双锥型五模材料低频声波调控及参数设计*

潘宇雄 徐峰祥 牛小强

(1 武汉理工大学现代汽车零部件技术湖北省重点实验室武汉 430070）

(2 武汉理工大学汽车零部件技术湖北省协同创新中心武汉 430070）

0 引言

噪声已成为仅次于大气污染的第二大城市公害，严重危害人们的身心健康[1]。通过控制噪声来提高人们的生活质量，已成为当前的一大热门方向。而近年来，随着五模声学超材料等周期性材料的兴起，研究学者在控制声波、弹性波等方面找到了新的解决途径。五模材料(Pentamode material,PM)最早由美国犹他大学Milton和Cherkaev提出，定义为弹性矩阵仅有一个特征值不为零的材料，是一种退化的弹性介质。由于特殊的弹性张量形式C=KS⊗S，五模材料只能承受与特征应力S成比例的应力状态，在其余应力状态下会像流体一样在剪应力下发生流动，因此五模材料也是一种具有固体形态的复杂流体。Milton等[2]提出由16个双锥单元组成了一个周期单元的五模材料结构，理想的五模材料结构的剪切模量为零，从而解除了固体压缩变形和剪切变形之间的耦合，使五模材料不易被压缩而易“流动”。Norris[3]理论分析了五模材料用于声学隐身衣的可行性。五模材料具有较低的填充率和质量这一特点，使设计力学和声学五模材料斗篷成为了可能[4-7]。针对理想五模材料的点状连接导致的稳定性差等问题，Schittny等[8]采用一个小直径来代替点状连接，Kadic等[9]、Buckmann等[10]研究了当各双锥单元位置变化和不同泊松比所构建的各向异性五模材料。五模材料在力学方面的研究被Kadic课题组[11-12]所报道，Buckmann等[13]根据五模材料的力学性能制作出了力学无感知隐身衣。Aravantinos-Zafiris等[14]设计出一种非双锥型的新型逐层杆式五模材料结构，并通过计算相速度比得到了材料的品质因数。

Xiao等[15]试制了五模式层状圆环形声斗篷；Cai等[16]分析了二维五模材料的声学和机械特性，张向东等[17]对分层近似理论进行了数值分析。Chen等进行了二维五模材料斗篷的理论分析[18]，并对五模材料在声学调控领域的发展现状进行了叙述[19]。Cai等[20-22]发现五模材料具有所有声波均被禁止的三维完全声子禁带频率区域，进一步拓宽了五模材料的应用领域。

这些超材料一般在亚波长尺度工作,它们的原胞尺度通常可比工作波长小一个或几个数量级,用这类材料能够实现小尺寸控制大波长[23]。超材料的性质与其中带隙的存在有着密切关系。通常认为带隙的产生源于两种机理：即布拉格散射机理和局域共振机理。目前大多数已有的五模材料都是基于布拉格机理，产生带隙的最低频率对应的弹性波波长与晶格常数为同一量级。利用布拉格散射机理的超材料的结构尺寸会因过大而失去实用价值，而局域共振型结构能够实现小尺寸低频声波的调控[22]。局域共振型工作机理是在特定频率弹性波的激励下，各个散射体产生共振，并与弹性波长波行波相互作用，从而抑制其传播。由于局域共振带隙的产生取决于散射体自身的共振特性，以及与基体中长波行波的相互作用，因此其带隙频率与单个散射体固有的振动特性密切相关[24]。

为了控制噪声和进行声波调控，本文根据已有的六边形排列构型设计了一种具有局域共振声子带隙的双锥五模材料，运用仿真软件进行了能带分析并验证了其结构的五模特性。考虑到六边形排列的五模材料的低频声波带隙较窄，设计了正方形和三角形两种不同形状排列的五模材料，经过对比选择了性能更优异的三角形排列的五模材料；接着探究了结构的材料参数和几何参数变化对三角形排列双锥五模材料的声子带隙的影响。通过分析这些参数产生影响的变化规律，可以更好地设计出所需要的五模材料，对用于控制噪声和声波调控的五模材料的构型和参数选择具有一定的参考价值。

