高中校本课程“数学文化”的开发与实践——以“人生相遇几何”为例*

黄 荣 (江苏省无锡市第一中学 214031)

周 超 (苏州大学数学科学学院 215006)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《课标2017》)明确提出，要重视数学文化，将数学文化融入课程内容[1]，从而在课程结构的高度上确立了数学文化的重要地位.但当前教学仍存在过多关注于学科价值而忽视数学应有的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值[2]的现象.笔者将近年来执教校本课程“数学文化”的系列思考整理成文，与同行分享课程开发与实践的经验.

1 开发校本课程“数学文化”的整体设计

课程的开发与实践是一种系统化的活动，需要从全局高度对“数学文化”课程作出整体设计，主要包括课程的理念、目标、内容、实施与评价等.

1.1 课程理念定位：聚焦“文化育人”

一方面，教科书中呈现的数学往往只有“冰冷的美丽”，知识背后的美轮美奂仍亟需挖掘；另一方面，课程标准赋予数学学科的价值是多方面的.“数学文化”课程应当充分挖掘数学的多元教育价值，以“文化教学”促动学生“火热的思考”[3]，实现从“知识育人”走向“文化育人”.

1.2 课程目标设置：提升数学素养

“数学文化”课程并非定位于普及数学知识的学科课程，其核心不在于具体的数学知识本身.要更多关注数学知识的形成和发展，关注数学产生与应用的跨学科特性，即关注数学在人类生活、科学技术、社会发展中的重大贡献和价值[1][4].因此，“数学文化”课程重在以数学知识为载体，丰富教学内容，促使学生感悟数学的多元价值，进而提升数学素养，涵养理性精神和人文情怀.

1.3 课程内容选取：主题引领，精选内容

课程内容的选取需要考量多方面因素，课程的理念和目标、学情、教师的知识储备、可获得的学习资源等.[5]校本课程作为选修课，课时较少，选课学生来自不同班级，数学基础差异较大.因此，课程内容选取应优先考虑初高中衔接点和高中必修课程内容，以此为生长点精选内容、引申拓展，进而形成若干主题.

数学文化包含知识系统、工具系统、价值系统和史实系统四个层面的内容，知识系统是物质基础，工具系统体现数学应用，价值系统是发扬数学文化的源泉，史实系统是数学文化的历史积淀.[6]

基于上述理解，笔者将“数学文化”课程划分为五大主题：预备知识、数学史话、数学之用、数学之美、数学写作.各专题均以知识系统为载体(而非目的)，侧重于数学文化的某个层面：预备知识是绪论，带领学生初识数学文化；数学史话侧重史实系统，体现数学的科学价值；数学之用侧重工具系统，体现数学的应用价值；数学之美侧重价值系统，体现数学的审美价值；数学写作则是一种综合性的创作实践.具体内容如表1所示.

表1 校本“数学文化”的主题、内容及目标

5个主题共12小节，每节安排1-2课时，可视情况增删，共需14-18课时学完课程.

1.4 课程实施策略：凸显四性，增强体验

在实施“数学文化”课程时应着力凸显“四性”，即趣味性、人文性、应用性、思想性[7]，重视增强学生的参与和体验，激励学生表达内心的真实感悟和思考.

如“走进无限的世界”[7]，顺着数学史的发展脉络，带领学生穿越时空，对话数学大师，以“阿基米德与乌龟赛跑”“伽利略悖论”“希尔伯特旅馆”系列数学问题引发学生思考，这些问题兼具趣味性、人文性和思想性，可以帮助学生逐步理解对应思想，体悟有限与无限的差异.

再如“数据与人生”，先从生活中的统计问题说起，感受身边的数据“谎言”；再以语言学字频研究和二战史实为例讲述统计的应用；最后以案例“公说公有理，婆说婆有理”和选举悖论结尾引发深度思考，留下回味空间.纵观整个教学流程，学生充分参与研讨，在思考中养成正确的统计思维，体悟到数学的广泛应用.

