基于学习迁移理论的对话教学实践

［摘  要］ 文章意在探究学习迁移理论与对话教学的融合，把顺向迁移、逆向迁移、水平迁移、垂直迁移与师生对话、生生对话、生本对话相结合，并以“函数的零点与方程的解”教学为例，阐述教学中如何借助已有经验创设问题情境，引导学生主动参与教学，让学生经历知识形成和问题解决的过程，促进学生实践能力和思维水平的提升，获得成就感，进而转化为学习内驱力，积累基本活动经验，落实数学核心素养.

［关键词］ 迁移；对话；思维；函数的零点；方程的解

学习迁移与对话教学

“学习迁移”一词是美国心理学家桑代克首先提出的，他把迁移定义为“先前学习对后继学习的影响”. 后来人们对其进行了发展和补充，认为学习迁移是“一种学习对另一种学习的影响”［1］. 布鲁纳指出，迁移问题是学生学习过程中的核心问题，并提出“为迁移而教”的口号.

“对话教学”是教师、学生以及教学文本三者在对话理念和对话精神的指导下，在一种平等、尊重、和谐的基础上用语言、体验、反思等方式进行交流，把教学中出现的问题解决掉，使学生能全面发展的一种教学方式，一般包含“师生、生生、生本对话”［2］. 马丁·布伯（Martin Buber）根据对话哲学阐述教育、教学过程中出现的问题，提出了“我—你”关系型对话理论.

根据学习迁移发生的方向可以把学习迁移分为顺向迁移和逆向迁移，借助先前学习与后来学习之间的相互影响，促进学生学习效果的提升；根据学习迁移内容的抽象概括水平可以把学习迁移分为水平迁移和垂直迁移，分别借助类比模仿、特殊到一般等数学思想方法促进学生提升学习能力.在學习新知的过程中，以“对话教学”为教学组织的形式，通过组织“师生、生生、生本对话”，合理设计对话教学的方向和目标，充分调动学生先前学习的知识、活动经验等，促进学生在学习过程中学习迁移的发生，以此来实现前后所学知识的统整理解，积累并强化相似的学习活动经验，以及培养学生的自主学习能力等.

教学内容简析

“函数的零点与方程的解”与“用二分法求方程的近似解”两个课时的内容是一个整体，学习目标是运用函数性质求方程的近似解. 求方程的近似解可以分解为两个求解环节：环节一，方程是否有解，有几个解；环节二，解的近似值.两个课时的教学内容与两个环节分别对应，第一课时解决的是“有没有、有几个”的问题，第二课时解决的是“有多大”的问题.

在先前学习中，学生学习过有关方程的解的问题，都可以求解出一些方程具体的根，如一元二次方程的根、指数方程的根等，积累过研究方程的根的活动经验；此外，学生进入高中后，初步建立了以函数的视角研究方程的一般观念，已经学习了一元二次方程的根、一元二次函数的图像与x轴交点的横坐标、一元二次函数的零点等概念之间的关系. 这些活动经验都为研究更一般的方程的根的问题打好了学习迁移的基础.

教学设计与实施

1. 复习回顾

问题1：二次函数f（x）=x2－5x+6有几个零点？

生1：方程x2－5x+6=0的解是x=2，x=3，f（x）=x2－5x+6有两个零点.

生2：画出二次函数f（x）=x2－5x+6的图像，发现二次函数f（x）=x2－5x+6的图像与x轴有两个交点，因而有两个零点.

追问：二次函数f（x）=a2+bx+c有几个零点？

生3：可用判别式进行判断.

生4：画图.

在问题1及其追问后，教师引导学生总结判断二次函数零点个数的方法，一个是从数的角度应用求根公式或判别式进行判断，另一个是从形的角度应用函数图像进行判断. 从函数、方程、图像等不同的角度，先由教师整理提炼出问题1的思维图式（如图1所示），再让学生进一步抽象概括出追问的思维图式（如图2所示）.

