张 洁
湖北省大冶市第一中学
在新课改的推动下,数学课堂逐渐向多元化发展,更加关注学生主体作用的发挥,“自主、合作、探究”已成为高效数学课堂不可或缺的三要素,其在数学教学中发挥着不可估量的作用.为了提升数学课堂有效性,使课堂更加高效,教师在数学课堂上需要打破单一的、保守的“讲授式”教学模式,将数学课堂打造成开放的动态课堂[1].为了打造高效动态的数学课堂,在教学中就需要引导学生经历自主学习和合作探究,虽然在此过程中可能会出现一些不确定的因素,但这些“不确定”往往可能就是隐藏的意外惊喜.为此,在教学中,教师要鼓励学生进行交流和探究,使不同思维碰撞出耀眼的火花,彰显数学之美.
为了激发学生的积极性和探究欲,将课堂引入更深处,笔者结合教学中出现的“意外”,浅谈了探究在数学教学中的重要意义,以期共鉴.
为了加深学生对圆锥曲线与方程的理解,教师在复习阶段结合对下面一道例题的引导,以让学生通过类比进一步实现知识的内化.
例已知两定点F1(-2,0),F2(2,0),试分别求满足下列条件的动点P的轨迹E的方程.
(1)|PF1|=|PF2|;
(2)|PF1|+|PF2|=6;
(3)|PF1|-|PF2|=2;
按照课前预设,该过程由小组探究合作完成,探究后学生板演求解过程,借助不同解题思路交流解题经验,进而拓宽思维广度.按照预期学生顺利地完成了预设目标,教师想继续进行下面的复习内容时,听见有几个学生在窃窃私语,他们在讨论满足|PF1|·|PF2|为固定值的动点P的轨迹方程该是什么样子.面对教学中产生的这个“意外”,若教师选择与学生一起探究可能会影响课程计划,不利于教学目标的实现,但若置之不理将抹杀学生探究的积极性,不利于学习能力的提升,为此,教师选择充分利用这次“意外”,让学生通过探究消除疑惑,深化理解[2].
师:我们完成了前面四个题目,有些同学似乎又有新想法,我们一起来听一听.(教师引导学生大胆说出自己的疑惑.)
师:很好!确实我们上面只关注了|PF1|与|PF2|的“和、差、商”,忽视了“积”,那么这样的曲线到底是什么呢?
师:现在大家思考一下|PF1|·|PF2|这个定值该如何表示?其与动点P到定点F1和F2的距离大小又有什么关系?(为了给学生指引探究的方向,教师将探究分成若干小问题,以淡化问题的抽象感,激发学生探究的热情.)
生2:结合问题(2)和问题(3),设定值为a2,并且将a分成a>2,a=2,a<2三种情况进行比较.
师:很好!那么我们就从特殊值入手,看看从这三种特殊情况中能否发现一般规律.取a=1,2,3这三个特殊值来探究曲线的图形.即|PF1|·|PF2|=12,|PF1|·|PF2|=22,|PF1|·|PF2|=32三种情况.那么我们该如何进行探究呢?
生3:应根据特殊值a=1,a=2,a=3分别求出曲线方程,接下来结合曲线方程的几何性质逐一进行探究.
师:我们常用哪些几何性质来探究呢?
生3:对称性、顶点坐标、x的取值范围等.
师:很好!看来大家已经掌握了研究解析几何的精髓,实现“数”与“形”的相互转化.现在一共三种情况,分三个大组进行探究,探究后请各小组参照表1的要求填写求解结果.(教师根据学生反馈设计了表1,以让学生更好地将各种情况进行类比,进而使计算结果更加清晰明了,便于学生观察和理解.)
表1 曲线的图形与性质
通过小组合作探究,各小组都顺利地求解并绘制出了草图.在关于对称性的探究中,有些学生出现了思维障碍,教师借助师生交流的方式为学生释疑.
师:对于对称性你们是怎么验证的呢?
生4:设点P(x,y)在曲线上,若点P关于x轴对称,则对称点P′(x,-y)也应在曲线上,代入后即可验证曲线是否关于x轴对称.同理,通过该方法还可以进一步验证曲线是否关于y轴和原点对称.
师:很好!我们根据x的取值范围并结合曲线的对称性绘制出了草图,若我们想进一步精确绘制曲线图形还需要知道什么?
生5:需要知道y的范围.
师:那么y的范围如何求解呢?
生6:可以利用求函数值域的思路求解.(生6的思路给出后,学生提出了质疑.)
生7:函数中x值与y值是一一对应的,曲线方程不能满足这一条件,因此其转化不等价,不能这样求解.
师:那该如何实现等价转化呢?
生8:刚刚已经知晓该曲线方程关于x轴,y轴和原点对称,那么我们在求解时可以仅考虑第一象限的图形,第一象限的图形绘制完成后利用对称性完成整个图形的绘制.第一象限的x值与y值显然是一一对应的,这样就可以应用值域的思路求解了.
师:说的太好了!利用曲线方程的对称性完成了函数与曲线方程的转化,这样,我们后期就可以利用研究函数的思路进一步研究曲线.
为了实现特殊向一般的转化,教师引导学生借助曲线方程的一般形式继续探究,其一般形式为[(x+c)2+y2][(x-c)2+y2]=a4(a>0).
探究至此,学生可以结合图形性质绘制出图形.本节课虽然并未按照预期的效果完成预定教学目标,但通过利用“意外”学生收获多多.通过类比探究不仅深化了对知识的理解,在此过程中函数与方程、特殊与一般的转化也应用得淋漓尽致,大大地提升了课堂有效性.
在教学设计阶段,教师要善于从学生的角度进行思考,预判学生可能提出的问题,从而提前做出教学预案,这样即使课堂中出现一些突发“小意外”时,教师也可以掌控教学方向,统筹全局.当然,只有教师课前精心地做好预设,课上才能及时捕捉这些“小意外”,实现精彩演绎.可见,预设与生成既对立又统一,教学中必须应用好这一对对立统一体,促进多元、动态课堂生成.
教学中要利用好思维差异的优势,多鼓励学生从不同角度提出问题,尊重学生的新想法和新思路,引导学生积极探究,进而达到发散思维、培养创新意识的目的.同时,教师要为学生营造平等、民主的学习氛围,切勿只关注学优生的新思路而对学困生的问题置之不理,久而久之,势必会挫伤学困生的积极性和自信心,不利于实现全员发展.
在新课改的推动下,学生的学习模式逐渐实现了由“接受式”向“探究式”的转化,学生的学习模式也由“被动接受”向“主动建构”逐渐过渡,有助于课堂有效性的提升.同时,经历探究使学生敢于联想、勇于质疑、勤于思考,进而使学生的学习态度更加严谨,思维更加灵活,有助于学生自主学习习惯的形成.另外,通过探究,让学生亲身经历知识生成的过程,有助于学生实践能力和创新能力的提升.为此,在教学中,教师要鼓励学生参与探究,去发现、去解决、去反思、去创新,进而使课堂变得生动又高效.
总之,课堂生成性资源是宝贵的教学资源,教师在教学中切勿只追求进度而忽视课堂生成性资源的利用,要鼓励学生进行多角度、全方位地思考,引导其提出有价值的问题,让学生在交流、合作、探究中不断成长,进而培养学生良好的数学品质和数学素养,促进学生综合能力全面提升.