基于鲁棒精确微分器的分数阶滑模制导律设计

陆浩然, 郑 伟, 常晓华

(1. 国防科技大学空天科学学院, 湖南 长沙 410073; 2. 北京宇航系统工程研究所, 北京 100076)

0 引 言

制导律是影响导弹制导精度的关键因素之一,导弹根据实时获取的制导信息,通过制导律生成制导指令,导引导弹飞向目标,制导律的性能一定程度上决定了导弹对目标的毁伤效果。

比例导引及其变形形式是目前研究与应用最为广泛的制导律[1-3]。但由于日益增强的目标机动能力,日益复杂的战场干扰环境,以及对制导性能的更高追求,以比例导引为代表的经典制导律越来越难以满足作战需求。

为了提高制导律的鲁棒性,或满足落角等一系列终端约束,现代控制方法越来越多地被应用于制导问题的研究,形成了现代制导律的研究分支。常见的现代制导律主要有最优制导律[3-5]、微分对策制导律[6-7]、滑模制导律等。最优制导律通常采用线性二次型状态调节器设计,可在约束终端视线角的同时实现性能指标最优(如能量最优)。微分对策制导律是一种博弈制导律,其认为目标以“最优策略”机动,其实质是解决双边最优的问题。然而，最优制导律与微分对策制导律均需要精确获得大量信息,否则其最优性难以保证,且鲁棒性较差,难以获得实际工程应用。

滑模制导律具有对扰动的鲁棒性以及快速动态响应特性,是近年来的热点研究问题。特别地，滑模面跟踪误差有限时间收敛的终端滑模制导律,更是学者研究的重点。Zhang等[8]基于终端滑模面推导了有限时间收敛的制导律,使制导律具有较高的实用意义。Song等[9]基于非奇异快速终端滑模控制和自适应控制理论,提出了带有终端角度约束的自适应非奇异快速终端滑模制导方法。Kumar等[10]设计了有限时间收敛的非奇异终端滑模制导律,在保证制导精度的同时可以满足碰撞角约束。Hu等[11]提出了一种带有碰撞时间约束的终端滑模制导律。Zhao等[12]考虑二阶自动驾驶仪特性,提出了一种反馈连续终端滑模制导方法,该制导方法可以保证控制动作的连续性。杨芳等[13]基于改进的超螺旋算法,提出了一种非奇异快速终端滑模制导律,并采用参数自适应方法补偿未知干扰。Zhou等[14]提出了一种改进的非奇异快速终端滑模制导方法,该方法采用了一种双幂次趋近律,提升了制导律的全局收敛性,并设计了扩张状态观测器以进行目标机动补偿。

滑模制导律的一个主要缺点是由于系统延迟与惯性的存在,可能会导致出现抖振现象,为工程实现带来了困难。因此,如何减弱或消除滑模抖振,一直是滑模控制研究的重点。常用的消除滑模抖振的方法有边界层法[15]、高阶滑模[16]法、智能控制[17]法、观测器法[18]等。分数阶滑模控制是近年来研究的一个热门方向,由于分数阶微积分独特的“记忆性”,分数阶滑模控制可以有效提升系统的控制性能,这为抑制滑模抖振提供了新思路。Zhang等[19]从收敛率的角度分析了分数阶线性滑模面减弱抖振的原理。Golestani等[20]设计了分数阶终端滑模制导律,但并未对其收敛性进行证明。刘清楷等[21]设计了三维分数阶滑模制导律,采用自适应趋近律避免在靠近滑模面时产生较大抖振,但其设计的制导律并非有限时间收敛的制导律。周慧波[22]利用分数阶微积分理论,设计了分数阶滑模制导律,并分析了分数阶线性滑模制导律在稳定域和制导性能方面的优势。目前，对于分数阶滑模制导律的研究成果较少,值得开展进一步研究。

