高中数学教学中的一题多解

许 冶

黑龙江省哈尔滨师范大学教师教育学院

在高中阶段，课堂时间有限，只有45分钟，除了要重视概念的讲解，还应该充分利用好每一个习题.素质教育下,数学学科以培养学生的综合能力和发展学生的数学学科核心素养为目标,学生的解题过程是综合运用核心素养的过程,是培养学生思维的有效途径.

一题多解从不同角度看待问题,思考问题,从而学生会有不一样的收获.因此，一题多解是培养学生核心素养的途径之一.然而，一题多解需要学生基础知识扎实,且能够融会贯通.在解题的时候对题目进行深层次分析,有利于打破学生的思维定式,培养学生的发散性思维,让学生的思维全面发展.但很多学生对于一题多解还存在一定的难度，这就要依赖于教师引导.所以作为高中数学教师,要对“一题多解”进行深入研究,该如何设计课题让学生体会到它的魅力所在.

1 一题多解教学的原则

1.1 目的性原则

“教师在使用一题多解时要明确使用目的，不是为了多解而多解”[1]，而是明确多解的目的.故一题多解不是解法越多越好，也不是解法越新奇越好，而是通过此种解法学生能获得发展，思维能获得提升.所以，对学生发展无用的解法，教师应该及时舍弃.

1.2 引导性原则

引导性原则是指教师在进行一题多解时，要对学生进行充分地启发与引导，循序渐进地设计教学问题，引导学生得出答案；而不是把课堂当成一个人的表演，只是一味地按照课件或者教辅去讲解.当学生思考新解法有困难时，教师可以提供一种思考方向和解题思路，但教师提供的是一个外部支持，随着解题的进行，要逐步减少外部支持，将解题任务交给学生，并不是直接告诉学生答案.

1.3 反思性原则

一题多解的目的是巩固知识、灵活运用知识，所以这就要求学生在解题后要进行反思，反思解题思路、解题过程，并思考下次遇到此类题该怎么做.一题多解教学法是一种变式教学法，一个习题所包含的知识点是不同的，学生课上可能对使用这些定义定理灵活解题理解得没那么好，通过反思，可以从不同角度理解知识、巩固知识.

2 一题多解教学中教师可能存在的问题

一题多解在高中数学课堂中的应用越来越广泛,同时部分教师对于一题多解也出现了一些偏离初心的问题.

2.1 片面追求多解,增加学生负担

一题多解最主要目的是发展学生的思维,然而有部分教师在课堂教学中只是为了多解而多解,想要让学生多掌握一种方法,体现数学教育家们所提出的通过“一题多解”发展学生的核心素养,但并未对学生的整体水平做评估,并未考虑学生是否可以接受以及是否超出学生的最近发展区,“毫无目的的教学只会增加学生的负担,然而对于学生本身能力并没有提升”[2].

图1

案例一2019年全国I卷理科第18题第(2)问

如图1，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4,AB=2, ∠BAD=60，E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.

(1)证明：MN∥平面C1DE；(注：此问不做详细介绍)

(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.

解法1：建平面直角坐标系法.

解法2：矢量积法.

上述方法相同，在求向量时可以采用矢量积法，则

然后运用公式求出二面角的正弦值.

分析：解法1主要是利用联立法来求平面的法向量,所运用的方法是学生比较熟悉的；而解法2涉及了大学的知识点,教师需要花费大量时间补充矢量积、矩阵、行列式的有关知识,普通班级的学生听着费力,又消化不了,可能对自己产生怀疑,从而对数学失去学习兴趣,这种“一题多解”就偏离了它的初心.

2.2 罗列多种解法,不分析其中的思想方法

在课堂教学中若对于一道多解题,不分析多解背后的数学思想方法以及每种解法之间的关联.导致学生只是会解这一道题,当遇到变式题时仍没有思路.这也偏离了“一题多解”的初心.故教师在备课时,应该问自己：这道题我为什么呈现多种解法？我要达到什么目的？怎么样做才能达到这种目的？

案例二高一新授课“基本不等式”例题[3]

分析：解法1是直接利用基本不等式,解法2是利用了“1”的特殊性,解法3是采用了平方法.若教师不作本质的分析,学生可能不久就会遗忘.教师应该引导学生分析其数学思想方法,解法1，2，3都运用了基本不等式,即已知两个正数的和,求他们乘积的最小值或者已知他们的乘积求和的最大值，其本质都运用了转化的数学思想方法,一步步把已知转化成我们所需要的.

