巧用数学题组练习 实现思维能力升级

于昕

摘要：题组练习是数学教学中的一种有效形式，是学生数学思维品质养成的切入点。教师要设计“定点”题组练习，让数学思维由表及里；要设计“串链”题组练习，让数学思维由浅入深；要设计“构面”题组练习，让数学思维由窄变宽；要设计“梳理”题组练习，让数学应用由点到面。

关键词：数学教学；题组练习；数学思维

题组练习是数学教学中的一种有效形式，是学生数学思维品质养成的切入点，是通过对照练习，达到对比分析、交流评价、自主创新的层次，打破记忆、理解、应用知识的层面，实现深度学习，促进低阶思维向高阶思维的转变。笔者根据教学实践的经验总结，从“定点—串链—构面”三个方面来设置题组，并将相应题组进行详细分类，如图1所示。

一、“定点”题组练习，让数学思维由表及里

所谓“定点”题组，就是将考查相同知识点的题目编成一组，这一相同的知识点就是“定点”。

以题组一为例，解决这三个问题都需要学生从认知结构已有的图式中提取圆的面积公式，根据圆的半径求面积就是这组题的“定点”。这三道题的不同点是第二题需要根据直径求出半径，第三题是已知周长求半径，再运用公式求面积。通过这组题的练习，学生明晰：已知圆的半径、直径、周长，求面积。不同题型之间的区别和联系：求圆的面积需已知圆的半径，并将这一“定点”存入认知结构中。

【题组一】基础题组

1.已知圆的半径，求圆的面积。

2.已知圆的直径，求圆的面积。

3.已知圆的周长，求圆的面积。

题组一属于“定点”题组中的基础题组，实现的是思维“点”状提升，而利用已知圆的半径求面积，这一“定点”解决的问题还有很多，教师还可以呈现变式题组（如题组二），这些都是在求圆的面积。但是，不同点是第一题在长方形中切割最大的圆，求此圆的面积，关键在于找准圆的半径即长方形宽的一半；第二题在长方形中切割最大的半圆，求此半圆的面积，关键在于知道圆的半径是长的一半；第三题也是在长方形中切割最大的半圆，求此半圆的面积，区别在于要知道圆的半径就是长方形的宽（如图2）。解决此三题虽然运用的“定点”一样，但是要求圆的半径需要学生花费一番精力，这样可以使学生的学习逐步走向深入，实现思维“链”上的串通。

【题组二】变式题组

1.一个长方形，长12厘米，宽10厘米，要切割出一个最大的圆，圆的面积是多少平方厘米？

2.一个长方形，长12厘米，宽10厘米，要切割出一个最大的半圆，半圆的面积是多少平方厘米？

3.一个长方形，长24厘米，宽10厘米，要切割出一个最大的半圆，半圆的面积是多少平方厘米？

教师在讲授数学内容时，要把握这一内容的“定点”，巧用题组练习，让练习不仅停留在巩固新知识的层面上，更要启发学生去追溯知识的本质和内核。教师要通过题目使学生掌握一组题目的解决方法，理解其中蕴含的数学思想，促进学生的数学思维由表及里逐渐深入，提升思维的深刻性，让“定点”在知识链中发光发热。

二、“串链”题组练习，让数学思维由浅入深

“串链”题组是对所学知识相关题目的纵向整合，教师可以通过分类、归纳、整理、提炼，把“串链”题组分为同链同质题组、同链异质题组、同链递进题组，避免学生进行没有头绪的题海练习，额外增加学生的学习负担。教师要以分组练习引导学生深入理解数学知识的共性与个性，让数学思维由浅入深，使数学学习呈现生长态势。

【题组一】同链同质题组

1.甲乙两人共同完成一项任务，甲自己做需10天，乙自己做需20天，如果两人合作需要几天？

2.从教室走到学校图书馆，小明步行需10分钟，小刚步行需20分钟，如果两人同时从两地相对而行，相遇时需多少分钟？

同链同质题组的特点是构成题链的几道练习内容不同，但解题思路却相近或相同。如上述两道工程题，工程题是小学阶段考察的重点题型，从分率的方面探究时间、总量和效率三者之间关系，这两道题内容虽然不同，但解题思路相同：将总量看作单位“1”，用分率表示效率，用單位“1”除以各自的分率，求各自的工作时间。这样的题组练习可以使学生对认知结构中的相关知识进行融合，拓宽解决某一类题目的思路和方法，提高解题的灵活性。