本文针对带有碰撞角度约束的大机动目标拦截问题开展了研究，建立了二维平面内导弹与目标的相对运动模型,基于分数阶滑模控制理论设计了分数阶双幂次滑模面,在此基础上设计了有限时间收敛的分数阶终端滑模制导律,并基于Lyapunov理论证明了其稳定性。分数阶双幂次滑模面的引入可使本文设计的制导律相比于现有分数阶滑模制导律具有更快的收敛速度。同时，为了提高制导律拦截强机动目标的制导性能,提出了一种基于鲁棒精确微分器的目标机动加速度估计方法,以实现对目标机动的观测补偿。最后，通过与相关制导律的对比仿真,验证了本文设计的制导方法具有良好的动态特性和制导性能。

1 分数阶微积分简介

1.1 分数阶微积分算子

分数阶微积分将微分和积分两种运算进行了结合,并通过统一的分数阶算子表示[23]:

(1)

式中:t0和t分别为分数阶微积分的下限和上限;α为分数阶微积分的阶次,可取为任意的实数或复数;Re(·)代表实部。在本文的研究过程中,限定阶次α为实数。从其定义式(1)可以看出,当α>0时,分数阶微积分算子表示微分;当α<0时,分数阶微积分算子表示积分。

1.2 分数阶微积分定义

对于分数阶微积分的定义,目前被广泛接受的有3种:Riemann-Liouville(RL)定义、Grunwald-Letnikov(GL)定义和Caputo(C)定义。下面分别对3种分数阶微积分定义进行介绍[24-25]:

定义 1RL型分数阶微积分的形式为

(2)

定义 2GL型分数阶微积分的形式为：

(3)

(4)

定义 3C型分数阶微积分的形式为

(5)

式中:m的取值方式与RL型相同。

由上述分数阶微积分定义可知,分数阶微积分在计算时要用到所有的历史数据,即其具有“记忆性”。将其引入滑模设计中,由于其“记忆性”的作用,当系统状态远离滑模面时，收敛速度大;当系统状态靠近滑模面时，收敛速度较小,可以使滑模面更平滑地收敛,达到减小抖振的效果。

1.3 分数阶微积分的性质

分数阶微积分具有以下性质[24-25]:

(1) 交换律

Dα(Dβf(t))=Dβ(Dαf(t))

(6)

值得注意的是,“先积分再微分”与“先微分再积分”的计算结果并不是相同的,当α>0时,有

(7)

(8)

因此,对于同时存在分数阶积分和微分的情况,不能随意地使用交换律。

(2) 结合律

Dα(Dβf(t))=Dα+βf(t)

(9)

Dα(D-βf(t))=Dα-βf(t),α>0;β>0

(10)

(3) 线性性质

Dα(λf(t)+μg(t))=λDαf(t)+μDαg(t)

(11)

2 相对运动建模

图1 弹目相对运动几何关系示意图Fig.1 Geometric relationship illustration of relative motion between missile and target

弹目相对运动关系可表示为

(12)

(13)

(14)

(15)

对式(12)和式(13)求导,可得

(16)

(17)

式中:ur和uq分别为导弹在视线方向和视线法向的加速度;wr和wq分别为目标在视线方向和视线法向的加速度。其表达式为

wr=aTsin(q-θT)

(18)

ur=aMsin(q-θM)

(19)

wq=aTcos(q-θT)

(20)

uq=aMcos(q-θM)

(21)

通常而言，导弹无法对相对速度进行有效控制,因此制导问题只关注弹目视线角的变化,式(17)即为制导问题研究的弹目相对运动模型。

3 基于鲁棒精确微分器的目标机动估计

对于目标机动加速度较小的情况,依靠滑模制导律的鲁棒性即可对其进行克服。然而对于强机动目标,单纯依赖滑模鲁棒性会造成剧烈抖振,此时需要采用一定的手段进行目标机动估计补偿。在目标机动估计方法中,观测器方法由于具备结构简单、无需建立目标机动模型等优点,受到了广泛应用。本文基于鲁棒精确微分器估计目标机动状态。

(22)

文献[27]设计了n-1阶鲁棒精确微分器:

(23)

(24)

