关于分类讨论思想在初中数学教学中的应用

马 勇

（甘肃省临夏市第一中学，甘肃临夏 731100）

学生在学习数学知识和解决数学问题时，每项数学结论都有其相应的成立条件，而且部分问题的结论并不是唯一的。教师应用分类讨论思想引导学生探究，可以将复杂的问题分解成若干小问题，然后根据不同的分类标准和题目要求逐一研究，最终达到有效学习和解题的目的。因此，教师应当明晰分类讨论思想在初中数学教学中的应用价值，合理选择分类讨论对象，启发学生站在分类讨论的角度学习新知、攻克难点，从而培育学生数学思维和分类探索意识。

一、分类讨论思想在初中数学教学中的应用价值

数学研究领域的分类讨论思想，主要是指在数学对象不能以统一的形式进行研究的情况下，将所有研究问题根据题目的特点和要求，划分为若干不同类别，把复杂的问题细化、条理化，再研究出每个分类问题的结论，经过结果的综合和归纳，得到数学对象的研究结论或问题的正确解答。经过学情分析和广泛的理论实践研究，现将分类讨论思想在初中数学教学中的应用价值总结为如下三点。

（一）应用分类讨论思想有助于提高学生分析数学问题的能力

在初中数学教学中，部分问题的结论或答案并不是唯一确定的，学生在解题时意识不到这一点，求出的结果不符合问题的特点和要求，这些都是学生分类讨论思想薄弱的表现。教师加强应用分类讨论思想开展教学，最突出的价值就是有助于提高学生分析和解决数学问题的能力。如针对结论存在多种情况的数学问题，教师可以引导学生分情况、分标准逐级讨论，然后把各项讨论结果汇总到一起，得出数学问题的完整答案，这样学生就会逐步养成分类思考习惯和严谨的数学思维，避免学生陷入片面化的数学问题分析误区。

（二）应用分类讨论思想有助于优化数学探究方式

传统的数学教学以就题论题、死套模式为主，教师一般将数学知识或解题原理直接灌输给学生，学生缺乏有效的探究活动过程，影响学生探究能力、逻辑思维的进一步发展。在数学教学中引入分类讨论思想，对优化数学探究方式大有裨益。如在探索某项数学方法的适用范围时，教师就可以引导学生按照统一标准，对数学方法的应用途径进行分类，针对每个类别列举相应的应用实例，组织学生合作交流、互相辩驳例子是否恰当，最后得出数学方法的适用范围，显著加强学生的思辨能力、合作探究能力，促进学生认清数学对象的本质，使初中数学教学真正摆脱灌输模式。

（三）应用分类讨论思想有助于学生灵活运用数学基础知识

初中数学教学的关键点，在于培养学生知识迁移和实践运用能力，目前大部分学生在分析和解答数学问题时，思维都不够开阔，无法多角度思考问题、变通地应用数学基础知识解决问题。教师基于分类讨论思想实施数学教学，最显著的优势就是能促进学生灵活运用数学基础知识，如数学问题的已知量是用字母形式给出的，教师可以引导学生对字母的取值范围展开分类讨论，得出与不同取值相对应的题目结果；若数学问题涉及多项概念、定理和公式，教师可以启发学生分类讨论，运用各项基础知识探究问题的不同解法，从而确保学生解题方向正确、有效迁移运用基础知识技能。

二、分类讨论思想在初中数学教学中的应用策略

（一）创设分类讨论情境，引导学生体会数学分类思想

分类讨论在思维体系中，属于一种直觉上的区别印象，即在某项标准下能够迅速发现事物的本质区别。学生的分类讨论思想还处于形成阶段，教师在初中数学教学中应用分类讨论思想，必须先培育学生的分类意识和分类讨论习惯，加深学生对数学对象的区别印象。情境创设法适用于数学分类讨论，教师应该立足数学课程，联系生活实际，创设多样化的分类讨论情境，引导学生对数学对象进行逐类分类、分级，探讨阶段性结果，进而按标准检验筛选结果、得出最终结论，这样学生就能真正体会数学分类思想。

