设计中设计人员一般会将荷载的设定高于标准荷载值

(三)数学建模的分类

按照结构力学的分类标准不同，数学建模也可以有多种不同的分类方法，常见的数学模型主要分为以下几种

第一种，按照数学模型的应用领域进行分类例如，人口模型、城市交通模型、环境生态模型、水资源模型、燃料输送模型、可再生资源利用模型以及污染模型等同时，可以将范畴更大的边缘学科如生物数学、经济数学、社会数学、医学数学以及地质数学等称之为超大数学模型

第二种，按照建立结构模型的数学方法进行分类例如，初等数学中几何模型、规划论模型、微分方程模型、图论模型、逻辑概念模型以及马氏链模型等按照第一种方法分类的教科书中，对此方面的分类会重点关注于某一专门领域中的数学模型建立，而在本方法分类的教科书中，是运用不同领域已经存在的数学模型来解释某种数学技巧因此，该分类是区别于第一种数学建模的分类

第三种，按照数学模型的表现特性进行分类数学模型和随机性模型的确立是建立在力学结构的基础上因此，在近些年的数学发展过程中，又出现所谓突变性模型和模糊性模型两种数学模型对于静态模型和动态模型而言，模型的定量完全取决于时间因素对其的影响，而线性模型和非线性模型的定量则完全取决于模型之间的基本关系，如参与数学模型中的微分方程是否是线性的，离散随机变量模型和连续模型中的变量是否取离散值还是连续值等

五、以结构力学为背景的高中数学建模教学设计

(一)函数模型编制

数学中的函数应用到我们生活的世界，即可以表示任何时刻都在发生变化的物体，或者说函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型通过函数模型的学习，学生可以实现简单的变化规律预测，进而为其他学科的实际应用提供解决问题的基础因此，高中数学模型的学习应当加强对函数知识的学习，加深学生对客观世界和事物变化规律的认知

函数是高中阶段才会引入的一个数学知识，虽然学生在初中就已经开始接触这种含有一个未知数的方程，但是方程中未知数的次数不高，通常为一次或二次函数模型而在高中的结构力学课堂中，学生则会接触到类似于：

这时学生只要注意分析的值就可以判断出结构力学中数学模型Δ的值

(二)几何图形模型的编制

几何图形是高中阶段训练学生思维能力的一项重要概念，在数学和物理学科中会经常见到解析几何、空间几何等数形结合的习题因此，科任教师要加强学生在高中阶段对几何图形的理解，为之后更高一步的学习打下基础对此，科任教师应当结合结构力学中的图乘法模型来对提高学生对几何图形的认知在图乘法的教学中，不但会涉及几何知识、直线斜率以及积分知识等，还可以更加直观地将数形结合问题呈现在学生面前，使学生可以快速理解高中数学中几何图形的知识，提升学生解决几何问题的能力

(三)微积分模型的编制

微积分是属于高中课程中较难的一项内容，通常也是高中阶段后期学习的重点高中阶段的微积分比较浅显，主要以导数和函数为教学主体，为大学的微积分打下基础，以及为其他相关学科打下基础高中阶段课程对微积分教学的标准为：要确保学生充分了解微积分的性质、地位、研究对象以及内容等，同时，要深化学生对微积分的基本概念、基本理论以及概念导数的理解，提高学生对分析问题和解决问题的能力

六、结束语

总而言之，通过对结构力学中数学模型的思考分析可知，应用结构力学模型的方式可以增加高中学生对数学建模的能力，还可以根据学生对待数学模型的实际情况来改变教学方式，以此达到高中阶段对数学课程的要求，为科任教师和学生提供一条对待数学建模的新思路