1 双锥五模材料构造

1.1 六边形排列构型

如图1(a)所示，根据已有常用的六边形排列构型，选择TC4钛合金和硫化橡胶两种材料对胞元结构进行填充，填充方式如图1(b)所示，灰色双锥区域为TC4钛合金，黄色节点区域为硫化橡胶，建立了双锥五模材料。TC4钛合金的泊松比μ=0.34，杨氏模量E=110 GPa，质量密度ρ=4510 kg/m3；硫化橡胶的泊松比μ=0.47，杨氏模量E=1 MPa，质量密度ρ=1300 kg/m3。取结构最小单元为胞元，通过周期性排列即可得到该结构，因此采用胞元结构分析和计算能带结构，可以在保证仿真精度的前提下节省计算资源。其中双锥结构通过节点接触连接，提高了结构的稳定性。把原胞作为一个共振单元，节点区域的材料给共振单元提供了所需的弹性，而双锥区域的材料给共振单元提供了所需的质量。当经过五模材料结构的弹性波频率接近共振单元的共振频率时，共振单元将与弹性波发生强烈耦合，使其不能传播，从而产生了局域共振带隙。胞元的几何参数设置为双锥轴向长L≈9.24 mm，双锥宽D=3 mm，节点半径r=0.3 mm，晶格常数a=16 mm。

图1 六边形排列双锥五模材料及其单胞结构Fig.1 Hexagonal configuration of biconical pentamode material and the unit cell

在不可约Brillouin区边界上选取波矢就可以得到确定带隙范围的能带结构[25]。运用仿真软件设置波矢取值范围，使其绕不可约Brillouin区的边界一周，得到六边形排列五模材料的声子能带图。其单胞的简约Brillouin区如图2所示。图3所示为六边形排列五模材料声子能带图。

图2 六边形排列单胞的简约Brillouin区Fig.2 The simplified Brillouin region of a unit cell based on hexagonal configuration

图3 六边形排列五模材料能带图Fig.3 The phonon band diagram of a unit cell based on hexagonal configuration

能带图中包括了6条能带曲线，横轴为倒格矢空间中波矢绕不可约Brillouin区经过3个高对称点的路径方向，纵轴为特征频率。其中，黑色区域称为声子带隙或禁带，频率在这一区域内的所有声波都将被禁止传播。带隙的频率上边界ft=700 Hz，频率下边界fl=691 Hz，绝对带宽Abw=ft-fl-=9 Hz。

1.2 声波调控特性分析

1.2.1 禁带特性

为了探究局域共振带隙机理特性，取图3中E、F两点，频率分别为689.78 Hz和700.04 Hz，得到振型如图4所示。E点对应节点区域的扭转振动，而双锥宽区域几乎不发生振动，此时双锥区域中的长波行波难以与节点区域的振动相耦合，带隙尚未打开。F点对应节点区域的平移振动，此时节点区域带动双锥区域做xOy平面内的平移运动，与双锥区域中的长波行波相互耦合，从而导致带隙的产生。这种六边形排列的双锥五模材料声子带隙突破了Bragg散射型在较小周期尺寸(几厘米或更小)条件下难以获得低频带隙(特别是1 kHz以下)的缺点，但是其带隙的宽度较窄，还可以进一步提升。

图4 在图3中的EF两点的振型图Fig.4 The vibration mode diagram at point E and F in the Fig.3

为分析五模材料在禁带频率内阻止声波传播的能力，建立了以下模型，如图5(a)所示，计算声波在通过五模材料前后的传声损耗(Transmission loss,TL)。其中两端为完美匹配层，中间灰色区域黑色结构为五模材料周期结构，从左侧射入频率为300～800 Hz的平面波，得到入出射端(蓝色实线)间的传声损耗图如图5(b)所示。从图5(b)可得在690 Hz附近，声波的传输损耗最大，此时频率处于禁带频率区间，故五模材料能阻碍频率处于禁带区间的声波传播。

图5 传声损耗仿真模型及损耗曲线图Fig.5 Simulation model of sound transmission loss and the diagram of loss curve

1.2.2 单模传输特性

能带图3中灰色区域为具有压缩波传播而同时剪切波被抑制的单模传输区域[26]。取ABCD四点的振型图如图6所示。A、B两点的波矢方向为垂直方向，A点处质点的振动方向为水平方向，垂直于波矢，故A点对应剪切波运动模式；B点处质点的振动方向为垂直方向，与波矢平行，故B点对应压缩波运动模式。根据质点振动和波矢的关系，可得C点对应剪切波运动模式，D点对应压缩波运动模式。也就是说在灰色区域只有压缩波能够传播而剪切波被抑制，即为压缩波单一模式传输，这意味着五模材料在这个灰色阴影区域频率范围内可被看作是理想流体，此外五模材料的单模传输这一特性可能给极化滤波器的设计提供思路。

图6 在图3中ABCD点处的振型图Fig.6 Vibration mode diagram at point ABCD in the Fig.3

为了验证六边双锥五模材料的单模传输特性，分析材料与水的声学特性匹配程度。将单胞进行周期性平移及排列组成了一块二维五模材料，并运用仿真软件的声学模块对水域中有无五模材料的声压分布进行分析和对比，建立的仿真模型如图7所示。

