Alford力和中介轴承对双转子系统动力学特性的影响

郑华林， 金洹冰， 王小虎， 李炎军

(1. 西南石油大学 机电工程学院，成都 610500； 2. 中国航发四川燃气涡轮研究院，成都 610500)

转子系统是旋转机械的核心，在各个领域都有着广泛的应用，例如在现代航空发动机中，为了提高推重比，减少整机质量，往往会使用双转子系统。在双转子系统中，高压转子与低压转子通过中介轴承连接。由于中介轴承的存在，整个双转子系统振动耦合非常强烈。中介轴承内外圈同时旋转，润滑条件较差，极易发生故障[1-3]。因此，对双转子-中介轴承系统的动力学特性进行研究具有重要意义。

使用轴流式压气机的航空发动机，由于制造或装配的误差，叶轮和机匣之间会存在一定的径向偏离，会使压气机叶尖间隙沿周向分布不均匀，在转子旋转时，会导致叶片上的气动力不等，叶片的气动力除了会合成一个扭矩外，还会合成一个作用于轴心的横向力[4-6]。1958年，德国的Thomas[7]在对气体透平的不稳定性研究中第一次提出：存在偏心的涡轮在旋转时会产生一个垂直于偏心方向的力，将其称为间隙激励力。1965年，美国的Alford[8]进一步揭示了间隙激励力产生的机理，后面习惯将其称为Alford力。后来的学者对Alford力进行了许多研究。Kim等[9]将细长轴采用Euler-Bernoulli梁理论建模后与风机模型耦合，研究表明Alford力会导致结构不稳定。白长青等[10]研究了Alford力和滚动轴承对轴流压缩机转子系统动力学特性和稳定性的影响，研究表明超过临界转速，Alford力对转子系统的稳定性影响会更大。成玫等[11]研究了滚动轴承和转子Alford力的影响后，发现滚动轴承间隙对系统稳定性影响较大。王小虎等[12]研究了磁悬浮轴承和Alford力的影响，建立了系统的有限元模型，结果表明，在非线性Alford力和磁轴承电磁力共同作用下，转子系统表现出了较复杂的动力学特征。上述研究结果表明，Alford力对转子系统的稳定性有很大的影响。在航空发动机双转子系统中，由于存在中介轴承力，再加上转子运动时产生的Alford力，使得整个系统运动极为复杂。目前关于Alford力对双转子系统动力学特性影响的研究较少，因此，为了解航空发动机双转子系统在实际运行过程中的情况，研究中介轴承力和Alford力共同作用下双转子系统的动力学特性非常有必要。

以航空发动机典型双转子系统为研究对象，考虑中介轴承非线性接触力，考虑压气机盘上的Alford力，采用Euler-Bernoulli梁理论建立了双转子系统的动力学模型，利用有限单元法和Newmark-β法求解出系统的响应，结合频谱图、轴心轨迹图、庞加莱截面图对系统进行分析。

1 系统建模

1.1 双转子系统建模

所研究的双转子系统结构简图[13]如图1所示，将系统离散为若干轴段、刚性圆盘以及支承单元。轴段采用Euler-Bernoulli梁理论进行建模；圆盘考虑为刚性体；每个节点有4个自由度，包括2个平动和2个转动，该模型8个节点共有32个自由度；支承轴承等效为弹簧阻尼结构。

图1 双转子系统简化模型Fig.1 Simplified model of dual-rotor system

圆盘的广义坐标就是其轴心节点的位移向量，包括沿x轴的平动和转动，以及沿y轴的平动和转动，其节点的质量矩阵Md和陀螺矩阵Gd可表示为

(1)

(2)

式中：m为圆盘的质量；Jd为圆盘过轴心的直径转动惯量；Jp为圆盘过轴心的极转动惯量；在陀螺矩阵中，ω为转速，对于本文所研究的双转子系统，在计算时需要分别代入高压转子转速ωH和低压转子转速ωL。

对于弹性轴段单元，其广义坐标是两端节点的位移向量,其节点的移动惯性矩阵MT、转动惯性矩阵MR、陀螺矩阵Gb、刚度矩阵Kb[14]均可分别表示为

(3)

(4)

(5)

(6)

