乒乓球运动模型的建立和仿真

高佩川 杨秋锋

(南京工程学院 江苏南京 211112)

乒乓球作为一种打法多样且易于普及的运动，受到了我国人民高度热爱。在竞技体育中，乒乓球运动更是占有十分重要的地位。随着乒乓球运动员能力的不断提高，乒乓球运动器械功能的提高也成为一个急需解决的问题。

乒乓球机器人一直是一个研究热点，虽然很早就有学者提出了乒乓球机器人的原型［1-2］，并且近年来也不断有学者在做乒乓球机器人的设计［3-4］，但由于各种各样的技术上的难题，乒乓球机器人还远没有达到实战的能力。

由于在比赛中乒乓球的飞行速度很快，乒乓球机器人需要提前到位，才能进行下一步的接球动作。为了能够提前到位，乒乓球机器人就需要在对手击出乒乓球后的一瞬间，准确预测乒乓球的运动。

为了能够完成这样的任务，一种思路是从实时跟踪预测的角度进行研究［5-6］，有学者取得了一定的成果；另一种思路是从求解初值问题的角度进行研究，也就是在知道乒乓球的初始条件下，利用一定的模型求得乒乓球的运动。

针对乒乓球飞行运动模型建立的这一问题，已有许多学者做出了一定的研究。有学者基于已经开发的工业软件预测了乒乓球的飞行运动，也有学者利用物理模型和数学方法单独建立了乒乓球的飞行模型，还有学者利用物理模型和数学方法单独建立了乒乓球的碰撞模型。暂时还缺少一种基于物理模型和数学方法的融合乒乓球飞行和碰撞的预测方法。

首先，该文考虑了马格努斯力，利用牛顿第二定律建立了乒乓球飞行模型，并且利用冲量定理和冲量矩定理建立了乒乓球碰撞模型。其次，利用数值方法进行matlab 编程求解，最终得到仿真结果。该方法可以为乒乓球机器人的设计提供参考，同时也可以为乒乓球运动员的接球策略提供参考。

1 乒乓球运动方程建立

1.1 乒乓球基本知识

乒乓球在空中的飞行过程中，有不同的运动方式。复杂的运动方式可以由基本的运动方式叠加而成。最基本的飞行运动方式有六种，分别为左旋、侧旋、上旋、下旋和顺旋以及逆旋［7］（见图1）。

在乒乓球飞行过程中，由于乒乓球的变形基本为零，可以把乒乓球简化成一个球状刚体模型。在运动过程中，该刚体除了有随质心的平移运动，还有绕质心的旋转运动，因此形成了一个空间中的速度分布。由于速度分布不均匀，根据流体力学的伯努利方程可知，每点受到空气的压强也不一样。不均匀的压强分布使得运动中的乒乓球受到大气对它的一种特有的力的作用，也就是马格努斯力。而这样一种空气对在空中运动的类似刚性球体的力的作用效应就称为马格努斯效应［8］（见图2）。

1.2 乒乓球三维运动方程导出

1.2.1 乒乓球飞行模型

乒乓球飞行的过程中主要受到重力、空气阻力以及马格努斯力的作用。重力的大小与乒乓球的质量和当地的重力加速度有关，其方向是竖直向下。空气阻力的大小和空气黏滞系数与速度成正比，其方向与速度方向相反。马格努斯力的大小与质心速度和绕质心角速度有关，其方向是垂直于速度矢量和角速度矢量形成的平面。图3为乒乓球在运动当中的运动分析和受力分析图［9］。

根据牛顿第二定律，可以得到乒乓球运动方程的矢量形式：ma=mg+Fd+Fm。其中，m是乒乓球的质量，a是乒乓球的加速度矢量，g是当地重力加速度，是Fd为空气阻力，Fm是马格努斯力。又有：

其中，S是乒乓球的面积，ν是乒乓球的运动速度，ω是乒乓球的角速度，ρ是空气的密度，Cd和Cm分别是空气阻力系数和马格努斯力系数。θ1和φ1代表了矢量v的方向，θ2和φ2代表了矢量ω的方向。

把矢量形式的乒乓球运动方程转换成矩阵形式的运动方程，具体如下：

1.2.2 乒乓球碰撞模型

根据规则，必须在乒乓球撞击桌面反弹之后，运动员才可以击打乒乓球。为了预测乒乓球弹起之后的运动轨迹，建立乒乓球与乒乓球桌的碰撞模型非常必要。图4 展示了乒乓球碰撞过程中，三维碰撞过程的X-Z平面和Y-Z平面的投影［10］。