图7 平面波射入有五模材料的水域模型Fig.7 A model of a water area with pentamode material when a plane wave enters

灰色矩形区域为一块均匀水域，黑色结构为二维五模材料周期结构。频率为250 Hz的平面波从左侧以30°角度入射到水域五模材料上时，得到在没有和有五模材料情况下水域的声压图，如图8所示，这里水域的声速取海水中的声速为1500 m/s。

图8 水域声压图Fig.8 Sound pressure diagram of water area

根据两种情况下水域的声压分布图对比可以看出，水中的声压分布与没有五模材料时的声压分布基本相同。在五模材料以外的区域,平面波特征得到了很好的保持，故这种五模材料和水在声学上的传播特性相似，具有较好的水声学匹配特性。五模材料这一声波调控特性，使其对于水中“声隐身”领域具有潜在前景。

1.3 五模材料品质因数

理想五模材料的剪切模量为零，但实际五模材料的剪切模量很小但不为零。五模材料的五模特性可用五模品质因数(Figure of merit，FOM=B/G)来表征，品质因素越大，表示体积模量B比剪切模量G大得越多，压缩波和剪切波之间越难以耦合[12]。当五模品质因数FOM＞103时，所设计的五模材料结构具有较好五模特性，与理想五模材料一样能对声波进行调控。双锥型五模材料品质因数的经验公式可以表示为[11-12]

其中，h为双锥长L，d为节点直径，D为双锥宽。压缩波的相速度CB可表示为[11]

其中，ρB为有效动态质量密度。类似地，剪切波的相速度CG表示为[11]

由于五模材料难以被压缩，在传输波时发生的形变远小于自身结构尺寸，根据连续介质力学的质量守恒定律，可认为在这种小应变下的前后密度保持布标，即等效质量密度ρB和ρG可看作静态质量密度ρ0，此时五模品质因数与相速度的关系为

通过计算能带图中压缩波和剪切波对应的能带曲线斜率，可以进一步求得CB和CG的值[11-12]。从图3中压缩波和剪切波的能带曲线斜率求得六边形排列五模材料的五模品质因数FOM≈1910.1＞103，故这种五模材料结构有较好的五模特征，可对声波传播进行调控。

1.4 正方形排列构型

由于六边形排列双锥五模材料的声子带隙带宽较小，为得到更宽的带隙，按如图9(a)所示构造正方形排列双锥五模材料。胞元的晶格常数a保持不变为16 mm，其他几何参数包括双锥宽D=3 mm，节点半径r=0.3 mm。同样选择TC4钛合金和硫化橡胶两种材料对胞元结构按如图6(b)所示进行填充。

图9 正方形排列双锥五模材料及其单胞结构Fig.9 Square configuration of biconical pentamode material and the unit cell

正方形排列单胞的简约Brillouin区如图10所示，运用仿真软件按同样方法对不可约Brillouin区边界进行扫描，计算得到正方形排列双锥五模材料的声子能带图如图11所示。带隙的频率上边界ft=646 Hz，频率下边界fl=578 Hz，绝对带宽Abw=ft-fl=68 Hz。相较于六边形排列五模材料，正方形排列五模材料带隙所处频率更低，且带隙宽度更宽，但没有单模传输区域。

图10 正方形排列单胞结构的简约Brillouin区Fig.10 The simplified Brillouin region of a unit cell based on square configuration

图11 正方形排列五模材料能带图Fig.11 The phonon band diagram of a unit cell based on square configuration

1.5 三角形排列构型

为了在保留单模传输特性的前提下，扩大带隙的宽度，按如图12(a)所示构造三角形排列双锥五模材料，其中晶格常数a=16 mm，双锥宽D=3 mm，节点半径r=0.3 mm。同样选择TC4钛合金和硫化橡胶两种材料对胞元结构按如图12(b)所示进行填充构造三角形排列五模材料。

图12 三角形排列双锥五模材料及其单胞结构Fig.12 Triangular configuration of biconical pentamode material and the unit cell

通过扫描不可约Brillouin区边界得到声子能带图，图13为三角形排列单胞的简约Brillouin区，图14为三角形排列双锥五模材料的声子能带图。带隙的频率上边界ft=569 Hz，频率下边界fl=532 Hz，绝对带宽Abw=ft-fl=37 Hz。计算三角形排列五模材料的五模品质因数FOM≈1034.6＞103，故所设计的五模材料结构有较好的五模特性。且根据图15选取的ABCD四点处的结构质点振动方向与波矢方向的关系可以发现，这种三角形排列双锥五模材料具有单模传输区域，如图14中灰色区域所示。

