金融数学对现代金融市场的影响及应用研究

赵晨希

(加拿大西安大略大学 安大略省伦敦市 N6A3K7)

随着我国经济的快速发展和大数据时代的到来，各行各业的发展都处于迅速上升阶段。金融经济是经济市场的重要组成部分，其不断完善需要金融领域的理论知识。算术在金融中的应用是基于一系列金融或经济假设，使用抽象的数学方法，创建金融运作机制的数学模型。就金融经济而言，金融数学是一项基本内容，是金融经济创新和突破的关键。

1 金融数学的基本概念

不同于金融经济学，金融数学所涉及的领域较为狭隘，理念也比较抽象。在股票市场中，金融经济学家会做的往往是去研究某家企业当前股价的结构性原因，而计量金融学家则会通过运用金融数学理论对当前或历史股价进行一系列数值分析，从而对该企业的股票给出风险评估，抑或是推算出相关衍生品的公平价格。套利、最优与均衡是金融数学的三大基本思想，其核心内容就是研究随机环境下的投资组合、最优选择，以及资产定价理论。

就金融数学的本质而言，它在股票市场上属于金融学的重要分支。金融数学主要研究股票价格波动与股票价格变化之间的相互关系，以及股票价格变化对投资者决策行为的影响等问题，这也是所谓的股票市场的金融数学。所以股票市场金融数学是完全建立在金融理论环境与依据之上的。金融理论是金融市场的重要支撑。我们在处理与金融经济有关的问题时，可以利用数学模型来解决问题。

2 金融数学的理论构成

2.1 投资组合选择

投资组合理论是经济学家马科维茨在1952年提出的，该理论对金融数学的发展具有明显的指导意义。他在论文中进行了详细阐述，证明了单一证券产生的投资风险要高于多种证券产生的风险。他还否定了古典经济学中关于投资者只是追求收益最大化的假设。在投资者希望同时考虑投资理论和投资构成的情况下，与投资组合选择有关的理论可以确保最佳选择方案。

2.2 资本资产定价模型

资本资产定价(CAPM)理论主要是基于投资组合选择的理论。尽管马科维茨提出的理论对收益风险之间的关系进行了阐述和研究，但并不能一概而论，也很难详细解释风险价值的具体来源。针对这种情况，夏普进行了相关研究，并构建了CAPM模型。 CAPM作为基于期望利润均衡的风险资产预测模型，解释了在投资者配置市场均衡的情况下，将马科维茨的投资组合理论中期望收益和风险之间的关系用简单的线性关系转述出来，即资产的Beta与期望收益率之间存在正相关关系，用于衡量资产的风险价值。尽管相关资产定价模型可以模拟金融市场的实际收益结构，但它类似于静态模型，不能结合实际情况灵活变化。因此，我们在遇到动态问题时，需要具体问题具体分析。作为多种客观存在的风险资产均衡价格判决理论、单一指数模型， CAPM不仅成功简化了投资组合选择的计算过程，使投资组合理论向现实世界迈出了重大一步，同时也使证券理论由过去定性考察向定量分析过渡，从规范性转向实证性，进而对证券投机理论和实际操作产生了巨大影响，甚至对金融理论和实践的发展产生影响，成为近年来金融的理论基础。

2.3 B-S期权定价模型

期权定价是金融数学中的一个复杂问题。在长期的研究中得出的结论是：期权的价格与当前和未来的预测密切相关，不会因为投资者的喜好而改变。B-S期权定价模型可以为风险预测提供有效依据，并可用于金融证券的开发和定价。

3 金融数学理论对现代金融市场的影响分析

3.1 鞅理论

大多数情况 下，金融市场中的投资者都在追求机会成本最小化。基于这个条件，鞅理论应运而生。金融数学理论的核心在于研究分析的投资期权与收益均是时间的增函数，通过观察到投资期权曲线与投资收益曲线相切，而切点位置正是投资机会成本最小，也就是最佳投资的时间、阶段。该理论目前主要的作用在于解决金融市场中的产品衍生问题，包括某些产品的价格定位等，确保其更为科学合理，适应市场经济的发展和变化。当下，鞅理论在金融市场中乃至世界经济中都占据极为重要的位置，因此该理论得到全面推广运用。

3.2 子博弈理论

现代金融市场需要结合国家制度和国民经济的发展不断创新。因此，金融理论会随着时代的发展不断顺应市场经济的需求。从核心来看，金融市场不是一成不变的状态，内部市场会呈现出不稳定性。当出现大的变化时，金融市场会受到很大影响，如股票、证券等。同时，金融市场的经济变化更难预测。无论金融理论是金融数学的动态模型还是定价理论，都不能完全适应市场的波动。依据子博弈理论，可以有效把握市场经济。我们可在宏观层面上对金融社会和经济进行假设，利用金融数学的相关假设模型，找出适合市场波动的措施。对市场来说，该理论具有极高的价值和显著的地位。

3.3 最优停止理论

最优停止理论，是概率论的一个支系构成部分，也是近几年出现的一个新理论。但是，这个理论并不是不可或缺的，也没有被广泛使用。之所以造成这类情况，主要是因为中国的相关理论研究还不够深入，所以相关成果较少。企业界无法明确这一理论在哪些方面得到应用，但使用这一理论的可行性显而易见。就发展前景而言，该理论具有广阔的发展前景。

3.4 随机动态模型

就现代金融理论而言，数学对金融领域研究的又一意义在于将差异博弈法运用于期权定价、投资决策等方面，这一领域的运用已获得卓越成果。由于金融市场整体规律与稳态假设之间存在着不一致性，使得证券异常波动时引起异常变化，而这一变化并不遵循布朗运动规律。在这种情况下，随机动态模型就可以被用来研究和分析完整的投资决策。但是，这种方法不论在假设还是在实践上，都有放大的偏差。利用微分法对股票市场中的金融问题和干扰进行非几何学的布朗分配在金融领域有着重要用途。该方法不仅可以有效地放宽这种假设，还可以将不确定的干扰变成不受影响的假象。通过对整个不确定问题的深入分析，组合策略可以获得强大的稳定性。

