具有Robin 边界条件的时间分数阶扩散方程的源项辨识问题研究*

崔建譞， 石成鑫， 柳 冕， 程 浩

（江南大学 理学院，江苏 无锡 214122）

引 言

近几十年来，分数阶微分方程被广泛应用在地震波勘探、黏弹性、反常扩散、生物材料和混沌动力学等许多领域，已经成为数学和物理学的热门研究课题之一.相较于整数阶微分方程，分数阶微分方程具有记忆和遗传性质，使得其在描述反常扩散现象时更有效，因此受到了学者们的广泛关注，而分数阶扩散方程就是其中一类重要的分数阶微分方程.

目前关于分数阶扩散方程正问题的研究已经相对完善，包括极值原理[1]、解的存在唯一性理论[2]、有限差分法[3-4]、有限元法[5]和谱方法[6]等，但是关于分数阶扩散方程反问题的研究结果还相对较少，源项辨识问题是分数阶扩散方程反问题的一个重要分支.许多学者使用不同方法研究了分数阶扩散方程源项辨识问题：Zhang 等[7]通过解析延拓和Laplace 变换证明解的唯一性，并运用Tikhonov 正则化方法进行数值求解；Tuan 等[8]在Dirichlet 边界条件下考虑了源项辨识问题，得到了精确解与正则近似解之间的先验误差估计；Wei 等[9]考虑了一种变系数的时间分数阶扩散方程，并用一种修正的拟边界方法辨识了源项；Yang 等[10]利用Landweber 迭代正则化方法，分别给出了先验和后验正则化参数选择规则下的收敛性误差估计；Wang 等[11]考虑了二维时间分数阶扩散方程，提出了一种新的数值方法，给出了正则近似解.上述研究结果大多考虑的是Dirichlet 或Neumann 边界条件下的分数阶方程的源项辨识问题，然而Robin 边界条件的物理模型在描述边界上热流变化与界面内外温度差之间的关系上有着广泛的应用背景.因此，本文考虑更为一般的Robin 边界条件下的时间分数阶扩散方程：

该源项辨识问题是不适定的，因此需要进行正则化处理.我们使用迭代正则化方法解决不适定问题，同时给出先验和后验正则化参数选取规则，以及正则近似解和精确解之间的误差估计，并给出了数值算例.

本文主要结构如下：第1 节给出了正问题的求解过程并分析了反问题的不适定性；第2 节介绍了正则化方法，并给出了先验和后验参数选取规则下的误差估计；第3 节通过数值算例说明了该方法的有效性；最后一节给出了全文的总结.

1 问题求解与不适定性分析

为了便于计算，将问题（1）中的非齐次边界条件转化为齐次边界条件，做如下变换：

2 正则化方法与误差估计

对于不适定问题的求解，经典的方法有Tikhonov 正则化和Landweber 迭代方法[17].本文给出了三种Landweber 迭代型正则化方法求解反问题（2）.首先给出经典的Landweber 迭代方法：

2.1 先验误差估计

结合式（8）和（9），并选取m=[(E/δ)2/(p+1)]，证毕.

2.2 后验误差估计

在上一小节中，我们给出了先验规则下的正则化参数m=[(E/δ)2/(p+1)]，但事实上先验界E是很难获得的，因此下面我们将考虑不依赖任何先验信息的后验参数选取规则.

采用偏差原理，正则化参数m的 选取满足

其中ω ＞1是一个常数.

定理3 假设f(x)是 反问题（2）的精确解，fm,δ(x)是由式（5）给出的正则近似解，噪声估计（6）和先验界条件（7）成立，正则化参数m由偏差原理（10）给出，则有以下误差估计：

结合式（11）和（12），证毕.

3 数 值 算 例

在这一节中，我们将给出数值算例来验证迭代型正则化方法的有效性.由于正问题（1）的精确解很难获得，我们使用有限差分法求解正问题（即假定F(x,t)=r(t)f(x)+Z(x,t)、 初值条件 ϕ(x)以及Robin 边界条件µ1(t) 和µ2(t)已 知）来获得终值数据g(x).

在数值实验中，空间和时间离散点数分别为H+1,N+1， 相应的步长分别为h=L/H， τ=T/N，并记xi=ih(i=0,1,···,H)，tn=nτ(n=0,1,···,N)， 令uni=u(xi,tn)，Fin=F(xi,tn)为网格点处的值.

正问题（1）中的时间项导数可以通过Caputo 分数阶导数的L1插值逼近[19]来近似得到：

图1 ～ 3 中图（a）采用先验参数选取规则计算正则近似解；图1 ～ 3 中图（b）采用后验参数选取规则计算正则近似解.表1～3 给出了在不同误差水平下精确解和正则近似解的绝对误差和相对误差.

从图1 ～ 3 可以看出，先验和后验正则化参数选取规则下计算的源项正则近似解与精确解之间的逼近效果都较好，而且当解的光滑性变好时，数值结果也会变好.从表1 ～ 3 可以看出，随着 ε的增大，绝对误差和相对误差都会增大，这与理论结果相符合.还可以看出，后验正则化参数选取规则下的数值结果几乎可以媲美先验正则化参数选取规则下的数值结果，这说明了本文的方法是有效的.

表1 算例1 在不同误差水平下的绝对误差和相对误差Table 1 Absolute errors and relative errors under different error levels of example 1

图1 算例1 的精确解及其正则近似解：(a)先验规则；(b)后验规则Fig. 1 The exact solution and its regularized approximate solution of example 1: (a) the priori rule; (b) the posteriori rule

图2 算例2 的精确解及其正则近似解：(a)先验规则；(b)后验规则Fig. 2 The exact solution and its regularized approximate solution of example 2: (a) the priori rule; (b) the posteriori rule

图3 算例3 的精确解及其正则近似解：(a)先验规则；(b)后验规则Fig. 3 The exact solution and its regularized approximate solution of example 3: (a) the priori rule; (b) the posteriori rule

表2 算例2 在不同误差水平下的绝对误差和相对误差Table 2 Absolute errors and relative errors under different error levels of example 2

表3 算例3 在不同误差水平下的绝对误差和相对误差Table 3 Absolute errors and relative errors under different error levels of example 3

4 结 论

本文考虑了Robin 边界条件下的时间分数阶扩散方程源项辨识问题，给出了三种Landweber 型正则化方法，以TSVD 正则化与分数阶Landweber 迭代方法相结合的方法为例，给出了正则近似解和精确解在不同参数选取规则下的误差估计，数值部分验证了方法的有效性.此外该方法还可以推广到其他反问题，如多项分数阶反问题和高维方程反问题等，还有待于进一步研究.

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