图13 三角形排列单胞的简约Brillouin区Fig.13 The simplified Brillouin region of a unit cell based on triangular configuration

图14 三角形排列五模材料能带图Fig.14 The phonon band diagram of a unit cell based on triangular configuration

图15 在图14中ABCD点处的振型图Fig.15 Vibration mode diagram at point ABCD in the Fig.14

1.6 不同排列构型性能对比

在设计并分析了3种不同排列形式的双锥五模材料后，为方便比较带隙的低频性和带宽性，用相对带宽Rbw=Abw/((ft+fl)/2)来表征带隙的这两种特性，相对带宽越大代表禁带的所处频率越低，绝对带宽越宽，品质越好。带隙的频率上边界为ft1，频率下边界为fl1，绝对带宽为Abw1，相对带宽Rbw1。3种不同排列构型的双锥五模材料的低频声波调控性能对比如表1所示。根据表1中数据进行比较可得，正方形排列构型的双锥五模材料的带隙绝对带宽最宽，且相对带宽最大，但其没有单模传输这一特性；三角形排列构型的五模材料的带隙的上下界频率最低，带隙的绝对带宽和相对带宽也较大，且同时具有单模传输特性，其五模品质因数FOM＞103，具有较好的五模特性。所以三角形排列构型具有更优异的低频声波调控性能，在后续分析中采用此排列构型进行分析。

“white(白色)”在英语文化中，象征着美好、纯洁、高雅、合法。而在汉语中，白色代表着死亡、冷漠，且在汉语中，没有能表达出相似文化隐含意义的颜色词，这时，我们可以忽略颜色词，根据原文的意思进行意译。故选择了去除颜色词的翻译方法，译为“善意的谎言”。

表1 各构型的低频声波调控性能Table 1 Properties of band gaps between pentamode materials based on different configurations

2 构型填充材料参数影响分析

为探究三角形排列构型填充材料的材料参数，包括材料密度、杨氏模量、泊松比对带隙及单模传输区域的影响，通过单独改变这3种参数所得到声子能带图和带隙的上界频率ft1、下界频率fl1、绝对带宽Abw1、相对带宽Rbw1，与单模传输区域的上界频率ft2、下界频率fl2、绝对带宽Abw2、相对带宽Rbw2进行分析对比。

2.1 材料密度影响

影响五模材料的填充材料密度变化有双锥区域密度和节点区域密度，在其余的材料参数不变的情况下单独改变其中一个密度，根据结构的能带图计算得到相关参数。节点区域材料密度的变化，带隙和单模传输区几乎不发生变化。双锥材料密度变化影响如表2所示。从表2中数据可知，随着双锥区域材料密度的增大，带隙和单模传输区的上下界频率和绝对带宽都有所下降，但相对带宽变化很小，幅度在1%左右。

表2 双锥材料密度变化对带隙及单模传输区域参数的影响Table 2 Influences of the density of the bicone area on the band gap and the singlemode transmission region

2.2 泊松比影响

对于填充材料泊松比的变化影响，单独改变其中一个区域材料的泊松比，取值范围为0.1～0.47[26]，在其余材料参数不变的情况下计算结构的能带图，双锥区域材料泊松比的变化对带隙和单模传输区没有影响；节点材料泊松比变化的影响如表3所示。可以看出随着节点区域材料泊松比的增大，带隙的上边界频率先减小最后增大，下边界频率一直增大，导致绝对和相对带宽明显减小，绝对带宽减少了近65 Hz，而相对带宽下降了12.6%，而单模传输区域的变化很小。

表3 节点材料泊松比变化对带隙及单模传输区域参数的影响Table 3 Influences of Poisson’s ratio of the node area on the band gap and the single-mode transmission region

2.3 弹性模量影响

按类似方法，分别改变填充材料的杨氏模量，在其余的材料参数不变的情况下计算结构的图，得到相关参数发现双锥区域材料的杨氏模量的变化对带隙和单模传输区域几乎没有影响；节点材料杨氏模量变化影响如表4所示。可以看出随着节点区域材料杨氏模量的增大，带隙和单模传输区域的上下界频率都在向高频移动，绝对带宽增大，但相对带宽不变，分别保持在6.7%和39.4%。

表4 节点材料杨氏模量变化对带隙及单模传输区域参数的影响Table 4 Influences of Young’s modulus of the node area on the band gap and the single-mode transmission region