根据刚体冲量定理和冲量矩定理可以得到：

在X-Z平面带入具体数值并且在二维形式下展开成分量形式，可以得到：

化简后利用消元法可以解得最终结果：

其中，当A 点速度大于零时，取正号；当A 点速度小于零时，取负号。

在Y-Z平面带入具体数值并且在二维形式下展开成分量形式，经过化简可以得到：

其中，当A 点速度大于零时，取正号；当A 点速度小于零时，取负号。

2 二维情况乒乓球运动方程求解

2.1 二维情况乒乓球运动方程推导

由于三维乒乓球运动方程较为复杂，求解其常微分线性方程组使用的方法也较为困难，所以采用由低维度到高维度的处理方法，在求得二维情况下运动方程解的情况之后，再考虑三维乒乓球运动方程的求解。同时，在低维情况下求得乒乓球运动方程解的情况更加简洁明了，易于获得乒乓球飞行运动物理上直觉化的理解。

在二维情况下，乒乓球运动如图5所示。

三维运动方程可化简为：

将矩阵形式的乒乓球二维运动方程展开成常微分方程组形式可得：

2.2 二维情况下旋球运动方程求解

由于在实际比赛中，下旋球和上旋球会对乒乓球的运动产生不同的影响。现分别在这两种情况之下，考虑乒乓球的速度情况和轨迹情况。

二维空间中考虑下旋球的情况，ω0=2π，将上式代入运动方程中后化简可得：

在得到上述质心速度的表达式之后，将速度对时间积分，就可以得到坐标关于时间t的参数方程：

其中，初始条件假设如下：

使用数值方法和Matlab 编程求解常微分方程组，得到如下乒乓球二维运动速度图（见图6）［11］。

首先考虑长度方向的速度vy，在乒乓球碰撞桌面前，它的速度不断减慢，但减小的速率也在变慢，这是因为受到了马格努斯力的作用。在乒乓球碰撞桌面中，前后两点的速度发生了突变，是因为碰撞带来的冲量矩的作用。在乒乓球碰撞桌面后，它的速度也不断减慢，但此时减小的速率越来越快了，这是因为在碰撞之后，乒乓球的角速度发生了改变，马格努斯力的方向产生了变化，因此乒乓球运动速度的斜率发生了改变。

其次考虑高度方向的速度，在乒乓球碰撞桌面前，它的速度不断减慢，同时由正值下降到负值，这也就意味着乒乓球从上升运动转变到了下降运动。在乒乓球碰撞桌面中，前后两点的速度也发生了突变，这是由于冲量的作用，并且乒乓球的速度由负值突变成了正值，这样就意味着乒乓球从下落经碰撞之后弹起，但碰撞后一点的速度的绝对值小于碰撞前一点的绝对值，这是因为碰撞产生了能量的损失。在乒乓球碰撞桌面后，重力成为主导的作用力，从而乒乓球高度方向的速度不断减小。

在将乒乓球两个方向的速度对时间积分之后，可以得到如下二维乒乓球运动轨迹（见图7）。

由图7 分析可知，乒乓球经历了两次飞行运动和一次碰撞运动。在第一次飞行运动中，由下旋运动带来的斜向上的马格努斯力使得乒乓球有更大的弧线，这也就解释了乒乓球运动员在击打近网且弧度较低的球时经常使用削球的原因。在碰撞之后，由于能量的损失，明显可以注意到乒乓球的最大高度没有碰撞前高，同时由乒乓球的疏密可以看出碰撞之后的速度明显小于碰撞之前的速度。

2.3 二维乒乓球上旋球运动方程求解

接下来考虑在二维空间中考虑上旋球的情况，假设角速度ω0=-2π，将角速度带入二维乒乓球运动方程后化简得到：

在得到上述质心速度的表达式之后，将速度对时间积分，就可以得到坐标关于时间t的参数方程：

其中，初始条件假设如下：

使用数值方法和Matlab 编程求解常微分方程组，得到如下乒乓球二维运动速度（见图8）。

2.4 二维情况上旋球和下旋球对比分析

相对于一般的抛体运动而言，乒乓球、网球等球类的飞行运动除了重力、空气阻力和浮力还会产生一种马格努斯力。而影响马格努斯力的因素主要是乒乓球质心速度和绕质心的角速度。现在采用控制变量法，在其他的物理量相同的情况下，考虑角度想法的两种情况，分析这两种情况下运动速度和运动轨迹的差别来考虑马格努斯效应影响方式和影响大小。

