指对幂数大小比较的解题策略

宋凯东

江苏省启东市第一中学

新高考数学重视对学生基本数学素养、思想方法与能力的考查，关注学生应用意识与创新意识.指对幂数式大小的比较常运用到逻辑推理、数学建模、数学运算等核心能力.从题目的难度上看有基本题也有压轴题，从解题技巧上分析有常见的方法也有一些创新的方法，所以一方面需要学生掌握一些常规技巧，另一方面又需要打破常规思路，发散性地思考问题，提升解决问题的能力.

1 应用桥梁法比较大小

应用策略:先将各数化成同底数或同指数形式，再确定所要考查的指对幂函数类型，根据底数或同幂情况判断已确定函数的单调性，从而得出大小关系.

A.a

C.b

A.c

C.a

上述例1中，a与b两个数可以化为同底数3，利用幂函数的单调性可以直接比较，得1

评注：能使用桥梁法比较大小的，一般难度不会太大.当其中两个数式直接比较大小困难时，我们可以尝试利用一个中间量介入，起一个桥梁作用.这个中间量选取要根据具体题目的需要，有些题中已提供，而没有提供的，一般先考虑最常见的0或1.当然一些较难的题目，可能选取的中间量过程也比较复杂，要多观察题目中数式的大致特点，经过适当的转化，以选取到合适的数式.

2 应用作差及作商法

应用策略:作差、作商法一般适用于当底数与指数都不相同时，选取适当的媒介数，首先考虑化为同底数，求同存异.作差法是将要比较的两个数作差，再根据差值与0的大小作比较；作商法是将两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小.

例3设x，y，z为正数，且2x=3y=5z，则( )[1].

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

例4(2020全国Ⅲ，理12)已知55<84，134<85.设a=log53，b=log85，c=log138，则( ).

A.a

C.b

因为ln 3+ln 8=ln 24<2ln 5 ，所以a

评注：作差、作商法比较两个数式大小，在初中数学教材中就已出现，是比较两个数大小最常见的方法.在高中数学中使用此方法时，还须加入式子的变形与转化这一步骤，而恰恰这一步也是学生感觉最难处理的一步.因此在平时的训练中应加强对不同底或不同指数化成相同数的训练，常用的方法是使用换底公式和等式两边取同底对数.

3 应用建构函数法

应用策略:在构造函数时要根据题目条件的特点进行猜想，在构造时多进行试验与数式的调整.根据构造出的函数求出其单调性，有时还需利用函数的对称性、奇偶性、周期性把几个数式化到同一单调区间[2].

3.1 构造同一函数

例5(2020全国II卷，11)若2x-2y<3-x-3-y，则( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

A.a

C.a

例5中，将条件中的不等式变形成2x-3-x<2y-3-y，很明显可构造出函数f(x)=2x-3-x，则f(x)

3.2 构造不同函数

A.a

C.b

例8设a=2e-0.2,b=e0.2,c=1.2，则( ).

A.a

C.b

A.a

C.c

例9非常难，小题不小，不亚于函导数的一道大题.关键在两处地方，变形后构造了两个不同的函数和两次求导，并且综合使用了比差法与比商法.

随着新课程改革的不断深入，高考数学试题的内容及呈现形式也在不断发生变化.高考题目不断翻新且难度加大，并且考查的能力要求不断加强.总体来看，高考命题向宽角度、多视点、多层次的趋势发展，注重“双基”考查的同时，对学生运用知识的灵活性及推理与运算能力提出了较高的要求.纵观近几年高考数学，比较指对幂数大小的题目类型千变万化，惟有与时俱进地加强分析研究，在平时的教学中不断深化教法、学法，强化数学基本思维，帮助学生学会思考学会类比，才能以不变应万变，提高解题能力.