2.3 因材施教的措施不足

当一道题有多种解法时,学生的想法可能是多种多样的,但有的是正确的,有的可能存在错误或者有不成熟的地方，所以需要教师分别分析他们的解法，因材施教.但有些教师对于学生错误或者不成熟的解法不予评价，忽视掉错误想法，这样学生并不会得到提高.教师应对学生错误的地方加以改正，这对学生正确的地方加以表扬.对于有不成熟方法和错误方法的学生，引导他们去探索哪些方法正确哪些不正确及理由，但是为了照顾思维活跃的学生，教师可能引导语言不足，导致普通学生一知半解因而教师在一题多解时会存在因材施教的措施不足的问题.

3 一题多解的教学建议

3.1 精选解法，重在让学生思维得到发展

“一题多解”只是发展学生思维的手段之一,所以教师不能在教学中不顾学生的“最近发展区”而把所有的解都写出来,这样对学生的发展是没有益处的.解法不在于多，而在于精，教师要站在学生角度，替学生考虑这种解法他们是否能够接受，是否能够启发学生思维，学生是否能参与到解题来，以及学生是否能从不同角度来看待问题.但是，什么样的解法才叫做精选解法呢，我们可以从以下两点判断：是否在学生的最近发展区内，学习了这种解法学生能得到怎样的进步；是否简捷可以推广.因此，教师在备课时，应“研究好每个解法的优点与不足，对自己班级的学生有足够的了解，预想学生是否可以接受这种解法，预想学生的表现，提前设计问题序列”[4].

案例三已知x2-y2+x-3y-3=0，求证x2+y2>1.

问题1这道题的特点是什么？

预设：在二元二次方程下去证明二元二次不等式的问题.

问题2那我们研究数学问题一般从哪个角度入手？

预设：可以从数和形的角度来分析这道题.

追问1：从数的角度该如何研究？

问题3如何通过切割化弦转化问题x2+y2.

设计意图：这些问题一串可以让学生明确思考方向，从而找到一般解法，运用了转化的数学思想方法.

除了三角换元外，你能从形的角度解答此题吗？考虑学生的认知发展水平对探索后续解法有难度，故不可盲目向学生介绍.

3.2 抓住解题过程,重在分析联系

教师在讲解时,应该着重分析各种解法的依据、区别、联系、使用条件的优劣、本质，以免出现灌输知识的情况.教师在讲解时,可以通过问题串的形式,一步步引导学生发现不同方法之间的联系．追问学生用这种解法的依据是什么？有没有遇到障碍？你怎么解决？通过这个解法你有哪些启发？每种解法好处在哪里？哪种解法更具有一般性？等等.教师应该引导学生自己去总结，比如，自己哪种解法没有想到？什么原因没有想到？你学会了哪几种解法？他们的本质是什么？体现了哪些数学思想方法？教师在讲题过程中，应提炼解法，将学生思维与教师思维进行对比.

3.3 使用不同教学方式，重在因材施教

每种教学方式都有各自的优点和缺点，比如，讲授法的优点是能在更少的时间内传授更多的知识.对于反应速度慢、灵活性差的学困生，在解题时很难独立做到一题多解，所以对于这部分学生，教师可以在讲题时采用讲授法，明确讲什么？怎么讲？在讲解的过程中，怎么样才能让学生思维得到发展，怎么讲解不是灌输知识点.对于思维敏捷的学生，可以采用合作法、小组讨论法，这样可以给予学生探索、思考的机会，并且教师要允许学生犯错误，因为试错的过程也是解题的过程，教师要通过引导让学生明确自己错在哪里，该如何改正.

“一题多解”是培养学生思维的一种手段,教师若引导得当,从教解题到教思维,抓住问题的本质,分析解法的联系与区别,提高学生课堂参与的程度,那么对学生的发展来说一定是一个质的飞跃.