从“纸上数学”到“指上数学”——浅析小学数学几何概念“非纸笔”练习的设计与实施

◎丁新颜 （南昌师范学院）

在小学数学课堂教学中，概念教学是重要的组成部分，概念的理解是学生应用能力和逻辑思维养成的基础。本文重点就如何提升学生的空间想象能力进行研究，提出了一些方法，仅供参考。

一、现状分析

“小学生空间想象能力普遍比较弱”这是教学几何概念时数学老师普遍遇到的现实问题。究其原因，笔者发现在教学中存在以下问题；

几何概念学习方式单一。很多教师在教学几何概念时强调公式的记忆和背诵，不注重公式的推导，不重视图形之间的转化，学生的学习方式只是单一的看、听，而缺乏动手操作、验证感悟，致使学生对几何概念理解浮于浅表层，没有从中获得丰富的发展。

几何概念练习形式单一。练习基本上是教材上的，或者是在配套习题册中通过笔头在纸上完成的题目。一般新课学习了什么知识，做的练习就是笔头解决相应的问题，学生缺乏直观体验，空间观念和思维能力很难得到提升。

几何概念与实际生活问题的连接点单一。当学生学习了一定的几何知识，教师请学生解决的是书本上的练习题。然而，书本中呈现的实际问题涉及面很窄，真正生活中，孩子缺乏用数学知识解决实际问题的经历，甚至有学生误以为数学学习的目的就是为了做题考试。

这些问题的存在，导致几何概念教学中教师的教和学生的学常常处于“纸上谈兵”的状态，无法很好地达成几何教学的主要目标——积累几何活动经验，发展空间观念，感知几何推理的魅力，体会几何的美。

二、研究意义及方法

瑞士著名学者皮亚杰曾说，空间观念的形成不像拍照，儿童要想建立空间观念，必须有动手做的过程。然而由于教材受呈现形式的制约，出现的练习基本以纸笔练习为主，动手操作类的练习非常少，因此小学数学几何概念的“非纸笔”练习的开发迫在眉睫。

1.梳理小学数学几何概念，厘清几何概念间的关系

为了帮助学生获得理解几何概念的路径，丰富直观体验，积累一定的经验。首先要对于整个小学阶段的几何概念教学进行梳理，厘清知识之间、研究方法之间的关系，便于设计结合教学内容、遵循课程标准的非纸笔练习。下面是人教版12册教材中几何教学内容的梳理。

一年级上册1.认识图形（一）立体图形 一年级下册1.认识图形（二）平面图形的认识、平面图形与立体图形的关系二年级上册1.角的初步认识2.观察物体（一）二年级下册1.图形的运动（一）；轴对称图形、平移现象、旋转现象2.活动课；通过平移、旋转设计图案三年级上册1.长方形和正方形；四边形的认识、周长的认识、长方形和正方形的周长三年级下册1.面积；面积和面积单位、长方形、正方形的面积计算、面积单位间的进率四年级上册1.角的度量2.平行四边形和梯形；平行与垂直、平行四边形和梯形3.实践活动；神奇的莫比乌斯带四年级下册1.观察物体（二）2.三角形；三角形的特征、分类、三角形和四边形的内角3.图形的运动（二）轴对称、平移五年级上册1.多边形的面积；平行四边形、三角形、梯形的面积；组合图形的面积，不规则图形的面积五年级下册1.观察物体（三）2.长方体和正方体；长方体和正方体的认识、表面积、体积单位间的进率、容积和容积单位3.图形的运动（三）平移4.探索图形；立体图形的涂色问题

续表

从上表可以看出，小学阶段，学生是从最常见的立体图形开始接触几何概念，由“体”到“面”，由静止到运动，其中还贯穿各类图形间的转换与应用等，几何概念知识之间是层层深入、环环相扣、螺旋上升的。