1.创设生活化分类讨论情境。分类在生活中是无处不在的，教师创设分类讨论情境应该加强引入生活素材。如在关于直方图的数学课程中，教师可以创设学校组织广播体操比赛的生活情境，使用电子白板为学生出示一份身高调查表，同时提出分类讨论问题：同学们，如果比赛要选拔身高差不多的同学参加，该如何对调查表上的身高数据进行分类和分组呢？学生随即展开热烈讨论，有学生表示要计算出身高数据最大值和最小值的差，有学生认为应该划分出组距和组数，还有学生补充要编制出频数分布表。教师认同学生分类讨论结果后，就可以让学生分小组计算和绘图，画出和身高调查表相对应的直方图，然后引导学生根据不同的身高取值范围读图，最终得出人数最多的身高范围，使学生在真实的生活情境中体验到分类讨论思想［1］。

2.利用旧知识引出分类讨论情境。以旧知识做铺垫创设分类讨论情境，有助于学生自主发现数学研究对象关联的分类要素。如在探究一元二次方程根的判别式意义时，教师导学时可以提出复习问题：同学们，我们之前学过多种一元二次方程的解法，大家能分类列举出来吗？学生经过讨论和补充，完整阐述三种解法。随后，教师在电子白板上根据学生提出的解法，列出三道对应的方程式例题，鼓励学生运用解法比赛解方程，学生解出结果教师做记录，之后提出分类讨论问题：同学们，请大家认真观察白板上三个方程解答结果根的情况，是一致的还是不同的？如果不同，能详细说出区别吗？学生讨论判别后表示根的情况是不同的，有的是存在两个相等的实数根，有的存在两个不相等的实数根，有的则没有实数根。接下来，教师让学生继续讨论方程根存在不同情况的原因，并出示教材例题，发布分类讨论任务：同学们，请大家合作求解这道例题，探讨例题分别在哪种情况下有两个相等的实数根、两个不相等的实数根以及没有实数根。学生讨论后准确找到例题中根的判别式，教师适时向学生渗透判别式的表示符号和读法，重新回扣到例题，鼓励学生运用判别式判别例题的根情况，这样学生既习得分类讨论的思想方法，也感知到数学思想的严密性［2］。

（二）数学概念分类讨论，促进学生掌握概念分类标准

数学概念是分类讨论的主要对象，包括对数学概念的分段定义，对数学公式、定理、法则的分段表达等。大部分数学概念的成立条件都是特定的，需要区分不同的情况来定义，还有一些数学公式、性质定义存在特殊的限制条件。教师在数学概念教学中应用分类讨论思想时，应该根据概念的实际运用，结合概念的成立条件和限制条件，引导学生确定概念的分类标准开展讨论，从而巩固学生的概念基础。

1.分类讨论相似的数学概念。初中数学课程中，部分概念知识存在相似性，是教师实施分类讨论的重点。如在学习绝对值概念时，学生容易混淆绝对值和相反数，教师可以利用生活中三个地点的距离问题，先引导学生用有理数表示出各地点之间的距离，然后在电子白板上画出一条数轴，数轴原点表示位置居中的地点，让学生在数轴上标出另外两个地点和原点的距离。接下来教师提问：同学们，观察数轴上两个点到原点的距离，你有什么发现？学生观察思考后作答：数轴左右两边的点到原点距离相等。教师引导学生写出相应的正负数，继续提问：那么这两个数如果去掉正负号，它们存在什么关系？学生：相等。教师顺势引出相反数的概念，然后揭示分类讨论任务：同学们再看数轴，两个点到原点的距离和什么有关？和什么无关？学生讨论后反馈：和点到原点的长度有关，和点对应有理数的正负性无关。最后，教师让学生对照教材，讨论绝对值和相反数的区别，掌握绝对值的表示方法，这样学生就通过分类讨论明确了相似数学概念的不同点［3］。

2.分类讨论数学概念的适用范围。在数学概念教学中，教师也可以应用分类讨论思想，引导学生学习数学概念的适用范围。如在探究函数图像的增减性时，教师可以在电子白板上出示反比例函数的图像，然后给出反比例函数自变量大于零和小于零的两个值，引导学生分类讨论在不同取值范围下，函数图像上点的增减变化规律。学生分类讨论后得出结论：当反比例函数自变量大于零时，图像的两支曲线位于一、三象限，每一象限内y 的值随x 的增大而减小，自变量小于零时，曲线分别位于二、四象限，每一象限内y 的值随x 的增大而增大。这样学生在函数图像中获取信息的能力得到强化，同时分类讨论得出反比例函数性质和适用范围。