节点的质量矩阵为移动惯性矩阵与转动惯性矩阵之和，即

Mb=MT+MR

(7)

式中：ρ为轴段密度；A为轴段横截面积；l为轴段长度；R和r分别为轴段内外半径；E为弹性模量；I为截面惯性矩；在陀螺矩阵中，ω为转速，对于本文所研究的双转子系统，在计算时需要分别代入高压转子转速ωH和低压转子转速ωL。

将低压轴段的单元矩阵与低压轴上圆盘的单元矩阵按照自由度相对应的原则进行组装，即可得到低压轴的质量矩阵、刚度矩阵和陀螺矩阵。同理可以得到高压轴的质量矩阵、刚度矩阵和陀螺矩阵。

在图1所示静坐标系XYZ下，低压轴的运动方程可以表示为

(8)

式中：ML为低压轴质量矩阵；CL为低压轴阻尼矩阵，以瑞利阻尼的形式引入；GL为低压轴陀螺矩阵；KL为低压轴刚度矩阵；u1L和u2L分别为低压轴x自由度和y自由度的位移向量；F1L和F2L为低压轴广义力向量。

同理，高压轴的运动方程可以表示为

(9)

式中：MH为高压轴质量矩阵；CH为高压轴阻尼矩阵，以瑞利阻尼的形式引入；GH为高压轴陀螺矩阵；KH为高压轴刚度矩阵；u1H和u2H分别为高压轴x自由度和y自由度的位移向量；F1H和F2H为高压轴广义力向量。

联立式(8)和式(9)，可以得到运动方程的矩阵形式。将与机匣相连的3个支承轴承刚度和阻尼加入到系统中。按照等刚度弹性支承[15]将刚度系数加入系统刚度矩阵相应自由度，对于支承轴承的阻尼系数也可以按照刚度系数叠加的方法叠加到系统阻尼矩阵中。

由此可以得到系统的运动学方程为

(10)

式中：M为整个系统的惯性矩阵(含轮盘转动惯量)；C为系统阻尼矩阵；G为陀螺矩阵(含轮盘)；K为系统刚度矩阵；u为广义坐标向量；F为转子系统的广义力向量。

1.2 中介轴承力建模

在如图2所示简化中介轴承动力学模型中[16]：ωo，ωi分别为中介轴承外圈转速和内圈转速；θj为第j个滚子在任意时刻的瞬时角位置。

图2 中介轴承简化模型Fig.2 Simplified model of inter-shaft bearing

假设滚子在内外圈之间作纯滚动，保持架的转速可以表示为

(11)

任意时刻，第j个滚子的瞬时角位置可以表示为

(12)

式中:θ0为第1个滚子相对于x轴的初始夹角；Nb为滚子个数。

假设系统发生小变形，第j个滚子与中介轴承内外圈接触时总的变形量为

δj=(xi-xo)cosθj+(yi-yo)sinθj-δ0

(13)

式中：xi，xo，yi，yo分别为中介轴承内圈在x方向的位移分量、外圈在x方向的位移分量、内圈在y方向的位移分量、外圈在y方向的位移分量；δ0为轴承的径向游隙。

根据赫兹接触理论[17]，非线性接触力可以表示为

(14)

因此，每个滚子在x方向和y方向上Hertz接触力的投影之和，即为中介轴承总体的Hertz接触力在x方向和y方向上的分量，可以表示为

(15)

1.3 Alford力建模

航空发动机转子受重力产生静态变形，运行过程中受不平衡力等动态激励力而产生径向振动，静态变形和径向振动会使叶轮在径向产生偏心。叶轮偏心会导致周向叶尖间隙不等，叶片上圆周方向的力不仅会合成一个扭矩，还会产生一个作用于轴心的横向力，这一横向力就被称为Alford力，如图3中FA。

图3 Alford力模型Fig.3 The model of Alford force

Thomas和Alford两人均提出了Alford力的计算公式，Thomas建立的公式中dξ/dδ难以确定，Alford建立的公式效率系数β会随着不同的叶轮结构而发生改变，不是一个固定的值，因此Thomas和Alford两人建立的Alford力的计算公式只适用于定性分析。柴山等[18]从流体力学出发，对原始Alford力计算表达式进行了改进，得到新的Alford力公式，表示为

(16)