1.5 课程评价设计：重视过程，多元评价

作为校本课程，“数学文化”课程不宜采用书面考试作为评价方式，而应重视过程性评价，并采用多元化的评价方式，以评价提升学生学习数学文化的积极性.评价应关注课堂参与度，可适时记录学生交流的频次和深度；学生按意愿组成学习小组，开展交流合作，进行小组评价.此外，课程要求递交期末论文一篇，学生根据参考选题，自拟标题撰写论文.该论文的评价将依据自我评价、小组评价和教师评价形成综合等级评价，各小组优秀作品会在班级交流展示.

2 校本课程“数学文化”开发案例——人生相遇几何

《课标2017》将几何学的发展列入选学内容(不作考试要求)[1].事实上，欧氏几何作为中小学数学的重要内容，在培养逻辑思维、涵养理性精神方面起着难以替代的作用[8]；非欧几何虽非高中必修内容，但在转变数学认知，树立正确的数学观方面也极具教育价值[9].因此，笔者将两者整合成一节“人生相遇几何”，以期帮助学生整体认知几何学，树立正确的数学观.

2.1 教学内容分析

本节内容主要包括两方面：一是几何原本与公理化思想，二是非欧几何与真理的相对性.公理化思想是现代数学的基本特征，非欧几何是几何领域的重大革命，这些内容的教学有利于形成正确的数学观、科学观，是不可多得的优秀数学文化素材.

2.2 教学目标分析

基于关注数学基本思想和多元价值、厚植理性精神和人文情怀的课程目标定位，将本节内容目标定位如下：

(1)通过学习《几何原本》，了解公理化思想的基本特征及其在数学、科学、文化中的价值，并通过中西数学特色的对比感悟文化差异；

(2)了解非欧几何诞生及其发展的基本历程，感受数学家明理崇真、百折不挠的精神品质，体悟数学作为真理的相对性，发展辩证思维.

2.3 教学实施分析

为增强学生体验，并兼顾数学能力层次不同的学生，采取以下教学策略：(1)以几何发展史为经、以数学思想为纬，引领学生穿越时空，对话大师，体验数学文化，浸润科学精神；(2)通过讲述数学奇闻轶事、将数学与生活类比等方法激发学生的学习兴趣，降低认知负荷，理解公理化思想与真理的相对性；(3)赏析精选案例，力求兼顾不同层次，内容上既要能自然衔接，下通初中数学，又要能高屋建瓴，上通高等数学；(4)课堂教学重点应放在普适性内容上，同时要留有数学思考和拓展阅读的空间.

2.4 教学过程设计

·对话欧几里得，初识几何原本

轶事两则(1)托勒密国王向欧几里得求教学习几何学的捷径，欧几里得答道：“几何无王者之道.”(2)一名学生初学几何学第一个命题，就问欧几里得学了几何将得到什么.欧几里得对身边侍从说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利.”

阅读思考自主阅读《几何原本》相关内容材料，学生代表发言概述主要内容，其他学生补充，最后进行师生小结.

设计意图其一，以饶有趣味的“轶事两则”引发学生兴趣，引导学生阅读相关材料；其二，“几何无王者之道”渗透学科德育，勉励学生不图捷径，努力求学；其三，“学了几何能得到什么”初步展示古希腊数学不重实利的特点，为下文中西数学比较作了必要铺垫；其四，“阅读思考”旨在引导学生学会数学地阅读与思考，从而获取知识，发展能力.

·体悟公理思想，比较中西数学

问题研讨1尝试用自己的语言阐述对公理化思想的理解以及《几何原本》的历史价值.

问题小结《几何原本》不仅仅是几何教科书，也构成了历史上第一个数学公理体系，被视为严密科学思维的典范，对西方数学、科学和文化产生了不可磨灭的重大影响.

素材1 (道生万物)《道德经》开篇有言：“道生一，一生二，二生三，三生万物.”从数学的视角来看有何启示？

素材2 (数学瑰宝)简要介绍《九章算术》，并附以书中问题两例(内容略).