式中:δ是一个大于0的小量;Tu为任意大于0的切换时间。

文献[26]已证明,只要鲁棒精确微分器的增益系数ki使得矩阵

是赫尔维茨的,则鲁棒精确微分器是稳定的,且在固定时间内收敛。

Yn=τXn+(1-τ)Yn-1

(25)

式中:Xn为第n次采样时的滤波器输入;Yn为第n次采样时的滤波器输出;τ为滤波器时间常数。

图2 目标加速度估计流程图Fig.2 Diagram of target acceleration estimation process

4 分数阶终端滑模制导律

4.1 制导律设计

(26)

选取分数阶滑模面为

(27)

式中:0<α<1;k1>0;k2>0;p1,q1为正奇数,且q1

选择分数阶趋近律：

D1-α(S)=-k3Sq2/pp2-k4Sp2/q2-k5sign(S)

(28)

式中:k3>0；k4>0；k5>0；p2,q2为正奇数,且q2

设计滑模制导律：

(29)

式中:目标机动加速度wq可通过第3节设计的目标机动估计方法得到。

4.2 稳定性证明

选取Lyapunov函数:

(30)

对式(30)求导得

(31)

根据文献[27],当-1<α<1时,有

sign(Dα(sign(S)))=sign(S)

根据式(31),易得

sign(S)[sign(-k3|S|q2/p2)sign(S)+sign(-k4|S|p2/q2)sign(S)+sign(-k5)sign(S)]=

[sign(-k3|S|q2/p2)+sign(-k4|S|p2/q2)+sign(-k5)][sign(S)]2<0

(32)

由式(28)可知

-k3Dα(Sq2/p2)-k4Dα(Sp2/q2)

(33)

由RL型分数阶微积分的定义可得

(34)

式中:t0为初始时刻,tr表示滑模面收敛时刻,有tr≥t0,则有0<(t-τ)α≤(tr-t0)α。

因此,有

(35)

同理,

(36)

因此,有

(37)

又因为S(tr)=0,对式(37)两边同时积分可得

(38)

由于滑模面S在区间[t0,tr]上连续,由积分中值定理可知,存在ξ1,ξ2∈[t0,tr]使得

(39)

(40)

因此有

(41)

有

(42)

因此有

(43)

综上所述,系统状态可在有限时间收敛到滑模面上。

当系统状态收敛到滑模面之后,根据式(27)有

(44)

对式(44)同时进行分数阶积分,得

-k1D-α(x1q1/p1)-k2D-α(x1p1/q1)

(45)

由于0<α<1,根据分数阶微积分的定义可知

(46)

因此,式(45)变为

(47)

由RL型分数阶微积分的定义可得

(48)

(49)

因此,式(47)变为

(50)

以tf表示状态变量收敛到0的时刻,即x1(tf)=0。对式(50)求积分,得

(51)

由于0<(t-τ)1-α≤(tf-tr)1-α,式(51)可写为

(52)

由于滑模面S在区间[tr,tf]上连续,由积分中值定理可知,存在ξ3,ξ4∈[tr,tf]使得

(53)

由式(53)可得

(54)

由式(54)可知,状态变量可在有限时间内收敛到0。至此,本文所提制导律的稳定性及有限时间收敛性得证。

5 仿真结果及分析

设置导弹位置x=0 m,y=0 m,速度为V=1 000 m/s;目标位置xt=1 000 m,yt=500 m,目标速度Vt=900 m/s;导弹与目标的弹道倾角为θ=θt=10°;目标作余弦机动at=40 cos(πt/4);设置终端期望碰撞角qd=0°。为了对本文提出的制导律性能进行分析,在无偏差条件下采用式(29)所示的分数阶终端滑模制导律(fractional order terminal sliding-mode guidance, FOTSG)、文献[28]所提出的整数阶终端滑模制导律(integer order terminal sliding-mode guidance, IOTSG):