【题组二】同链异质题组

1.一根圆柱形钢条，底面直径为8分米，高为20分米，削切成一个最大的圆锥体，削去了多少立方分米钢材？

2.一根圆柱形钢条，底面直径为8分米，高为20分米，加工成一个圆锥体，底面周长为31.4分米，圆锥体的高是多少分米？

同链异质题组的特点是构成题链的几道练习题内容相似，解题思路不同，能很好地帮助学生厘清易混题目的表征方式和解题方法。这种题组可以是根据公式的推导顺序为线串成题链，如可以将小学数学平面图形的面积计算问题——求平行四边形面积、求三角形面积、求梯形面积等，串成题链。也可以是对某一公式的多方面考察，如题组二，是以圆锥的体积公式及公式变形为线，第一题为圆柱削切成最大的圆锥，已知圆锥的直径和高求体积；第二题为圆柱加工成最大的圆锥，已知圆锥的体积和底面周长求高。教师还可以引导学生找出这组题中的两个重要动词：削切、加工，区别这两个词所表达的实际意义，以此为线构成题组。

【题组三】同链递进题组

1.制作雕塑作品，甲和乙合起来需8小时可以完成。如果甲独自完成需20小时，那么乙独自完成需几小时？

2.修马路，张明工程队独自修需30天，刘刚工程队独自修需80天。现在由两队合作修路，工作14天后，还有1400米没有完成，这条马路多长？

3.有一项任务，甲师傅每天作业8小时，3天可以完工；乙师傅每天作业9小时，8天可以完工。如果两位师傅一起做，每天作业6小时，几天可以完工？

所谓同链递进，是指构成题链的几道练习内容、解题方法相似，但难度不断增加。有层次的题组练习，可使学生进一步认识此类问题的结构框架，并在原有认知结构的基础上继续丰富，将更多题型纳入其中，避免以题练题的情况。

递进题组的设计是教学中比较常见的，它相当于学生建构认知的“导航仪”，导航的过程就是引导学生分析、解决问题的思考过程。从提供的条件看，递进题组是从直接条件到间接条件再到隐藏条件的递进；从计算方法看，递进题组是加法或减法到连加、连减，再到加减混合的递进等。相比题组一，题组三中的工作过程相对复杂，工作总量、时间、效率相互转化，我们可以采用“分干合想，合干分想”的拆并思想。运用分合法来解决，这样可以帮助学生更好地掌握解题方法，有利于提高练习的实效性。

三、“构面”题组练习，让数学思维由窄变宽

“构面”题组是把单独的线性知识进行整合，形成较宽的知识面。“构面”题组应以教材安排的内容顺序为线索，通过类比、联通等方式，将遍布在各年级、单元关联性较强的知识，进行横向组织，形成知识面。知识面相较知识链而言，更注重数学思想的总结和数学方法的应用，引导学生对相关联的知识进行归纳、演绎，通过归纳与演绎的双向互动，实现思维“点—线—面”的辐射式发展，提高思维的灵活性。