得到Alford力后，转子坐标系nO′t与XOY不重合，因此可以将FA在x方向和y进行分解，就可以得到Alford力在x方向和y方向的分量。

2 仿真结果与分析

该模型有8个节点，共32个自由度，采用Newmark-β法对该系统的32维动力学方程进行求解，时间步长为1×10-5s。不平衡力分别施加在高压和低压涡轮盘对应节点上，其中高压不平衡量和低压不平衡量分别为0.5 μm和1.0 μm；中介轴承力施加在中介轴承对应节点上；Alford力施加在低压压气盘对应节点上；整个系统都受到了重力的作用，因此在每个节点的x自由度上以加速度的形式施加重力；高低压转子转速比λ=1.2。双转子系统参数如表1所示。

表1 双转子系统参数Tab.1 Model parameters of the dual-rotor system

中介轴承模型参数

ro=15 mm,ri=10 mm,Nb=8,Kb=3×109N/m10/9。

Alford力模型参数

2.1 Alford力对系统的影响

利用本文模型和计算方法，通过计算系统的升速响应，获得了双转子系统在不同工况下的临界转速列于表2和表3中。从表2可以看出，不考虑Alford力时，内转子同步涡动引起的一阶临界转速为122 rad/s，二阶临界转速为145 rad/s，外转子同步涡动引起的一阶临界转速为84 rad/s，二阶临界转速为97 rad/s；从表3可以看出，考虑Alford力时，内转子同步涡动引起的一阶临界转速为132 rad/s，二阶临界转速为192 rad/s，外转子同步涡动引起的一阶临界转速为91 rad/s，二阶临界转速为131 rad/s。对比表2和表3可以发现，Alford力的引入会导致内转子同步涡动和外转子同步涡动引起的临界转速均有所提高。

表2 无Alford力时的临界转速Tab.2 Critical speed without Alford force 单位：rad/s

表3 有Alford力时的临界转速Tab.3 Critical speed with Alford force 单位：rad/s

图4和图5分别绘制了有无Alford力的振动响应。频谱图中，fl，fh，fvc分别为低压转子转频、高压转子转频和中介轴承滚子通过频率。对比图4(a)和图5(a)，不考虑Alford力时，频谱图中出现低压转子转频以及中介轴承滚子通过频率，庞加莱截面图为封闭的心形，系统作拟周期运动；考虑Alford力时，除出现上述频率外，还出现了更多的中介轴承特征频率以及一系列的连续频率，庞加莱截面为一个封闭的图形，系统作拟周期运动。对比图4(b)和图5(b)，不考虑Alford力时，频谱图中高低压转子转频非常明显，庞加莱截面为5个孤立的点，系统作五周期运动；考虑Alford力时，频谱图中不仅出现了高低压转子转频，还出现了中介轴承特征频率以及中介轴承特征频率和转子转频的组合频率，庞加莱截面为封闭的图形，系统作拟周期运动。对比图4(c)和图5(c)，不考虑Alford力时，频谱图中同样也是高低压转子转频很明显，庞加莱截面为2个封闭图形，系统作拟周期运动；考虑Alford力时，频谱图中还出现了中介轴承特征频率、组合频率以及连续频率，庞加莱截面为一片云状图，系统作混沌运动。

图4 无Alford力时的振动响应Fig.4 Vibration response without Alford force

图5 有Alford力时的振动响应Fig.5 Vibration response with Alford force

综上所述，Alford力会导致系统动力学行为发生改变，系统会从周期运动进入拟周期运动，甚至会进入混沌。Alford力极易激发中介轴承力的非线性特性，导致系统的运动更加复杂。从频谱图的对比可以看出，Alford力引入系统后，会以组合频率和连续频率的形式影响系统的运动。同时，对比有无Alford力的频谱幅值可以发现，Alford力的引入反而会使振动的幅值减小，原因可能是作用于横向的Alford力对横向振动有抑制作用，从而振幅会减小。从图4和图5可以看出，不同转速和中介轴承游隙下，Alford力对系统的作用效果也不尽相同，2.2节和2.3节将详细分析不同转速和游隙下的振动特性。