（三）几何问题分类讨论，帮助学生认清图形性质特点

数学几何问题的探究，也适合应用分类讨论思想，主要针对图形位置不确定、图形形状不确定两种情况。教师在实际教学中，应该利用几何图形位置或形状的不确定性，带领学生分类讨论不同情况下几何图形的性质或位置关系，帮助学生认清图形的性质特点，同时向学生渗透分类讨论、数形结合、类比等数学研究方法，提高学生解决几何问题的效率。

教师在基于几何问题应用分类讨论思想时，必须根据数学课程选择存在多种可能的分类研究对象。如在有关探究直线和圆位置关系的课程中，教师可以组织学生开展数学小实验：同学们，请大家在验算纸上用圆规画一个圆，然后把格尺放在圆上面上下移动，假如我们将格尺的边缘看作一条直线，你认为格尺在上下移动过程中和圆存在几种位置关系呢？学生旋即展开手动实验操作，操作完毕后学生反馈三种位置关系的情况，即相交、相切和相离。紧接着，教师在白板上出示圆和直线三种位置关系的模拟动画，提出分类讨论问题：同学们，针对这三种位置关系情况，大家是否能逐一说明在不同位置关系中，圆和直线的公共点数量？学生分类讨论期间，教师可以让学生上台指出每种位置关系的公共点，也可以在演算纸上标出格尺移动时产生的公共点，学生分类讨论后汇报：圆和直线相交时有两个公共点，相切时有一个公共点，相离时没有公共点。随后，教师指导学生继续观察模拟动画，分析圆与直线位置关系变化时，圆心到直线的距离变化情况，分类讨论直线和圆在相交、相切、相离三种情况下，比较圆心到直线和圆半径的大小，学生经过分类讨论得出结论：圆和直线相交、相切和相离时，圆心到直线的距离分别小于、等于和大于圆半径。这样学生就能在类比、分类讨论以及数形结合的角度，感受到几何图形数量关系和位置关系的对应与等价［4］。

（四）解题教学综合分类，强化学生数学实践解题技能

分类讨论思想除了适用于数学基础教学，在实际解题中也发挥着重要作用。学生迁移运用数学基础知识的能力有待加强，面对较为复杂的数学应用类问题，学生经常出现思维混乱的现象，分析问题时忽略重要的隐含条件、看不清问题的本质，这些都阻碍学生有效解题。教师在数学解题教学中应用分类讨论思想时，应该引导学生综合分类，先找出问题的已知、隐含和所求条件，再分析问题涉及的概念、定理或公式，通过分类讨论构建解题思路，从而强化学生数学实践解题技能。

如在一题多解的数学应用题解题探究中，教师可以先组织学生分析题面：同学们，认真阅读这道题，你能得到哪些有价值的信息？学生参与题面分析和讨论时，教师在白板上写出已知量、未知量、隐含条件三个关键词，并在关键词下方记录学生反馈的分析信息。随后，教师提问：同学们，观察白板上列出的题设信息，这道题属于什么问题？在学过的数学知识中，哪些定理或公式适用于解题？请大家分组讨论。几分钟后，各组学生反馈讨论结果，对比后学生发现每组提出的解题公式和定理并不完全相同，教师把每一种解题思路都列出来，组织各小组分类讨论，让提出解题公式和定理的小组阐述理由和依据，其他小组判断是否合理。最后，教师把合理的解题方法汇总到一起，鼓励学生根据不同的解题思路列式计算，核对解题结果是一致的，使学生经历在实践解题中应用分类讨论思想的过程［5］。

综上所述，在初中数学教学中应用分类讨论思想，不但有助于提高学生分析数学问题的能力，也能优化数学教学的探究方式，还能促进学生灵活运用数学基础知识。教师应该根据数学课程创设分类讨论情境，引导学生体会数学分类思想，在数学概念、几何问题以及解题教学中，引导学生开展分类讨论活动，促使学生掌握概念分类标准，帮助学生认清几何图形的性质特点以及位置关系变化规律，锻炼学生分类、简化复杂数学问题的技能，从而发挥分类讨论思想的实践教学功用。