一个几何不等式猜想的证明

威海职业学院艺术学院 姜卫东 (邮编：264210)

设a,b,c为△ABC三边长，s为△ABC半周长，x,y,z>0,λ≥1，则

①

这是一个形式优美的不等式，是由D.M.Milosevic 提出，刊登在塞尔维亚数学杂志《Univ.Beograd.Publ.Ele.Fak Ser.Mat》 2006 年第17卷[1]“问题解答”栏中的一道星号题(猜想)，由于该杂志从2007年第18卷开始更名为《Applicable Analysis and Discrete Mathematics》，并取消了问题解答栏目，因此关于①的解答便也随之不了了之.

经研究发现②是成立的，下面给出一种简单证明.

证明由均值不等式可得：

同理可得

②

再由均值不等式可知

③

再由熟知的不等式(见[2:p.2])

abc≥8(s-a)(s-b)(s-c)

④

及

⑤

当λ≥1时，由(5)可得

⑥

由⑥，④，③，(②可知①成立.