2.设计几何概念中的“非纸笔”练习，实施几何概念的深度教学

“儿童的智慧在他们的手指尖上”，新课程理念下，动手实践、自主探究、合作交流等数学学习活动已经成为学生学习数学的重要方式。在几何概念教学中设计“非纸笔”练习，有利于实施几何概念的深度教学。“非纸笔”练习有别于一般的纸笔练习，它是以动手操作的形式对知识进行探究、巩固和应用。学生是要在观测、摆拼、画图、制作、实验、社会实践等多种操作活动中，逐渐形成、理解鲜活的几何概念，并在活动中慢慢体会几何的基本知识所蕴含的多种数学思想；演绎化归思想、转化思想、几何变换思想、数形结合思想、分类辨别思想等。

三、研究“非纸笔”练习在不同课程类型中的实施

1. 在新授课中增加直观体验，帮助概念理解

在几何概念的新授课中，孩子能否清晰地建立概念，对于以后的学习至关重要。在这样的“种子”课中，如果能设计一个层次分明的操作活动，一方面让不同基础的学生在活动中都有不同层次的收获和提升，另一方面使学生对概念的理解在层层递进的操作实践中逐渐加深。

案例1：角的初步认识

活动要求及成果：

（1）在用规则图形中找出角或折出角。

（2）用不规则图形折出角。

（3）用小棒拼出一个角。

（4）制作一个活动角。

对于二年级的学生来说，角的概念比较抽象，学生接受起来比较困难。为了帮助学生更好地理解角的概念，笔者设计了四个阶梯式操作练习；分别在用规则、不规则的纸折出一个角，帮助孩子理解图形之间的转化和内在的联系；用小棒搭一个角，进一步体会，角有一个顶点和两条直直的边；通过制作一个活动角，加深角的大小与边的张合有关，而与边的长短无关。通过四次创造角的活动，将观察、操作、演示、讨论等方法贯穿于其中，引导学生在感知的基础上加以抽象概括，充分遵循了从感知经表象到概念这一认知规律，让学生在大量的实践活动中掌握知识，形成能力。把外在可见和内在不可见的“角”深深地印在大脑里面。

2.在练习课中动手操作，以动促思

七巧板是古老的中国传统益智玩具，好处与用处多不胜数，它能够把对实物与形态之间的桥梁连接起来，在培养孩子的观察力、想象力、形状分析及创意逻辑上都有巨大的发展空间。一年级下册《认识图形》（二）这个单元中，学生在认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形等平面图形后，在练习课中要给足学生操作活动的时间，用七巧板摆拼图形，以活动促进学生思维。

案例2：平面图形的拼组

活动要求及成果：

（1）用七巧板中部分图形，拼出认识的平面图形。

（2）用七巧板，拼自己喜欢的图形并给它命名。

（3）用七巧板的七块板，拼指定的平面图形。

学生在用七巧板中部分图形拼出不同大小、不同形状的三角形时，学生的观察力和记忆力被充分调动起来；在用七巧板拼出自己喜欢图形并对其命名的练习时，学生的兴趣被调动起来了，他们的空间想象力和创造力，随着板块的摆放被激发出来；在完成指定图形拼摆的过程中，学生进一步巩固了平面几何图形的特征，体会图形之间的变换思想，发展了空间观念。

3.在综合与实践课中感受数学奥秘，拓展数学视野

教材中的综合与实践课与普通的数学课相比，动手操作性的活动更为丰富，它是在已有知识体验的基础上，主动应用知识解决问题的学习活动，因此更具有综合性、实践性、开放性和自主性。《神奇的莫比乌斯带》是人教版教材四年级上册的一节综合与实践活动课，这个内容教学参考几乎没有，教学建议也比较简略，只是对莫比乌斯带的用途做了简单的介绍。莫比乌斯带属于拓扑学的内容，教材以数学游戏的形式，创设了一系列操作实践活动，鼓励学生在活动中观察、猜想、比较、验证、思考、发现，从中体会到数学的魅力与神奇，开阔学生数学思维。

