高速公路上自动超车过程的轨迹规划与跟踪控制

张 平，陈一凡，江书真，韩 毅

（长安大学 汽车学院，西安 710064，中国）

高速公路场景车辆超车是常见且极易造成交通安全事故的工况之一。大多数超车引发的事故都是超车时驾驶员的误操作而造成，无人驾驶对于减少这种危害有很好的帮助。因此，研究自动超车过程的规划和控制非常必要。

超车过程包含两次换道操作，同时周围相关车辆的运行状态对超车过程也有重要影响，因而分析起来更为困难。超车过程的规划与控制必须兼顾安全性、平顺性和操稳性等要求。目前，高速公路的换道过程研究成果较为丰富，但超车过程相对来说研究较少[1-3]。王荣本等[4]通过研究车辆运动关系和碰撞条件，提出衡量安全换道的指标——换道最小安全距离，为自动换道、超车的研究奠定了理论基础。文献[5-7]从运动学角度对超车过程进行了建模和分析，但并未涉及对超车车辆运动轨迹的规划和控制。为了实现超车过程的规划和控制，文献[8-9]在纵向车速保持不变的情况下设计了车辆换道/超车过程横向运动的跟踪控制方法，此时是单一的横向控制；文献[10-12]基于运动学模型实施了车辆换道/超车过程运动的横纵向控制，并取得较好的效果，但是运用于高速情形还有待验证。高速时，车辆的动力学特性及轮胎力学特性对车辆运动的安全性、稳定性及轨迹跟踪的准确性都有很大影响[13]。目前，对于超车过程中的车辆运动控制大多是单一的横向控制或横纵向解耦分别控制，这种分别控制忽略了车辆横纵向运动的相互影响，并不符合真实人类驾驶的特点。

本文提出在超车过程中采用横纵向耦合的集中式控制方法，期望能够获得更好的控制稳定性和精确性。研究中，本文首先针对高速公路上的超车过程进行建模，采用纵向位移—时间（s-t）图，进行超车过程中的换道可行性分析；其次采用基于Frenet 坐标系的多项式轨迹规划算法和基于车辆动力学横纵向耦合的模型预测控制算法，充分利用模型预测控制多变量约束下的优化求解能力，综合控制车辆的横纵向运动；最后通过联合仿真试验，验证所提超车过程规划和控制方法的可行性、适用性和稳定性。

1 超车模型

1.1 高速公路上的超车过程

超车是指当自车道前方车辆的速度低于自车驾驶员的期望速度时，驾驶员通过变道、加速等操作超越前车的过程。根据行驶路况的不同，其建模和规划控制的方法有很大不同。本文针对高速公路上的超车过程进行研究，充分考虑结构化道路的特殊性并做出如下假设：非换道过程中车辆均按照当前车道的中心线行驶，超车过程不考虑高速公路分、合流区的情形。

一般可将超车过程分为等速超车和加速超车两种，并认为其他超车过程可以看作是这两种形式的组合。考虑到实际超车过程中车辆运行状态的随机性，本文从另一角度分析超车过程，即根据自车状态变化的临界条件将超车过程分为初次换道、直道超越和换回原道3个阶段。每个阶段起止时刻的标志是：车辆的横向位置与当前车道中心线重合，且横向速度、加速度为0；具体划分如图1 所示。

图1 3 阶段超车模型

以超车过程的第一阶段为例，建立如图2 所示的典型换道模型。自车为A，自车道上的前车为B1，相邻车道上的后车与前车分别为B2、B3。初始时刻车辆Bi（i=1,2,3）与自车的纵向距离分别为si0，车辆Bi的速度分别为vi。图2 中：t0时刻为车辆开始换道的初始时刻，t1时刻为开始穿越车道线的临界时刻，t2时刻为穿越车道线后完全进入相邻车道的临界时刻，t3时刻为完成换道的终止时刻。