以及文献[29]所提出的分数阶终端滑模制导律(DOTSG2)：

进行对比仿真,分析3种制导律的制导性能。设置DOTSG1制导律参数为:k1=2,k2=4,k3=0.6,k4=0.6,k5=0.05,p1=p2=7,q1=q2=5,α=0.1;设置IOTSG制导律参数为:k6=3,γ=0.5,β1=2,η=0.6;设置DOTSG2制导律参数为:k7=3,β2=0.8,ε=0.2,α1=0.5,p=7,q=5。假设导弹可以测量弹目距离和视线角信息,采用本文所述的基于鲁棒精确微分器的目标机动加速度估计方法对目标机动进行观测补偿,设置Tu=0.8 s,δ=0.1,鲁棒精确微分器系数参见文献[31],设置低通滤波器的时间常数为τ=0.5 s,仿真结果如图3～图14所示。

图3 导弹目标运动轨迹图Fig.3 Diagram of motion trajectory of missile and target motion

图4 弹目距离随时间变化图Fig.4 Distance between missile and target change with time

图5 滑模面随时间变化图Fig.5 Sliding surface change with time

图6 加速度指令随时间变化图Fig.6 Acceleration command change with time

图7 视线角随时间变化图Fig.7 Line-of-sight angle change with time

图8 视线角速率随时间变化图Fig.8 Line-of-sight angular rate change with time

图9 视线角估计值随时间变化图Fig.9 Estimated value of line-of-sight angle change with time

图10 视线角速率估计值随时间变化图Fig.10 Estimation value of line-of-sight angle rate change with time

图11 视线角加速度估计值随时间变化图Fig.11 Estimation value of line-of-sight angular acceleration change with time

图12 弹目距离估计值随时间变化图Fig.12 Estimation value of relative distance between missile and target change with time

图13 弹目距离变化率估计值随时间变化Fig.13 Estimation value of change rate of distance between missile and target change with time

图14 目标机动加速度估计值随时间变化图Fig.14 Estimation value of target maneuver accelation change with time

从以上仿真结果可知,鲁棒精确微分器可以对弹目距离、弹目距离变化率、视线角、视线角速率、视线角加速度等状态实现准确估计。利用本文提出的目标机动状态估计方法可以快速准确地观测补偿目标机动加速度。本文设计的DOTSG1脱靶量为0.012 m,终端碰撞角为0.035°;IOTSG脱靶量为0.125 m,终端碰撞角为0.012°;DOTSG2脱靶量为0.18 m,终端碰撞角为0.021°。相比于IOTSG和DOTSG2,DOTSG1具有更快的收敛速度、更高的制导精度,且明显抑制了滑模抖振以及IOTSG出现的制导律奇异现象的发生。以上仿真验证了本文设计的制导律具有良好的动态特性。

为验证制导律的抗干扰能力,加入如表1所示的正态分布测量偏差,进行500次打靶仿真,得到的仿真结果如图15～图18所示。

表1 测量偏差表Table 1 Measurement deviation

图15 脱靶量散点图Fig.15 Scatter plot of miss distance

图16 脱靶量直方图Fig.16 Histogram of miss distance

图17 终端视线角散点图Fig.17 Scatter plot of terminal line-of-sight angle

图18 终端视线角直方图Fig.18 Histogram of terminal line-of-sight angle

由以上仿真结果可得,脱靶量平均值为0.246 m,且脱靶量均在0.6 m以内;终端视线角平均值为0.013°,且绝大多数终端视线角的绝对值误差在3°范围内。

综上所述,本文提出的分数阶终端滑模制导方法是有效的,具有较高的鲁棒性,且相比于整数阶制导律与现有的分数阶制导律，具有更好的动态性能。

6 结 论

本文针对带碰撞角度约束的制导问题,提出了一种分数阶终端滑模制导律,通过理论证明了制导律的有限时间收敛性。同时，提出了一种基于鲁棒精确微分器的目标机动加速度估计方法,实现了对目标机动加速度的估计补偿。仿真结果表明,本文所提的制导方法和加速度估计方法均具有较高的精度,可有效抑制抖振和滑模面奇异现象,同时对于目标机动以及量测误差具有较高的鲁棒性。