数形结合方法在高中数学教学中的应用

程延春

(河北省雄安新区雄县第二高级中学 河北 保定 071800)

0 引言

如果向一个高中生提问，你知道哪些高中数学思想？十有八九会回答“数形结合”。数形结合思想的重要性以及常见性可见一斑。不仅仅是因为数形结合的方法，能够让学生快速的解开数学的题目，还是因为，这种方式可以帮助学生更加直观的理解一些知识的理论。对于学生来说，无论是在解题的过程中，还是在学习新知识的过程中，数形结合都是一种降低理解难度的有效方式，因此不仅是教师会引导学生使用这种方式，学生群体本身也十分青睐这种方法。

1 数形结合的优势

数形结合的核心原理是建立了“数”与“形”之间的关系，让数字不再局限于概念，让图形不再抽象。思考一下数学行程的过程，在一开始我们对图形的问题产生了探究的想法，而在进行探究的过程中，我们发现一些问题，只有具有具体的数量关系，才能够充分的解决。而这些数量关系。我们要通过什么来表示呢？我们又要通过什么样的方式来找到这些数量关系呢？于是我们对数字进行了研究。当数字中的“数”与“形”一一对应时，不仅图形中的具体量有了定义，我们的数字也有了更加具体的表现形式。而这有什么好处呢？答案是，让思考的逻辑更加的直观，同时也变得更加的清晰。比如在高一阶段，我们在教学集合的时候，利用韦恩图来帮助学生理解集合、元素以及它们之间的关系。对于高一的学生来说，集合方面的知识虽然是陌生的，却也并不是完全高难度的内容。但是学生在初步学习的阶段，依然感觉到了吃力。这并不是学生的理解没有透彻，更多的是学生的思维方面有欠缺。当我们向学生介绍集合的概念的时候，学生不能够将定义中的抽象概念转化成具体的含义，就会出现知识点混淆或者模糊的情况，在进行相关题目的训练时，无法达到理想的训练效果。但是这些都会在我们进行图形教学之后有所改善，即，图像法的应用。因为在图像法当中，我们可以将集合这个概念具象化，即“一个圆圈”。而在圆圈当中，所有的“内容”，都可以称作集合中的元素。教师在教学的过程中可以将图形方面的内容结合多媒体工具，这样就能进一步加强教学的直观性，让学生结合眼睛的观察去理解定义中所提到的那些抽象概念。尤其是在教学集合内容的后半端，交集与补集等内容。

不仅这些概念会让学生更加难以分辨，并且在做题时也会给学生带来一定的困扰。最重要的是逻辑思维上的难度。所以在这个阶段，我们引进了韦恩图的概念。通过韦恩图，我们可以非常清楚的把握集合之间的关系，并且可以利用韦恩图帮助学生来理解一些比较困难的思考题，对于培养学生的逆向思维，也有着非常显著的辅助效果。

2 应用方式

数形结合的适用条件非常广泛，无论是在学生练习新的知识时，还是在复习题目时，只要是可以通过图形表达出含义的题目，就能够使用数形结合的方式，快速的解答出所有的问题。而在学习新知识的时候，数形结合又可以快速的帮助学生理解概念和定义，帮助学生梳理知识的应用逻辑以及知识本身所具有的逻辑。

2.1 教学时应用

在教学时应用数形结合的思想，能够帮助学生快速的理解新知识的概念，比如在教学函数的时候，我们通常会将函数的图像与定义式一起进行教学，这就是数形结合的体现。我们在教学函数的过程中，会引导学生关注函数的图像。对于还是模块的学习而言，图像是研究函数的一大利器。所以在学习一项新的函数时，我们通常会要求学生先利用五点描线法，将图像画出来。而在图像上找寻其他的特点，总结出函数的其他条件与特性。而教师之所以会选择利用函数的图像去研究，就是因为图像更加直观的表现了函数的性质。如果根据代数的定义去分析，即便是定义域和值域，这样简单的问题都要用大量的运算去解决。而如果绘制了图像，我们不仅可以简化许多步骤，还能够通过图像的特点，快速的找到其他信息。比如在教学三角函数的时候，我们先绘制了三角函数的图像，然后才发现了三角函数的对称性。而根据三角函数不同的对称性，我们又可以总结出其他的性质。而这些不仅对于学生快速的理解函数知识有所帮助，还会培养学生的识图能力，当学生在解决实际问题的时候，可以借助函数的模型，再利用函数模型的图像模型去解决更加具体的问题。这一项能力看似微不足道，却是学生完成数学知识迁移到现实生活解决问题必需的能力。