设计意图：问题1与追问以“师生对话”为教学组织形式，从特殊的一元二次函数零点问题的研究过程垂直迁移到一般的一元二次函数零点问题的研究过程，复习并强化了研究方程的解的一般思维模式，既可以直接求根，也可以作图进行判断，为后续研究更一般的方程的解的问题做好了学习迁移的基础.

2. 探究新知

问题2：对数函数f（x）=lnx有几个零点？

生5：解方程lnx=0，得x=1，所以有一个零点.

生6：作出函数f（x）=lnx的图像，与x轴只有一个交点，所以只有一个零点.

活动1：请仿照研究一元二次函数零点个数的思维图式，画出研究函数f（x）=lnx零点个数的思维图示，并抽象概括出研究一般函数y=f（x）零点个数的思维图式.

学生活动：先后完成两个思维图式，如图3、图4所示.

教师总结：①零点概念：对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点. ②函数y=f（x）的零点是对应方程f（x）=0的解，也是函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标.

设计意图：问题2与活动1分别以“师生对话”“生本对话”为教学组织形式，从一元二次函数零点问题的研究过程水平迁移到对数函数零点问题的研究过程，进而垂直迁移到一般函数零点问题的研究过程. 学习过程中学生从特殊到一般，通过类比模仿，循序渐进，不断积累研究函数零点问题的基本活动经验.

问题3：函数f（x）=lnx+2x－6有几个零点？

生7：方程lnx+2x－6=0的根解不出来，得不到结论.

生8：可以通过作图进行判断.

活动2：请大家通过描点作图法猜想函数f（x）=lnx+2x－6的零点个数，及零点所在的区间.

学生活动：如图5所示，作出函数f（x）=lnx+2x－6在x=1，2，e，3，4，5，…处的点的坐标，猜想函数f（x）=lnx+2x－6在区间［1，3］上有一个零点.

教师：我们知道，如果函数有零点，其图像与x轴就有交点. 你认为应如何通过函数f（x）=lnx+2x－6的取值规律来刻画其在区间［1，3］上有零点？

生9：f（1）<0，f（3）>0.

（生9回答的同时，教师在黑板上作出函数f（x）=lnx+2x－6连续不断的图像.）

教师：你觉得该如何完善此条件？

生10：函数f（x）=lnx+2x－6的图像在［1，3］上连续不断.

教师：当函数f（x）=lnx+2x－6的图像在［1，3］上连续不断，且f（1）<0，f（3）>0，刻画其图像“穿过了”x轴，确保了其在［1，3］上有零点.

问题4：如何通过函数y=f（x）的取值规律来刻画其在区间［a，b］上有零点？

生11：如图6所示，若函数y=f（x）的图像在区间［a，b］上连续不断，且f（a）<0，f（b）>0，函数y=f（x）有零点.

生12：如图7所示，若函数y=f（x）的图像在区间［a，b］上连续不断，且f（a）>0，f（b）<0，函数y=f（x）有零点.

教师：如何统一表述分类讨论的结果？

生13：若函数y=f（x）的图像在区间［a，b］上连续不断，且f（a）·f（b）<0，函数y=f（x）有零点.

教师：能判断出函数y=f（x）有几个零点吗？

生14：函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像可能会多次穿越x轴，能判断一定有零点，但零点个数不确定.

教师总结：函数零点存在性定理：如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是一条连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這个c也就是方程f（x）=0的解.

设计意图：问题3、活动2、问题4以“师生对话”“生生对话”为教学组织形式.教学中通过问题3形成认知冲突，引导学生认识到还有另外一类无法求出具体的根的方程，在垂直迁移的过程中，明确以函数的观点研究方程的思维意识；通过活动2直观、定性分析函数“穿过”x轴的过程，然后用严谨的定量分析进行刻画，进而提出一般的问题4，不断地通过垂直迁移，归纳概括形成函数零点存在性定理.

