基于Logistic 曲线的草莓生长模型研究

倪子凡，张云华

（浙江理工大学 信息学院，杭州 310018）

0 引言

在中国，草莓作为一种重要的经济作物，其年产量约200 万吨，产值约300 亿元［1］。随着草莓种植在国内的普及，使用科学的方法对草莓的种植策略进行指导也渐渐成为了一个热点问题。

生长模型、即研究生物生长情况的模型，一般是根据生物实际累积生长曲线进行拟合的理论生长曲线，可由累积重量和时间的函数表示。生物的生长一般情况下符合先快速增长，后平缓接近于某一临界值的规律，实际生产实践与应用中常用S型曲线表示，一般具有非线性的特点，故可以使用非线性的数学模型来模拟生物的生长规律［2］。研究作物累积重量随时间变化的规律，建立可靠的统计模型，可以更加全面地了解作物的生长情况以及不同生长阶段的生长潜力，有助于对作物的生长进行预测，分析种植效果，从而针对不同的情况制定不同的种植策略，以期达到最理想的种植效果。

本文使用Logistic 曲线模型对草莓的生长过程进行研究，并提出了一种改进的生长模型，该改进模型相较于Logistic 曲线模型更好地拟合和重现了草莓在生长周期中累积重量的变化。

1 相关知识

Logistic 曲线模型又被称为皮尔（Pearl）曲线模型，是一种应用非常广泛的非线性增长曲线模型。该曲线模型可用于描述事物发生、发展、成熟和极限四个阶段的生长变化过程，最早是应用于生物繁殖、人口发展统计和产品生命周期分析等方面［3］，后逐渐推广到人工神经网络、生态学、经济学等诸多学科［4］。该曲线增长率大于零，有唯一的拐点和一条水平渐近线［5］，是一种简单的饱和增长模型［6］。国内外学者数年来的理论和实验研究都证明该模型具有可信的识别、预测和推广能力［7］。

假设作物累积重量的自然增长率，即净增长率在一定时期内为常数k。由该假设可知，作物的累积重量增长率，即单位时间内累积重量的增长量与当时作物的重量成正比，其比例系数为k，且k ＞0。由于增长率本质上反映的是变化速度，故可以利用微分方程来建立模型［8］，列出方程见式（1）：

其中，t表示时间，P（t）表示t时刻作物的累积重量，这样便得到了一个一阶常微分方程。将式（1）分离变量后积分可得公式（2）：

其中，当时间t取0时，P（t）的值为C，即C表示初始情况下的作物累积重量［9］。该式即为马尔萨斯于1798 年提出的指数增长模型［10］，在该模型下作物累积重量的增长是非常快的，后期将形成爆炸式增长，这显然是不符合实际情况的。回到基本假设中可以发现，实际上作物在生长到一定程度后，其自然生长率在受到资源、环境等因素的制约后并不会维持不变［11］，而是随着时间逐渐减少，即基本假设中的自然增长率k应该是P（t）的减函数。为表示出增长率受资源限制的关系，设当前环境下作物所能达到的最大累计重量为M，则M-P（t）表示当前时间t时作物累计重量的剩余增长空间。k与M -P（t）为正相关关系，令k＝λ（M -P（t）），代入式（1），可得式（3）：

对式（3）进行变形，得到式（4）：

由式（4）可得式（5）：

式（5）两边导数相等，则求导前的函数相差一个任意实数，设为C，得到式（6）：

两边取e的对数，得到式（7）：

令eC＝1／a，λM＝b，解得式（8）：

式（8）即为Logistic 曲线模型的积分形式。

2 模型改进

本文在Logistic 曲线模型的基础上对作物累积重量的自然增长率进行了优化，使其更符合实际生产中的情况。

由前文可知，作物累积重量的自然增长率k与剩余增长空间M -P（t）之间成正相关，但实际生产中二者之间的关系并不一定是线性的［12］，而更可能是时间t的函数，且随着时间的增长持续下降［13］，可设其为r（t），即推得式（9）：

本文讨论r（t）为一次函数的情况，这里令r(t)＝at+b，a和b为参数，得到公式（10）：

同式（8）的推导过程，可得公式（11）：

其中，c为任意实数。

3 实验与分析

3.1 实验数据及工具

为了对比2 种模型的拟合效果，本文采用了Universidade Federal de Santa Maria 的草莓实验数据集，该数据集使用了16 种不同的处理方法对草莓进行种植，在完全成熟阶段，每周2 次、共进行37 次收获并称重。

拟合的工具使用的是SPSS26，这是一款图形操作界面友好的统计软件，可以对目标数据集进行回归分析，并给出参数的估计值和拟合优度［14］。

3.2 实验数据的预处理

由于SPSS26 在拟合数据较大时会出现拟合失败的情况，故需对数据进行预处理。本文采用计算频率的方式处理数据，即将每一时刻的累积重量除以总累积重量，时间同理，以此将数据大小限制在0到1 之间，方便进行拟合［15］。

3.3 实验结果

通过使用SPSS26 软件对2 种模型各自在5 组数据上进行拟合，对比Logistic 曲线模型和本文提出的改进模型的拟合效果，采用可决系数（R2）作为指标来评价拟合优度，计算方法见式（12）：

将一组数据预处理后输入SPSS26 后使用改进生长模型曲线进行拟合，拟合结果如图1 所示。图1中，横坐标为迭代次数，纵坐标为残差平方和。图1中，从图1 可以看出，数据拟合效果较好，虽然前几次迭代中残差平方和有所上升，但在接下来的迭代中残差平方和迅速降低、并趋于稳定。

图1 拟合结果残差平方和Fig.1 RSS of fitting results

将2 种模型在相同数据集上进行拟合，拟合的评价结果见表1。

表1 2 种模型的实验结果Tab.1 Results of two models

由表1 可以看出，本文提出的改进生长模型对比Logistic 曲线模型在可决系数的指标上都有所提高，可以更准确地重现草莓在生长过程中的累积重量变化，具有良好的指导意义。

4 结束语

本文提出了一种基于Logistic 曲线模型的生长模型，对Logistic 曲线模型中的作物累积重量自然增长率进行了优化，使其更符合实际情况。本文对多种不同处理下的草莓生长数据分别使用Logistic 曲线模型和改进生长模型进行拟合，实验结果表明改进后的生长模型的拟合效果更好。考虑到生长模型曲线泛用性强的特点，今后的研究工作中将会尝试将其推广到更多的领域，并结合实际情况加以改进，以便为更多领域的数据统计提供一个可靠的统计模型。