【题组一】“构面”题组

1.一个打印小组打印稿件，原计划每天打印200页，15天完成任务，实际每天多打印50页，这份稿件要几天完成？

2.一个打印小组打印稿件，原计划每天打印200页，15天完成任务，实际每天多打印1/4，这份稿件需要几天完成？

3.一个打印小组打印稿件，原计划每天打印200页，15天完成任务， 实际每天多打印25%，这份稿件可提前几天完成？

该题组第一题是整数应用题，是学生四年级学习的内容，列式为：（200×15）÷（200+50）。第二题是学生五年级下册学习的分数应用题，列式为：（200×15）÷（200+200×1/4）。第三题是学生六年级上册学习的百分数应用题，列式为：（200×15）÷（200+200×25%）-12。三道题都要先算出稿件的总页数，再根据实际每天打印的页数，求出需要打印的天数。虽然这个题组只是涉及到整数、分数、百分数，但是后面两道题对于学生来说，关键要知道“多的1/4、25%，是指实际每天比计划每天多打印1/4、25%，多的是计划每天打印的1/4、25%，用计划每天打印的加上多的部分，求出实际每天打印的页数”。三道题涉及到的内容分布在不同年级，由于知识学习的时间跨度较大，小学生处理信息的能力有限，因此学生会出现遗忘的现象。教师将有关联的信息合理有效地组织成组块，会增强学生信息加工的能力，使学生站在系统的高度，在整体知识的背景下，对所学的知识进行重构，将知识与方法结成网，减轻其学习负担。

四、“梳理”题组练习，让数学应用由点到面

平日复习数的运算时，有些教师往往追求形式化、技巧化，训练难免单调枯燥，这不仅脱离了学生生活实际，而且挫伤了学生的学习热情。我们知道，小学生正处于以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式的阶段，尤其是低年级的学生。为此，要基于学生的学习特点来设计本节“运用题组厘清问题层次”的乘除法复习课。

课堂上，我以习题练习为暗线，使学生通过五道基础题组梳理出已学习的乘除法知识。

1.孙悟空拔出4根毫毛，每根毫毛能变出5只小猴，一共能变出几只小猴？

2.有12个大桃子，平均分给唐僧师徒4人，每人分到几个桃子？

3.孙悟空又拿出20根香蕉准备分给小猴子吃，如果每盘放5根，可以放几盘？

4.小兔有2只，小鹿有6只，小鹿的只数是小兔的几倍？

5.小兔有2只，小松鼠的只数是小兔的4倍，一共有多少只小松鼠？

这五道题属于题组图式中的定点题组，教师在讲授数学内容时，要把握这一内容的“定点”，巧用题组练习，让练习不仅停留在巩固新知识的层面上，更要启发学生追溯知识的本质和内核，掌握一组题目的解决方法和蕴含的数学思想。

随堂练习的设置要由易到难，前两道题是对所学知识相关题目的纵向整合，如图3，着重考查学生对平均分、倍的认识，以及对乘除法的意义的理解，属于串链题组。

1.填一填，并说一说算式中每个数的意思。

2.按要求畫图，再写出算式和得数。

（1）先画3个▲，再画○，○的个数是▲的2倍；

（2）先画16个○，再以每4个一份圈一圈。

而最后一道题综合考察乘除法的相关知识，是一道开放题，属于“构面”题组（如图4）。“构面”题组是把单独的线性知识进行整合，形成较宽的知识面。知识面较知识链而言，更注重数学思想的总结，数学方法的应用，引导学生对相关联的知识进行归纳、演绎，实现思维“点—线—面”的辐射式发展，解决了作业中存在的机械、无效、重复性等方面的问题。

（1）肉饼的价格是粥的几倍？

（2）淘气有10元钱，正好可以买哪些食物？

（3）说一说，你还能提出哪些问题？

“双减”背景下，要让习题更有意义，绝不是通过“题海”战术实现的。本节课结合实际问题生活化的特点，创设学生喜闻乐见的“孙悟空打妖怪”的情境，设置“孙悟空分食物”的活动，贯穿了整堂课，为学生创设角色、情感代入的机会，激发了学生的学习兴趣，同时学生的审美兴趣、认识兴趣、乃至向往丰富精神世界的兴趣也在其间培养起来。快乐地解决问题，在给学生留下深刻印象的同时，以题组练习使学生脑海中的认知结构也更加完善。“定点—串链—构面”的题组设置，既重视知识练习又重视知识迁移，既关注点状突破又关注结构完善，既注重纵向联结又注重横向整合。有效设计数学题组呼应发展学生思维的诉求，助推其数学思维由表及里、由浅入深、由窄变宽地发展。

参考文献：

[1]陆李华. 小学数学题组化练习的设计与思考[J]. 辽宁教育，2015（5）.

[2]杨健辉， 杨绍彭. 关注比较过程 实现组合功能——用好数学练习题组的几点尝试[J]. 湖南教育， 2012（3）.

（责任编辑：杨强）