问题5：你能在函数零点存在性定理的基础上增加一个条件，使得函数y=f（x）在区间［a，b］上仅有1个零点吗？

生15：函数y=f（x）在区间［a，b］上是单调函数.

活动3：证明函数f（x）=lnx+2x－6有且仅有1个零点.

（学生展示，教师点评，完成问题2的研究.）

设计意图：问题5与活动3以“师生对话”“生生对话”为教学组织形式，在函数零点存在性定理的基础上进行垂直迁移，引申得到判断函数y=f（x）在区间［a，b］上有且仅有1个零点的推论，进而以活动3解决问题2的猜想，让学生经历应用函数零点存在性定理判断一般函数零点个数问题的全过程.

3. 学以致用

例1 判断下列说法是否正确.

①若f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点.

②若函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，则f（a）·f（b）<0.

③若函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内只有1个零点.

设计意图：例1为概念辨析，通过三个小问题引导学生逆向迁移，深化对函数零点存在性定理及其推论的理解，明确定理和其推论均为充分不必要条件的命题.

例2 已知函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：

函数y=f（x）在哪几个区间内一定有零点？为什么？

例3 （多选题）方程ex－x－2=0的根所在的区间可能是（  ）

A. （-2，-1）？摇？摇？摇？摇？摇 B. （-1，0）

C. （0，1）？摇？摇？摇？摇？摇 D. （1，2）

设计意图：例2和例3均为函数零点存在性定理的简单应用，通过两个例题引导学生顺向迁移，从数据表格、方程等不同角度丰富学生解决函数零点问题的活动经验.

教后反思

1. 学习迁移让对话教学更科学

对话无处不在，好的对话井井有条，让人沉浸其中；差的对话就像聊天一样漫无目的或杂乱无章，难以为继. 教师如果以学习迁移理论为指导，理清知识的发生、发展过程，科学架构知识之间的逻辑关系网络，然后在此基础上开展对话教学，必然能够让课堂教学中的对话更有条理，课堂活动脉络更加清晰，学生乐在其中，自然能够吸引学生全身心地参与到课堂教学中去，不仅能够充分体现学生的“主人公”地位，还能科学地完成课堂教学目标，促进对话教学水平的高质量发展.

2. 对话教学让学习迁移更高效

数学教学中常见的学习迁移主要是顺向迁移、逆向迁移、水平迁移（横向迁移）、垂直迁移，其中顺向迁移最常见，逆向迁移非常重要却常被忽视，水平迁移和垂直迁移几乎被类比和抽象概括取代. 无论是哪一种迁移，必然会经历两个或者多个知识间的跨越，而通过巧妙设置数学问题情境，开展相应形式的对话教学，能更好地克服知识间跨越的障碍，这就要求教师根据不同知识点的结构特点设计符合学生认知规律发展的问题导向，借助师生对话、生生对话、生本对话驱动学生去实践和探究，进而主动发现问题、提出问题，教师则在必要的时候予以技术支持或总结提炼，最终驱使学生自主分析问题、解决问题，轻松获取基础知识，感受基本思想方法，把握知识间的逻辑结构，并在学习过程中获得基本活动经验，进而上升到基本技能的形成，有利于学生思维的发展和数学核心素养水平的提升，顺利实现实践中高质量输出的目标.

参考文献：

［1］  王冲. 中学数学课堂教学中师生对话的研究［D］. 东北师范大学，2015.

［2］  黄庆锋. 学习迁移理论在高中数学教学中的应用研究［D］. 上海师范大学，2012.

基金项目：广东省基础教育学科教研基地项目，东莞市教育科研课题“十四五规划”2021年度课题“基于学习迁移理论的高中数学对话教学实践研究”（课题编号：2021GH312）.

作者简介：陈维彪（1986—），硕士研究生，中学一级教师，广东省学科教研基地（东莞高中数学）成员，东莞市骨干教师送课团队成员，曾获东莞市品质课堂比赛二等奖，参加过2项市级课题，主持过1项市级课题.