去“绝对值符号”的几种策略

王 文

安徽省郎溪中学

高考数学对绝对值不等式既有直接考查，也有间接考查.直接考查如选做题中的不等式选讲内容；间接考查主要体现在以绝对值为工具，即解题中根据需要先添加绝对值，再求解.与绝对值不等式有关的问题主要有两种考查视角：一是解绝对值不等式；二是与绝对值不等式有关的恒成立问题.处理此类问题的关键是去绝对值符号，本文中给出几种去“绝对值符号”的策略，以供参考.

1 利用绝对值的定义

例1在实数范围内，不等式||x-2|-1|≤1的解集是______.

解析:由绝对值的定义，得-1≤|x-2|-1≤1，则0≤|x-2|≤2，即-2≤x-2≤2，所以0≤x≤4.

故不等式||x-2|-1|≤1的解集为[0,4].

点评:对于 |ax+b|≤c(|ax+b|≥c) 型不等式的解法问题，可依据绝对值的定义去掉绝对值符号.若c>0，则|ax+b|≤c⟺-c≤ax+b≤c，|ax+b|≥c⟺ax+b≥c或ax+b≤-c，再利用a,b的取值进行求解.若c<0，那么|ax+b|≤c的解集为空集；|ax+b|≥c的解集为实数集.

2 利用绝对值的几何意义

例2(2021年全国高考乙卷)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集.

解析:当a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，|x-1|+|x+3|表示数轴上的点到1和-3所对应点的距离之和，则f(x)≥6表示数轴上的点到1和-3所对应点的距离之和不小于6.当x=-4或x=2时所对应的数轴上的点到1，-3所对应的点距离之和等于6，所以由数轴上到1，-3所对应的点距离之和大于等于6得到对应点的坐标范围是x≤-4或x≥2，如图1所示.故不等式f(x)≥6的解集为(-∞,-4]∪[2,+∞).

图1

点评:数轴上A,B两点间的距离等于|xA-xB|，据此可将绝对值不等式转化为数轴上的动点与定点的距离问题求解，直观简洁.

3 利用平方法

解析:由已知易判断函数f(x)为偶函数，且在区间(0,+∞)内单调递增，所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减.

故选答案：A.

点评:本题若直接讨论去绝对值，需要分四类情况讨论，过程较为繁琐.根据偶函数的定义添加绝对值符号，再利用平方法，使问题简洁得解.

4 利用分类讨论思想

零点分段讨论法，即分别令每个绝对值符号为0，得出相应的零点，这些零点将变量的范围分为若干区间，在每个区间讨论绝对值的符号，去绝对值.

例4(2020年全国卷I)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.

(1)画出y=f(x)的图象；

(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.

图2

当x≥1时，f(x)=3x+1-2(x-1)=x+3.

所以，由此可得

其图象如图2所示.

(2)由f(x+1)=|3x+4|-2|x|,则f(x)>f(x+1)，化为|3x+1|-2|x-1|>|3x+4|-2|x|，即|3x+1|-2|x-1|-|3x+4|+2|x|>0.

当x≥1时，3x+1-2x+2-3x-4+2x>0，解集为空集.

点评：利用分类讨论法解绝对值不等式时，首先让每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根，并将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；再分别在每个区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；最后取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.

5 利用数形结合思想

例5(2021年全国高考甲卷数学理科试题)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.

若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范围.

图3

解析:函数f(x+a)=|x+a-2|，如图3，在同一个坐标系中画出f(x),g(x)图象.

y=f(x+a)是y=f(x)的图象平移了|a|个单位得到的，则要使函数f(x+a)≥g(x)，需将y=f(x)的图象向左平移，即a>0.

点评:利用数形结合法解绝对值不等式，关键是准确作出函数的图象，求出相关点的坐标，本题求解中利用了f(x)与g(x)图象之间的关系，简洁构图得解.

6 利用绝对值三角不等式

例6(2020年全国卷Ⅱ试题)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.

(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；

(2)若f(x)≥4，求a的取值范围.

(2)若不等式f(x)≥4恒成立，则fmin(x)≥4.

由绝对值三角不等式，得

f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|≥|x-a2-(x-2a+1)|=|a2-2a+1|=(a-1)2.

故fmin(x)=(a-1)2.由(a-1)2≥4，得|a-1|≥2，即a-1≥2，或a-1≤-2，所以a≥3，或a≤-1.

故a的取值范围为(-∞，-1]∪[3，+∞)

点评:由绝对值不等式恒成立求参数范围问题，通常是利用绝对值三角不等式消x，得到关于a的不等式，再求解即可.此类问题的解答，通常转化为求最值处理.f(x)a恒成立⟺fmin(x)>a；f(x)a有解⟺fmax(x)>a.求最值的方法除了去绝对值外，还可以利用绝对值三角不等式“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”.Z