图2 高速公路换道模型

1.2 换道可行性分析

超车时，驾驶员必须根据当前的车辆速度、车辆相对距离、车流状态以及道路交通状况等交通运行环境信息，实时调整驾驶策略以完成超车行为。尤其是超车过程中的两个换道阶段需要综合考虑原车道和相邻车道的相关前后车辆信息，判断其可行性，具体方法可采用s-t图来进行。

图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域红色部分分别为车辆Bi在换道过程中所占据的纵向空间，绿色部分为考虑自车几何尺寸而带来的尺寸限制（下同）；vmax和vmin分别为高速公路上相应路段的最高、最低限速；si（i=1,2,3,4,5）为周围车辆在一定时间内的纵向位移，即：

在Frenet 坐标系下，以自车初始时刻位置为原点计算相关车辆的纵向位移。基于换道模型中的临界时刻，假设在[t0,t2]时间范围内考虑原车道的车辆，在[t1,t3]时间内考虑相邻车道的车辆，则可以综合考虑到换道过程中对自车有影响的安全可行空间。结合相关规则的限制，如最高车速（斜率）限制和车辆几何尺寸限制等，图3 给出了一个周围车辆匀速行驶工况下的换道可行性分析实例。

图3 换道阶段s-t 图

图3 中存在一条从0 点出发，在[t0,t3]时间范围内经过Ⅱ的上方，Ⅰ、Ⅲ的下方，不与限制区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ重叠，且斜率在限速范围之内的曲线，表明该换道行为是可行的，图中的蓝色曲线即为一条可行轨迹。换回原道阶段的建模和作图分析方法与之相同。

因此，在计划实施超车行为时，应先根据自车道和相邻车道的行驶环境进行换道可行性分析。若判断为不可行，则维持原车道跟车行驶；若可行，则进行轨迹规划和轨迹跟踪步骤，以完成超车过程。

2 轨迹规划

2.1 Frenet 坐标系

自动驾驶汽车轨迹规划技术的难点之一在于规划过程中难以表达车辆与道路之间的相对位置，导致两者之间的相对关系不明确。而对于高速公路这种结构化道路，忽略车道自身信息会导致规划路径的自由度太高而违反道路交通规则。因此，研究中选用Frenet 坐标系（如图4 所示）。

图4 Frenet 坐标系

在Frenet 坐标系中，一般使用车道参考线（如道路中心线）作为基准，分为s向（沿着参考线方向，即纵向）和d向（沿着参考线法向，即横向）。相比Descartes 坐标系，Frenet 坐标系更便于车辆运动分析，因为此时车辆位置可用相对于参考基准（在高速公路环境下易于获得）的纵向距离和横向距离来描述，这样计算2 个方向上的速度和加速度就相对简单[14]。

2.2 Jerk 最小化和多项式求解

一个较好的超车过程横纵向轨迹规划，应该是规划结果相对简单、安全和舒适。对于横向控制而言，车辆要最优地逼近期望轨迹线；对于纵向控制而言，则要最优地逼近目标速度。

一般使用加速度的变化率——抖动度（Jerk）来描述这种安全和舒适性，通常来说，过高的Jerk 会引起乘坐者的不适，因此，Jerk 最小化是轨迹规划寻优的重要目标之一[15]。令p为需要求解的系统（即s或d），则对于任一时段[t0,t1]，系统从初始状态到达目标状态可以表示为一个一维积分系统[16]，即：

为了便于后面横纵向损失函数的计算，若将时间变量做量纲一处理，即定义

则[τ0,τ1]之间Jerk 的平方和可表示为

文献[17]已证明：对于由式（1）所描述的一维积分系统，基于Jerk 的优化轨迹序列在五次多项式集合中，并且该序列中必然存在能最小化Jτ[p(τ)]的解为

式中：α0、α1、…、α5为各项对应系数，由初始和目标状态决定。

2.3 横向轨迹规划

上式可变换为

为求得最优横向轨迹，在初始状态已知情况下，可先通过设置一组备选的目标状态按照上述步骤求得有限的备选轨迹集合。以高速公路超车模型的初次换道阶段为例，由于超车过程的横向参考线为相邻车道的道路中心线，车辆应尽可能沿着或平行于参考线行驶，所以目标状态一般为[d(t),0,0]，这样备选目标状态就是包含d和t这2 个变量的集合。