根据以上数据分析，可以发现对带隙和单模传输区域有影响的材料参数主要有双锥区域填充材料的材料密度，以及节点区域填充材料的泊松比和杨氏模量。为使五模材料获得更好的声波调控特性，可以按以下规律选择填充材料：

(1)双锥和节点区域选择质量密度较轻的填充材料，不仅可以减小结构的质量，且绝对带宽也变宽，相对带宽不变。

(2)节点区域选择泊松比较小的填充材料，此时带隙向低频移动，且绝对和相对带宽都增大，品质得到明显提升。

(3)节点区域填充材料的杨氏模量增大会使带隙和单模传输区域向高频移动，但绝对带宽也增大，相对带宽不变，可根据低频性或带宽性的需求来选择节点区域的填充材料。

3 构型几何参数影响分析

3.1 双锥宽D的变化影响

在1.0～5.0 mm的区间内每隔0.5 mm取一个值作为双锥宽D的值，在其他的材料参数和几何参数不变的情况下，得到结果于表5所示，图16为其变化趋势。随着双锥宽D的增大，带隙的上下边界频率都下降，但上边界频率下降速率较大，导致带隙的绝对带宽显著减小，相对带宽也减小；而单模传输区的上下边界频率随D的增大而增大，绝对带宽和相对带宽先增大后减小，当D取2.5 mm时，相对带宽的值最大，为39.9%。

图16 双锥宽D对带隙和单模传输区域两者的影响Fig.16 Influence of biconical width D on band gap and single-mode transmission region

表5 双锥宽D对带隙及单模传输区域参数的影响Table 5 Influences of bicone width D on the band gap and the single-mode transmission region

3.2 节点半径r的变化影响

取0.1～2.0 mm区间8个值作为节点半径r，在其他的材料参数和几何参数不变的情况下，得到相关的数据并计算处理如表6所示。由表6中数据可得，随着构型节点半径r的增大，带隙的上下界频率变化很小，绝对带宽和相对带宽增大，但增幅较小；单模传输区的上下边界频率缓慢增大，绝对带宽也逐渐增大，但相对带宽的变化不明显，幅度在1%范围内。

表6 节点半径r对带隙及单模传输区域参数的影响Table 6 Influences of node radius r on the band gap and the single-mode transmission region

根据以上数据可以看出对带隙和单模传输区域影响较大的主要是双锥宽D，在设计单胞构型时可以选择较小的双锥宽D值，带隙虽向高频方向移动，但绝对带宽增大，带隙品质得到了较大提升，同时单模传输区域的低频性最好；且D值越小，双锥区域材料填充越少，五模材料结构的质量越轻。节点半径r可以选择较大值，此时带隙边界频率几乎不变，但绝对带宽和相对带宽都有增大，带隙带宽性得到提升；此外节点半径r较大时，五模材料结构的稳定性更好，但五模特性品质变差；当r＞0.4 mm时，五模品质因数FOM＜103。

4 结论与展望

本文从二维双锥五模材料入手，引入局域共振型声波带隙，采用了节点替代双锥间的点接触，提高了材料结构的稳定性，设计了三种排列形式的双锥构型并进行对比分析，选出了性能比常规六边形排列构型更优异的三角形排列构型，接着对此三角形排列构型的低频声波调控影响参数进行了分析，得到了以下结论：

(1)三角形排列五模材料的声子带隙上下边界频率最低，带隙宽度较宽，且具有单模传输区域，该构型具有优异的声波调控性能。

(2)对三角形排列构型填充密度较轻的材料，不仅可以降低五模材料整体质量，而且可以提高带隙的带宽性；节点区域选择较小泊松比的填充材料能使带隙品质得到较大提升。

(3)选择较小的双锥宽和较大的节点半径不仅可以提高带隙品质，而且可以降低密度较大的双锥区域材料的填充率，减轻结构的整体质量，提高结构的稳定性。但节点半径增大时，五模材料结构的五模特性会变差，为了保证较好的五模特性，节点半径r不宜超过0.4 mm。

通过得到参数变化时的影响规律，可以更好地设计出所需要的五模材料。这种三角形排列双锥五模材料具有的单模传输区域，可用于制作极化滤波器，此外材料还具有的声子禁带特征，可限制和阻止五模材料内部的声波传播，在控制噪声和“声隐身”方面具有广阔的前景。但五模材料作为目前新兴的一种声波控制材料，还有一些其他方面的内容有待进一步研究，包括设计五模材料结构的新构型并进行相关的实验验证，在保证具有较好的五模特性的同时提高结构的稳定性；双锥构型的直边可以用曲边代替，进行曲边参数化优化以获得具有更优异性能的五模材料。