由上述研究可知，Alford力极易激发中介轴承力的非线性特性，为探究其原因，从计算结果中提取了中介轴承力计算时的主要参数，即滚子变形量，从中介轴承力建模过程可知，当滚子变形量大于0时滚子才与滚道有接触从而产生接触力。图6绘制了不考虑Alford力和考虑Alford力时某一滚子的变形量曲线，对比两条曲线可以发现，有Alford力时变形量曲线位于无Alford力时变形量曲线的上方，同时可以发现有Alford力时滚子变形量大于0的时间更长，表明滚子与滚道接触时间更长。由此可知，Alford力会通过影响中介轴承滚子与滚道的接触行为来影响中介轴承力。

图6 滚子变形量Fig.6 Roller deformation

2.2 转子转速的影响

转子转速对系统的动力学特性有显著的影响，图7～图9是在中介轴承力和Alford力共同作用下，中介轴承游隙为1 μm，低压转子转速分别为200 rad/s，400 rad/s和600 rad/s情况下进行数值计算的结果。

随着转速升高，轴心轨迹由细长的心形变为长轴沿纵向较为混乱发散的椭圆形，接着变成混乱的花瓣状(见图7(a)、图8(a)、图9(a))；庞加莱截面图由一个封闭的心形变为一个封闭的近似圆形，最后变为一片云状的散点，系统经历了从拟周期到拟周期再到混沌运动的变化(见图7(b)、图8(b)、图9(b))。

图7 ωL=200 rad/s时的振动响应Fig.7 Vibration response at ωL=200 rad/s

图8 ωL=400 rad/s时的振动响应Fig.8 Vibration response at ωL=400 rad/s

图9 ωL=600 rad/s时的振动响应Fig.9 Vibration response at ωL=600 rad/s

2.3 中介轴承游隙的影响

在实际运动过程中，中介轴承会产生磨损导致游隙变化，游隙的存在会使系统产生很强的非线性，研究中介轴承游隙的影响有非常重要的意义。图10～图12是在中介轴承力和Alford力共同作用下，低压转子转速为1 400 rad/s，中介轴承游隙δ0分别为1 μm，2 μm，5 μm时进行数值计算的结果。

图10 δ0=1 μm时的振动响应Fig.10 Clearance is δ0=1 μm

图11 δ0=2 μm时的振动响应Fig.11 Clearance is δ0=2 μm

图12 δ0=5 μm时的振动响应Fig.12 Clearance is δ0=5 μm

随着游隙的增大，轴心轨迹由环环相套的圆形变为轨迹交错混乱的近似三角形，接着轨迹变得杂乱无章(见图10(a)、图11(a)、图12(a))；庞加莱截面由5个点变为一个封闭的圆，最后变成一片散点，系统经历了从周期运动到拟周期运动再到混沌运动的变化(见图10(b)、图11(b)、图12(b))；当中介轴承游隙为1 μm时(见图10(c))，频谱中高压和低压转子转速对应频率比较明显；当游隙增加到2 μm时(见图11(c))，频谱图中除了高压和低压转子转速对应频率外，还有部分连续的频率成分，说明此时Alford力对系统产生了一定的影响；当游隙继续增加到5 μm时(见图12(c))，频谱图中出现了大量的连续杂乱的频率成分，Alford力的作用效果更加明显。

3 结 论

本文对在中介轴承力和Alford力共同作用下的双转子系统进行动力学建模，得到系统的动力学方程后，采用Newmark-β法进行数值求解，对系统响应进行分析，得到的具体结论如下：

(1) 引入Alford力后，系统的一阶、二阶临界转速提高，中介轴承的特征频率极易被激发，Alford力会使中介轴承滚子变形量更大，与滚道接触时间更长，从而影响中介轴承力，同时由于Alford力的非线性，系统动力学特性会更加复杂，但系统的振幅反而会减小。

(2) 研究转速对系统运动的影响，发现随着转速的增加，中介轴承力的作用效果逐渐减小，而Alford力的作用效果逐渐增加，系统的振幅也会随转速增加而变大。

(3) 研究游隙对系统运动的影响，发现游隙的增大会直接引起Alford力的增加，导致系统的不稳定性增强，甚至会导致系统失稳。

因此，双转子航空发动机中，中介轴承特性和气流激励力共同作用，会极大地改变转子系统的动力学特性，在设计时应考虑此现象。