设置规划轨迹相对相邻车道中心线的横向位置偏差Δd取值范围为[Δdmin,Δdmax]=[-0.25,0.25] m，采样间隔为50 mm；规划时长T（为了便于后面横纵向损失函数的计算，将规划时长变量去量纲化处理，即定义τp=T/s）根据高速公路安全时距取值在[Tmin,Tmax]=[2,4]s[18]，采样间隔为0.1 s，求得备选的轨迹集合如图5 所示（图中仅给出部分备选轨迹）。

图5 横向轨迹备选集合

为在备选集合中选择最优横向轨迹，本文设置一横向损失函数Cd，考虑高速公路场景下横向运动的需要，主要应满足：Jerk、规划时长和横向位置偏差3 方面尽量小，即：

式中，kj、kt和kd分别是3 个权重系数。

2.4 纵向轨迹规划

纵向轨迹规划求解方法与横向同理，只是备选轨迹集合涉及的变量和损失函数不同。纵向轨迹规划即速度规划，备选的目标状态是只涉及v与t这2 个变量。设想要达到的目标速度为vo，设置目标速度的取值范围为[vomin,vomax]，采样间隔为0.5 m/s；规划时长及采样间隔的选取同上，获得备选的轨迹集合图6 所示（图中仅给出初始车速和目标车速分别是20 和25 m/s 条件下的部分备选轨迹）。

图6 纵向轨迹备选集合

考虑高速公路场景下纵向运动的需要，纵向损失函数Cs应满足3 个方面的要求：Jerk 和规划时长尽量小以及纵向速度与目标车速尽量接近，即：

综合式（6）和（7），可得总的损失函数为

式中，Kd和Ks分别为横向和纵向损失函数的权重系数。

选择使总损失值最小的横纵向轨迹作为参考轨迹输入到轨迹跟踪部分即可。

3 轨迹跟踪

3.1 控制原理

MPC（模型预测控制）在过程控制界已被认为是唯一能以系统和直观方式处理多变量约束的在线优化控制技术，其处理多约束问题的能力在自动驾驶车辆控制上有着很大的优势[19]。模型预测控制的3 个关键步骤是预测模型、滚动优化和反馈校正。针对本文的轨迹跟踪任务，确定控制流程如图7 所示。

三年制管理体系已不适应四年制教学管理模式。只强调“职业性”忽略“高等性”、缺乏整体规划和顶层设计、课程设置传统老化与教学模式单一等老问题[4, 5]，绝不能在四年制公共基础教学上重复上演。保本科特色、与本科接轨，四年制高职公共基础课面临的首要问题是制定科学的管理模式和匹配与四年制高职公共基础课程相配套的教学管理体制和运行机制。

图7 模型预测控制流程

图7 中参考轨迹是上一节规划部分得到的最优轨迹。为了同时控制车辆的横纵向运动，使用基于简化轮胎力学的车辆动力学模型作为预测模型，利用模型预测控制器求解期望控制量（车辆的纵向加速度和前轮转角），再经车辆逆动力学模型转化为实际控制量（节气门开度、制动压力和方向盘转角），最后输入到CarSim 的验证模型中以完成横纵向耦合的集中式运动轨迹跟踪。

3.2 车辆模型

3.2.1 车辆动力学模型

模型预测控制中使用复杂模型可以更好地对车辆输出进行预测，但同时也增加了控制器的计算成本。本文建立的车辆模型要足够简化以便于MPC控制器求解，同时要满足汽车在高速工况下的性能要求，故采用三自由度车辆动力学模型，并做出如下假设：

