重方法，求效益：活用函数与方程思想

过家福

江苏省南菁高级中学

作为中学数学中最基本的思想之一——函数与方程思想，在历年高考数学题中都占有比较大的比重，各种难易程度、各类题型都可能涉及.利用函数的概念、性质、运算、图象等来分析、转化与解决问题就是函数思想；利用数量关系，通过方程、不等式及其二者的交汇等数学模型的构建来分析、处理与解决问题就是方程思想.利用函数与方程思想，重在提炼技巧方法，提升解题效益.

1 在不等式中的应用

不等式与函数、方程之间构建特殊的一一对应关系，利用这个特殊关系，经常可以将不等式问题转化为相应的函数(或方程)来处理，借助函数的图象与性质，或方程的解或零点等知识加以巧妙转化，很好用来处理涉及代数式的大小关系、不等式恒成立以及抽象不等式等相关问题.

例1已知实数a满足0

A.ea-1

C.ae

分析：根据题目条件，通过构建函数f(x)=ex-x-1(x>0)，利用导数研究函数的单调性，进而确定ea-1与a的大小关系；再利用指数函数的单调性进一步确定a与ae的大小关系即可.

解析：设函数f(x)=ex-x-1，x>0，求导则有f′(x)=ex-1>0，所以函数f(x)在(0，+∞)上是增函数，且f(0)=0.

于是f(x)>0，所以ex-1>x，即ea-1>a.

又指数函数y=ax(0ae，从而ea-1>a>ae.

故选择答案：B.

点评：在解决一些相关的不等式问题中，经常借助不等式之间的结构特征等形式，利用不等式与函数或方程之间特殊的对应关系，合理构建相应的函数或方程，进而借助函数或方程的求解与应用来解决相应的不等式问题.

2 在数列中的应用

数列是一类特殊的函数模型，是涉及项数n所对应的正整数的函数模型，特别是相关数列的通项公式与前n项和公式等函数类问题，可以根据题目条件转化为对应的函数或方程来处理，解决一些涉及最值或取值范围的应用问题，注意其中项数n必须是正整数这一特殊限制条件.

分析：根据题目条件，结合等比数列的定义确定对应的公比，通过等比数列的前n项和公式确定Sn的表达式，利用参数n是奇数与偶数的不同情况进行分类讨论，从而确定函数Sn的单调性及取值范围，进而求解对应数列关系式的值.

点评：数列是一类定义域为正整数集或其有限子集的特殊函数，回归本质，借助函数或方程的知识来解决数列中的相关问题，是破解数列应用问题比较常见的一种思维方式.只是解题过程中要注意数列问题中项数n的取值为正整数，涉及的函数或方程具有离散性特点.

3 在三角函数中的应用

三角函数中有关三角方程根的计算问题、含参的三角函数或三角方程的求参问题等，经常转化为函数关系，利用相应函数的图象与性质求解，或转化为方程问题，利用方程有解的情况来分析与处理.

分析：根据题目条件，可以将对应的含参三角方程分离参数，结合函数的构建，利用限制条件下的二次函数的值域求解来确定实数a的取值范围；也可以进行换元处理，化方程问题为对应的函数问题，利用方程在给定区间上有根的条件构建不等式(组)来处理.

解法1：把方程cos2x-sinx+a=0变形为a=-cos2x+sinx.

所以a的取值范围是(-1，1].

故填答案：(-1，1].

依题意则知二次方程t2+t-1-a=0在t∈(0，1]上有实数解.

图1

解得-1

故填答案：(-1，1].

点评：在解决一些含参的三角函数问题中，经常可以利用整体化思维或换元思维，将三角函数问题转化为对应的二次函数或二次方程问题，巧妙利用二次函数的图象与性质、二次方程根的分布情况等来数形结合，直观形象地解决相应的三角函数的应用问题，实现问题的合理转化与巧妙破解.

4 在平面向量中的应用

有关平面向量中的模或夹角的计算问题、参数的求值或取值范围问题等，经常结合平面向量的数量积公式，或利用坐标法等，化归转化为对应的函数关系，借助相关函数的图象与性质来分析与求解.

分析：根据题目条件，通过对所求平面向量的模进行平方处理，结合数量积公式加以展开，转化为关于x的二次函数问题，利用二次函数的图象与性质来确定相应的最值问题即可.

点评：有关平面向量模的问题，通常利用平方法处理，将平面向量问题转化为对应的平面向量的数量积问题，从而构建函数或方程模型，利用函数与方程的思想来合理转化与巧妙破解.在解决一些最值或取值范围问题中经常用到此思想方法.

5 在解析几何中的应用

涉及解析几何中有关直线与圆锥曲线位置关系的问题，经常借助联立方程组，转化为对应的方程问题，利用相关的求值合理构建相应的函数等.例如，解决一些涉及长度、角度、代数式等要素的最值、取值范围等相关问题，以及定点、定值的判断与证明等问题时，经常离不开函数与方程思想.

故选择答案：C.

点评：解决解析几何中范围问题的关键是通过直线、曲线等相关方程的转化，构建对应的函数或方程关系，借助函数的基本性质、方程有解的条件等构建相关关系式，进而求解最值、取值范围、定点、定值等相关解析几何问题.

事实上，函数与方程思想在其他相关知识中的用处也是非常大，主要是根据题意，构造恰当的函数，利用函数基本性质或函数图象加以解决；或建立相应的方程，利用方程的解、方程有根的条件的推理分析等.从不同层面加以化归转化，化难为易，化生为熟、化繁为简，从而解决一些相关的综合与应用问题.Z