2.2 练习时使用

教师可以引导学生在练习习题的时候用数形结合方法。不仅可以大大缩短学生的练习时间，还能够大幅度的提高学生做题的准确率。并且这种方式还会更加符合我们现阶段教学改革下学生培养的目标，即能力与思维的培养。教师可以准备大量的数形结合的习题，让学生进行分类的训练。并且在训练之前规定好学生的做题时间，一方面利用时间的紧迫感让学生更快的完成相应的题目，另一方面，通过时间的缩短，促使学生不得不选择更加快捷高效的解题方式。比如在学习函数的时候，我们会遇到非常经典的题目，就是比大小。在比大小的题目中，会给出不同类型的函数，并且不会给出完整的函数表达式。如果学生选择使用代数的方法，将每一个函数的表达式求出，并将题目给的数字代入的表达式求出每一个选项的大小，通过比较选项的大小来选出“最佳答案”。这种情况不仅答题会非常慢，解题的难度也是非常大，因为题目所给的信息并不足以学生求出表达式，即便可以，也是需要好几步的运算，才能够完成相应的比较。但是如果使用数形结合的办法的话就会简化求解的过程，并且在思考的逻辑上也会非常的简单。教师可以在练习开始之前，通过一道题目的示范，如选取一道题，引导学生观察教师的操作，教师将图像画于黑板上的一个数轴中，通过比较图像上的信息选出最佳答案。这是为了让学生有一个思考的方向，在学生“有样学样”练习下，量变也可以成质变，也会初步培养起学生的数形结合思想的。

数形结合思想的应用并非具有单一性，我们将代数转化成图像的内容进行思考，同样也可以将图像的内容转化成代数的信息进行运算。比如在教学函数实际问题的内容时，我们经常会将函数图像上的某一点，赋予它实际含义的信息，并将它作为实际的数据，带入到函数的表达式中，得到的数字会进一步完善函数的图像信息。虽然在平时的时候我们并没有过多的关注这些问题，但是实际上就是数形结合思想的应用。在解决实际问题的时候，我们会多次的完成数形结合思想的应用，具体的分析是我们会更加频繁的使用代数信息与图像信息的转化。比如，统计模块的知识，通过图像的信息找到代数式中缺失的某一个数据，利用数据补全代数式得到新的信息，而新的信息又是完善图像的必要条件，最后通过图像的完善解决代数的模型等。

3 应用原则

数形结合这种思想，不仅是给学生提供了一定的便捷，可以让知识变得更加直观，同时也是给学生提供了新的思路。数形结合在应用时，需要注意以下几点应用原则：

3.1 等价性

代数信息以及几何信息在进行相互转化的时候，一定要注意等价性。等价性的意义在于保证信息的本质是同一项内容。比如在构造图形的时候，我们会将代数的数据转化成实际的线段，在此过程中，我们要保证数据和线段的长度是相等的，才能够保证我们所构造出来的图形是符合数据要求的，才能够借助构造出来的图形进行其他信息的推算。再比如，教学函数的时候，就是找到坐标系中的一个点，这样同时找到这个点所代表的数量关系，通过数量关系与坐标系点坐标的转换，解出相应的信息，才是满足等价原则，才能够解答出正确的答案。从某种层面讲，等价性是保障数形结合方法得以正确使用的基本要求，只有满足等价，才能实现图形与数字关系的转变，从而应用这一思想和方法来解决数学问题，在教学过程中，老师要引导学生们明确数形结合思想内涵，确保使用过程中遵循等价原则。

3.2 双向性

正如我们上文中所提到的，数形结合思想在应用时，不仅可以体现出“数”到“形”的转变，也可以体现“形”到“数”的转变。在实际应用的过程中，教师应该注重表现树形结合的巧妙运用，充分向学生展示数形结合思想的灵活性以及双向性，这样才能够在学生的应用意识中留有双向性的印象，才能够让学生在日后的学习以及解题过程中，更加灵活的运用相应的思维，而不是一味关注“数”到“形”的转化，将数形结合思想完全局限于一方的转化。在教学过程中，老师可以灵活采用多种案例，实现“数”与“形”的灵活转换，这样可以使学生们明确数形结合的双向性原则，同时可以对数形结合思想及方法形成更加全面的认知，并在解题过程中灵活应用这一方法，这对于引导学生们树立全面完善的思考体系而言具有重要意义。

3.3 简洁性

借助数形结合的方式，我们要培养学生的数学思维与相应的能力，但是同样我们也要关注相应的应用目的。比如数形结合思想在应用的阶段，教师就应该向学生介绍并推广使用目的，引导他们更加快速且高效地完成学习任务。因此，数形结合的应用还应该遵循简洁性原则。如果在应用数形结合思想之后，并没有减轻我们思考上的压力，甚至还给我们的逻辑思维带来混乱的负面影响，那么就没有应用的必要。具体来看，数形结合思想及方法的应用目的在于转变解题思路并提高解答效率，因此老师在教学过程中需要使学生们明确数形结合思想的简洁性原则，这是判断是否使用这一方法的关键，同时也是充分发挥其应用作用的重要目的。在教学过程中，老师可以采取对比教学方法，将使用了数形结合思想的解题方法与常规解题方法对比，使学生们更直观地感受到前者的简洁性优势。

4 总结语

数形结合的方式，在高中的数学学习中是比较常见的，教师可以在日常的教学中渗透这种思想，帮助学生培养相应的思维方式，以及思考能力。让学生在学习的过程中以及练习的过程中多多使用这种思考的方式，能够有效提高学生的数学素养以及学习能力。