1) 忽略车辆在行驶过程中的轴荷转移以及纵、横向的滑移；

2) 忽略左、右车轮由于载荷转移而引起轮胎特性的变化以及轮胎回正力矩的作用；

3) 忽略悬架的作用，只考虑车辆平行于地面的平面运动。

模型中考虑了车辆的纵向、侧向和横摆3 个自由度的运动，建立的车辆动力学模型如图8 所示。

图8 三自由度车辆动力学模型

图8 中：OXY为惯性坐标系，oxy为车辆坐标系；v为车辆质心速度；ω为横摆角速度；vx和vy为车辆坐标系下纵、横向速度分量，β为质心侧偏角；u1和u2为前、后轮速度，αf和αr为前、后轮侧偏角；γ为前轮转角；Fyf和Fyr分别为前、后轮侧向力，Fxr为后轮纵向力；lf和lr分别为车辆质心距前、后轴的距离。

模型的微分方程组如下[20]：

式中：φ为车辆横摆角，ax为纵向加速度，m为整车质量，Iz为车辆绕z轴的转动惯量。

在上述模型中，设状态量x=[X,Y,φ,vx,vy,ω]T，控制量u=[ax,γ]T，则该模型可写成：

3.2.2 轮胎模型

在进行车辆动力学仿真时，轮胎所受的垂向力、纵向力、侧向力和回正力矩对汽车操纵稳定性和平顺性起着重要作用，车辆横纵向的耦合关系也主要体现在轮胎纵、侧向力的建模中。因此，真实、合理的轮胎模型是车辆动力学分析的关键一环。

为求取车辆动力学模型所需的轮胎侧向力Fyf和Fyr，本文采用Pacejka 提出的魔术公式[21]并适当简化，结果如下：

式中：Bf、Br、Cf、Cr、Df和Dr为确定轮胎经验曲线的6个参数。前、后轮的侧偏角αf和αr为：

3.2.3 车辆逆动力学模型

由于上述车辆动力学模型的控制量为纵向加速度和前轮转角，因而需要将其经过逆动力学模型转化为节气门开度α、制动压力p和方向盘转角γsw参数才更便于实施控制。图9 给出如何通过期望纵向加速度ades得到α和p[22]，而γsw可通过γ和转向传动比iω直接得到。

图9 节气门开度和制动压力的计算模型

以Carsim 中车辆验证模型的怠速带挡滑行数据为基础，得到车辆加速度与车速的拟合关系作为驱动/制动切换基准，并选择一定宽度的过渡区域以避免频繁切换，本文采用的宽度为0.04g。切换逻辑曲线如图10所示。

图10 驱动/制动切换逻辑曲线

逆发动机模型中节气门开度α可由逆发动机扭矩特性曲线求得：

式中：Tdes为期望的发动机扭矩，ωe为发动机转速，m为车辆质量，ades为期望加速度，f为滚动阻力因数，Cd为空气阻力因数，A为迎风面积，ρ为空气密度，v为车速，ig和i0分别为变速器和主减速器传动比，ηt为传动系统机械效率，r为车轮有效半径。

逆制动系模型中制动压力p可根据期望制动力Fdes计算得到，即：

式中：Fdes为期望制动力，Kb为制动增益系数，即制动力与制动压力的比值。

3.3 模型预测控制器设计

3.3.1 目标函数设计

设当前时刻为t，预测时域为Np，控制时域为Nc，模型预测控制器中确定目标函数要保证预测时域内系统的输出量与控制时域内的控制增量最小，最后目标函数如下[23]：

式中：Q和R为权重矩阵，ε为松弛因子，w为松弛因子权重系数。

3.3.2 约束条件设计

本文设计的约束包括两部分，分别是控制量约束和控制增量约束。对控制量的约束是保证将车辆运动控制在合理范围内，对控制增量的约束是保证控制过程的平滑和连续，避免出现控制量的突变。

对控制量的约束为：

对控制增量的约束为：

为了满足在整个控制时域内的控制要求，令

基于式（17）和（18），可得整个控制时域内对控制量和控制增量的约束为：

本文根据Carsim 中车辆验证模型的横纵向运动特性取约束条件为：

4 仿真与分析

4.1 仿真平台及参数

在确定仿真方案时，假设自车道的前车车速低于自车期望车速，且不考虑前车突然加速的情况。搭建如图11 所示的CarSim 和Matlab/Simulink 联合仿真平台。使用CarSim 中的某车型作为验证模型，仿真路面条件良好，路面附着系数为0.8。主要车辆参数请见表1，控制器参数请见表2。