由图9 可知，下旋球的球速明显高于上旋球的球速，同时可以观察到下旋球的最大高度和碰撞前长度距离都明显大于上旋球的最大高度和碰撞前长度距离。从考虑马格努斯力的角度可以得出原因：下旋球的马格努斯力斜向上，而上旋球的马格努斯力斜向下，下旋球能获得更多的升力，走出更大的弧度，到达更远的距离。

这样的一种现象也给控制乒乓球机器人接球算法和策略产生了一定的启发，如果来球是靠近球网且弧度较低的球，机器人可以使用下旋球也就是削球击打回去。

如果来球是远离球网且弧度较高的球，机器人可以使用上旋球也就是拉球击打回去。这样的策略使得乒乓球越过球网并且落在台内的可能性大大增大。

3 三维乒乓球运动方程求解

3.1 三维乒乓球运动方程建立

在三维空间情况下，由于此时乒乓球运动方程过于复杂，为了在满足求解精度的情况下更加方便求得乒乓球运动方程的数值解，现在做出这样的化简：将阻力系数简化成常数，将马格努斯力系数也简化成常数。可以得到：

将上式带入三维乒乓球运动方程可得：

将乒乓球的质量，当地重力加速度，空气密度，空气密度，空气黏性系数等参数带入上述线性常微分方程组中可以得到：

将已经获得的乒乓球质心速度对时间积分得到乒乓球质心关于时间t的参数方程：

3.2 三维乒乓球运动方程求解

考虑乒乓球上下旋的情况，同时使用Matlab 仿真求解。

其中，数值条件如下所示：

使用数值方和matlab 编程求解常微分方程组，得到如下乒乓球三维运动速度（见图10）。

将已经得到的速度曲线对时间积分，便可以得到乒乓球的轨迹线（见图11）。

分析图11 可以发现，右侧的旋转可以使乒乓球飞出更大的X-Y平面的弧线，这样的弧线有利于乒乓球在宽度方向上落在乒乓桌的范围上，减少失误的可能性。

为了分析不同大小的角速度ωz对乒乓球飞行轨迹的影响，取ωz分别等于-2π、0和2π。图12展示了不同角速度ωz的乒乓球轨迹线。

分析图12可以发现，在角速度ωz由负值到正值的变化过程中，右侧的旋转使乒乓球在X-Y平面弧线的二阶导数从负值到正值变化。正的角速度有利于乒乓球落在宽度范围内，负的角速度有利于打出反斜线的弧线，不同的角速度可以使乒乓球的打法更加多样。

为了观察不同角速度在X-Y平面的轨迹产生的影响，取不同角速度ωz，得到三维乒乓球左右旋的俯视轨迹（见图13），发现在宽度方向的距离为0 到0.7 左右时，不同的角速度对弧线的影响较小，但在宽度方向的距离大于0.7 之后不同角速度ωz的弧线发生了极大的差别。这表明不同旋转的球在刚开始运动时不容易被发现差别，但在某个距离之后弧线发生了急剧变化，这给运动员击打不同旋转的乒乓球增加了许多困难。

3.3 结果对比

该文求解的思路是先建立数学模型，再使用数值方法和matlab进行求解。这样的思路必定存在一定的误差。为了验证上述模型和数值方法的可靠性，一般有两种方法可以选择：第一种是实验验证；第二种是工业软件仿真验证。由于实验室设备有限，难以精确测量乒乓球的初矢径、初速度和初角速度，所以该文选择第二种方法来验证模型的正确性。同时，由于这款工业软件ODE 已经受到许多学者的使用和验证，它的准确性和可靠性可以受到保障。所以在该小节中考虑乒乓球上下旋的情况，用同时使用Open Dynamic Engineering仿真软件求解［5］。其中，数值条件设为：

同时引用其他学者已经完成的工作，结果如图14所示。

通过比较ODE 仿真结果和matlab 数值结果，可以发现两种结果十分相似。这也就间接证明了该文求解思路的正确性。

4 结语

在考虑重力、空气阻力和马格努斯力的情况下，利用空气动力学和刚体动力学的知识构建了乒乓球飞行运动和碰撞运动的物理模型和数学方程。

利用数值方法中的常微分方程组解法和数值积分，仿真了乒乓球在二维和三维情况下的运动。

该研究为深入构建乒乓球机器人的接球策略和控制方法提供了一定的参考。同时，也为乒乓球运动员的训练方法和技术打法的提高提供了一定的理论依据。