3.5 随机最优控制理论

随机最优控制是在控制理论的发展中逐渐成长起来的。通过对贝曼原理的相关性进行合并优化，用度量理论和函数分析方法进行随机分析。从随机最优挫制理论的应用来看，金融专家在这一领域的验证非常迅速。20世纪70年代初，有金融领城的研究人员发表了几篇与经济学有关的论文，其中莫顿在文章中阐述了用不间断的时间和组合的方法来讨论时，他们之间的组合分析是与实际情况额外一致的，也因此诞生出脉冲理论；而布洛克和米尔曼在随机变化中，用间断时间的方法对最优经济增长进行讨论。随机最优控制理论不仅在金融市场中发挥着重要作用，还可以针对各类金融交易进行判断，并充分发掘其中的规律性，我国很多专家学者也在致力研究，以促使该理论能够继续突破发展。

3.6 经验信息实证

信息技术的不断发展在一定程度上为金融数学的不断发展创造了良好条件。传统的金融数学可以与小波分析、遗传算法等其他计算方法相互补充、相互融合。通过对理论的实际应用以及数据指标和相关数据模型的构建，得以验证金融市场规律的可行性。随着社会的不断发展，实证方法也得到了更多专家的应用和认可。

金融数学的有效应用可以优化金融结构，促进金融工作的整体效率。金融数学还可对金融发展的具体趋势产生清晰明确的认识，抓住发展机遇，进而通过金融数学为金融事业的不断发展提供有效指导。

4 金融市场的现状

当前，我国经济正处于稳定发展的态势中，经济实力不断增强。改革开放以来，我国逐渐融入全球一体化进程中，对外开放进一步扩大。金融市场也在不断发展进步。金融市场已成为世界经济中一支不可忽视的力量，并给很多国家带来了冲击。不过，对于金融数学来说，我国在20世纪90年代末才真正引进，所以发展时间并不长，甚至与其他发达国家相比存在研究落后的问题，当然，这也代表着金融数学在我国市场中仍然具有较大的发展空间。因此，加强金融数学研究具有深远影响和意义。

5 金融数学中存在的问题

传统金融经济模型，可以分为两类：一类是金融经济的相关运行机制和初始条件确定后产生的决策理论模型，另一类是随机模型。两种模型实际上是相互矛盾的，这也导致了金融领域内不同的学术阵营。一些阵营指出，金融市场以自己的方式运作，并对其进行技术分析。其他阵营则认为，金融市场没有规律性，因此需要进行定量分析。金融数学中存在的问题主要体现在以下几个方面：

(1)金融经济是有变化的，所以要对其模糊性和随机性有一个清晰全面的认识。需要了解具体的变化机制、规律、推导过程和最终结果，同时确定金融市场的变现货币。

(2)在对各国货币相关制度研究分析的基础上，要对全球货币供求和资本流动的具体走向进行综合分析，从而构建货币模型并保证模型的合理性。只有通过对货币模型的研究，才能进一步研究金融市场，并获得有效数据支持。

(3)要对金融市场进行多层次分析，通过整合生产资源，使金融理论成果服务于金融领域。

(4)模型主要建立在假设的基础上。这种情况下，就会出现与实际情况不一致的情况，甚至偏离现实情况之间。造成这种情况的主要原因是，由于每个国家的财政状况有一定的差异，因此很难保证模型构建的准确性，这就需要结合实际情况对模型进行扩充、修改和完善。

(5)金融数学中投资组合风险管理与资产定价理论两大领域均属离散金融市场与定性统计分析之关联模式，只是在时间上具有连续性。因此，在分析工具的升级过程中，更有可能建立连续的时间模型。

6 金融数学在市场层面的创新应用及发展前景

首先，大数据信息时代，利用好数据信息就能掌控市场发展，尤其是信息量庞大的金融市场，更需要对数据强大的收集和整理能力。因此，我们可以基于金融数学建立数据库，从而实时把控金融市场中的数据，定位各类经济活动、金融业务提供支撑，进而为金融数学的不断发展创造良好的条件。

其次，由于金融数学是计算机技术与数学理论的结合，数学模型的应用能够促进金融业务电子化的发展，使民众在金融市场中需要的流程更少、速度更快，同时加强金融业务处理与反馈效率，使操作模式变得简洁高效，提高金融业务的质量和效率。此外，在证券领域的应用中，数学模型的建立还可以模拟市场上的金融动态，从而帮助分析金融发展趋势，评估和预测经济风险。

最后，金融数学在市场层面的创新应用还包括加强对其可持续发展的综合研究。在金融市场的运行中，往往很难找出具体规律，这就是随机性和非线性，特别是在金融市场大幅波动的情况下，随机性会更加明显，这将导致金融市场的信息难以归拢，增加金融数学应用的难度。因此，在金融市场的分析中，我们有必要加强理论应用，促进金融数学的可持续发展。

7 结语

时代在不断发展变化，金融市场也应与时俱进。现代金融市场的发展离不开科学技术的支持，尤其是数学理论和计算机技术结合而成的金融数学，在处理经济领域的问题时，必须重视信息技术的应用，对数据进行有效计算和整合。金融数学在金融市场的应用满足时代发展的具体需要，结合大数据构建数学模型从而有效预防各项风险，促进提高金融业务处理质量和效率，为金融市场的不断发展提供充分的理论依据，从而促进金融市场更好地发展。