设计意图“道生万物”具有浓厚的中国传统文化色彩，充满思辨却少形式逻辑.《九章算术》作为不朽的数学瑰宝，是中华传统文化的杰出代表，特色显著.通过这些素材帮助学生确立对中国古代数学的基本认知，进而树立文化自信，同时顺势提出中西数学比较的问题.

问题研讨2尝试基于文化视角比较中西数学的特色.

问题小结中国古代社会实行君王统治，强调“经世致用”，数学研究主要出于实用目的，逐步形成算法特色.西方社会实行“民主政治”，崇尚理性精神，重视逻辑推演.中西数学各有特色，我们不必妄自菲薄，但也要认清不足，扬长补短，争取早日实现数学强国之梦.

·论战非欧几何，领略大师风采

欧氏几何的“家丑”：《几何原本》并非完美无瑕，尤其是第五公设引发了极大的争论，许多数学家试图从其他公理、公设中把它推导出来，结果都以失败而告终.

非欧几何的诞生：1826年，罗巴切夫斯基用“同一平面上任何两条直线都不相交”代替第五公设，标志着非欧几何的诞生.研究成果公布后，罗巴切夫斯基饱受嘲讽和攻击，但他仍坚持研究和发展非欧几何，堪称“几何学的哥白尼”.

设计意图课程实施时不要拘泥于非欧几何知识本身，而应突出以下两点：一是转变数学公理永恒不变的片面认知，二是勉励学生以罗巴切夫斯基为榜样，无论是现在求学还是将来做学问，要敢于质疑和挑战权威，勇于追求和捍卫真理.

·追问绝对真理，求索知识大道

问题研讨3谈谈你对数学真理性的认识.

问题小结(1)真理的相对性.人们长期将数学视为绝对真理.非欧几何的创立，在一定程度上标志着数学真理性的终结.数学家可以建构公理体系，具备极大的创造自由.每一个学生都可以成为数学的探险家、发现者.(2)棋类游戏的隐喻.同样的网格纸与黑白棋子，可以下围棋，也可以下五子棋.虽然可以根据兴趣爱好确定游戏规则，但能否吸引人去玩，却需要实践来检验.因此，公理体系要能反映人类的需求和愿望，数学来源于实践，服务于生活.

课堂小结几何学因土地测量而产生，是研究形的科学，其发展首先是堪称思维典范的欧式几何，尔后又有颠覆传统的非欧几何，这两种几何的诞生不仅对数学发展产生了不可估量的影响，同时也对科学和文化的发展产生了重大影响.

作业布置本节课的作业分为必做作业和选做作业.

(1)必做作业：参考以下选题，收集几何学的相关资料，撰写一篇心得或论文.

①几何学的发展史及其感悟；②中国古代数学家的几何学贡献；③中西几何特色比较——以《九章算术》和《几何原本》为例；④非欧几何的科学价值与思维启迪；⑤数学改变生活——例谈几何学的应用.

(2)选做作业：开展小组合作，制作多媒体课件或板报等，并在课堂或校园内进行交流展示.

设计意图必做作业要求全员参与，分为两个层次：基本要求是写一篇字数不多的学习心得；提高要求是查阅资料并撰写论文(可作为数学文化课程的期末论文)；选做作业侧重个性发展，旨在为学生提供发挥特长、展示自我的舞台.

课后，听课教师从三个维度对本节课进行了评价.从教学目标来看，能立足学情，以数学史为载体，做到文理综融，贯通中西，注重弘扬数学精神，滋养人文素养；从教学内容来看，注重初高中衔接，适度对接高等数学，深入浅出，雅俗共赏；从教学效果来看，学生积极参与，思考有深度，在交流中不断碰撞出思维火花.

3 结语

总体来看，高中“数学文化”课程的开发与实践活动，仍然处于起步阶段，缺乏可供参考的系统化成果，优秀的课程资源和教学案例不多且零散.[10]为增强课程实施效果，首先要牢记“文化育人”的理念定位，融通文理，着力将数学文化的学术形态转化为教学形态；其次要树立精品意识，扎根实践，长期耕耘，积累数学文化素材，打磨优秀课例进而形成系统化课程.如此，数学文化必能成为提升数学素养、实现融合育人的重要支点.