案例3：神奇的莫比乌斯带

活动要求及成果：

（1）先把一个长方形纸带变成有两个面、两条边的图形，再把一个长方形纸带变成只有一个面、一条边的图形。

（2）沿着莫比乌斯带的二分之一处剪开并观察它的变化与特征。

（3）沿着莫比乌斯带的三分之一处剪开并观察它的变化与特征。

（4）沿着莫比乌斯带的四分之一处剪开并观察它的变化与特征，猜想沿五分之一剪开后的变化，并找出规律。

研究单

为了让学生体悟到莫比乌斯带的神奇，本节活动课设定了三个学习目标；一是动手操作，经历探索和认识莫比乌斯带的过程，积累活动经验；二是在猜想、验证中体会莫比乌斯带的特征；三是在活动中感受经历猜想与探索的过程，感受莫比乌斯带的神奇变化，感受数学奥秘，拓展数学视野。

四、几何概念教学中设计“非纸笔”练习的思考

虽然数学实践作业在小学阶段目前只是弹性要求，没有制定持续实施的计划，对怎样才能达到提升学生几何思维能力、系统开展几何概念实践作业还缺乏更为科学、系统的规划。然而在教育发展的新时代，基于当前对双减政策以及对新课标的解读、贯彻和实际教学的需求，结合几何教学的内容，需要为学生设计开发更多的具有趣味性、综合性和开放性的“非纸笔”练习。在几何概念教学设计“非纸化”练习的过程中，有以下几点思考；

1.非纸笔练习要有连续性，实现常态化

几何概念教学中，“非纸笔”练习的设计要根据教材的编排，遵循各年级、各单元的课程目标，结合课时安排，在内容上固定，方法上年级协同，形成系列的非纸笔练习。让教师在教学中能清晰的安排每个学期“非纸笔”练习。

2.非纸笔练习要规范活动方案，深化课堂教学

教师需要对于“非纸笔”化练习的设计进行课堂教学的研讨，通过研讨，对“非纸笔”化练习的设计的目标、内容、形式进行探究，在不断的探究中积累经验，形成比较完善的设计方案。在教学中开展非纸笔练习，教师按照活动意图、材料准备、实施步骤、效果反思等几个具体步骤来实施。只有经历尝试、反思、调整、再尝试、再反思、再调整的过程，才能实现深化概念教学。

3.非纸笔练习要贴合生活实际，实现学以致用

学生学习的几何知识，绝不仅仅是为了解答书本上的练习题，而是要利用所学的知识解决一些生活中的问题，学以致用。教师根据各年级的目标，设计在生活中运用的练习，让学生感受数学和生活是紧密联系的，数学学习是充满乐趣的。例如，在学习了长方体和正方体的表面积之后，我们专门研究包装问题。如对4个同样长方体盒子进行包装，有几种方法？怎样包装最节省包装纸？学生在自行研究后交流；同样是4个长方体盒子，为什么最节省的不是同一种叠法呢？这些叠好盒子的表面积与叠好后的长、宽、高有着怎样联系？

在研究完这个问题后，学生就会把书本上的长方体表面积问题与生活中的包装问题联系在一起了，去关注生活中的包装除了关注美观、方便外，还要考虑包装纸即表面积的节省问题等。

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，获取知识非要真切的体验不可，只有让学生在亲身实践中去体验所学的知识，才能达到“活学活用”的效果。通过“非纸笔”练习的设计与实施，不仅让学生对几何概念新题型的适应性大大增强，而且发展学生的数学能力，提高了核心素养。这种富有现实性、有意义的练习形式，对培养孩子的探索精神、实践能力以及孩子的个性发展都是很有益处的，这样的尝试给学生了一片崭新、辽阔的发展空间，放飞学生的想象力，也激发学生的潜能。※