图11 CarSim 和Matlab/Simulink 联合仿真平台

表1 车辆仿真参数

表2 控制器仿真参数

4.2 仿真结果及分析

在图1 基础上建立典型的高速超车场景，分别采用集中式控制方法和常见的纵向PID-横向MPC 分散式控制方法进行仿真，并对仿真结果进行对比分析。

4.2.1 仿真场景1

建立的高速超车场景1 为：自车初始速度v0为20 m/s，周围车辆的车速为v1=v0，v2=v3=v0+5 m/s，车辆间距为s10=50 m，s20=20 m，s30=100 m。图12 给出了换道初始阶段的可行性分析结果。由图12 可见：Ⅰ、Ⅱ部分发生干涉，没有足够的空间进行换道操作，判断为超车不可行，车辆维持原车道跟车行驶。

图12 仿真场景1 的换道可行性分析

4.2.2 仿真场景2

建立的高速超车场景2 为：自车初始速度v0为20 m/s 和25 m/s，周围车辆的车速为v1=v2=v0，v3=v0+5 m/s，车辆间距为s10=s20=50 m，s30=100 m。换道结果分析均为可行，因此进入下面的轨迹规划和跟踪控制环节。

该超车场景换回原道的时机定为自车纵向位移超过车辆B1达到50 m。超车过程中目标车速的选择应为不超过最大限速和同车道前车车速的合理值，本文分别取为25 m/s 和30 m/s，采样周期为0.5 m/s，联合仿真的结果如图13-16 所示。

由图13 可知：对于不同车速下的超车场景，本文的集中式控制方法在横向和纵向都能很好地控制车辆按照参考轨迹运动，仅在2 次换道的始末有少许偏差；从图中局部放大效果可以看出，整个超车过程的最大横向跟踪误差不超过0.2 m，与道路中心线的最大偏差不超过0.1 m，满足超车过程的要求；且随着车速增加，超车所需的距离显著增加，这对实际高速行驶时超车时机的选择有一定指导意义。此外，相比之下集中式控制得到的仿真轨迹与参考轨迹的偏差更小，在换道始末产生的波动也更小，且收敛更快，换道过程也更加平滑，具有显著的优势。

图13 车辆参考轨迹和仿真轨迹

由图14 可知：2 种控制方法下车辆的纵向速度都能在整个超车过程中逼近目标车速，且加速过程较为平滑、稳定。但分散式控制方法下车辆的纵向速度在初始时刻产生波动，说明横向运动对纵向速度的变化有一定影响，由此可知：横纵向耦合控制是非常必要的。

图14 车辆纵向速度曲线

从图15-16 中可以看出，2 种控制方法下车辆的侧向加速度和横摆角速度仅在2 次换道阶段出现波动，且车速越高，波动越大，但整个超车过程中侧向加速度峰值不超过0.1 m/s2，横摆角速度峰值不超过0.4 rad/s，始终维持在较低水平，车辆行驶的横向稳定性较好。此外，相比之下集中式控制方法下侧向加速度的整体波动减小约19.0%，横摆角速度的整体波动减小约11.6%，因而表现出更好的横向稳定性。

图15 车辆侧向加速度曲线

图16 车辆横摆角速度曲线

5 结论

本文以高速公路超车过程为研究对象。基于s-t图进行超车换道行为可行性的判断，该方法能充分考虑相邻车道上周围车辆对超车过程的影响。在确定换道可行的前提下，采用多项式进行横纵向运动的轨迹规划，规划结果较为简单平滑。

CarSim 和Matlab/Simulink 的联合仿真结果显示，集中式模型预测控制方法能同时控制车辆横纵向运动以实现轨迹跟踪，在不同车速下都表现出较好的控制精度和稳定性，在与分散式控制方法的对比中有更佳的表现。因此，本文提出的规划和跟踪方法完全符合高速公路超车过程安全平稳的基本要求，并具有一定的应用前景。