Schrödinger代数的局部导子

王 鹏, 唐孝敏

(黑龙江大学 数学科学学院, 哈尔滨 150080)

0 引 言

局部导子[1]可视为导子的一种推广, 关于李代数局部导子问题的研究主要是判断其局部导子是否为导子[2-4].自由粒子Schrödinger方程的对称群为Schrödinger李群, 其对应(n+1)-维时空的李代数称为Schrödinger代数[5].Schrödinger代数是一类重要的非半单李代数, 在量子物理中应用广泛.文献[6-10]研究了(1+1)-维时空的Schrödinger代数的结构与表示理论.本文考虑(1+1)-维时空的Schrödinger代数S, 给出其局部导子的结构.

Schrödinger代数S是一个复李代数, 具有基{e,f,g,h,l,z}, 其基之间的非平凡李积如下:

(1)

1 预备知识

本文约定L是一个李代数.

定义1若D满足

D([x,y])=[D(x),y]+[x,D(y)], ∀x,y∈L,

则L上的线性变换D称为L的导子.

记所有L的导子构成的集合为Der(L).易证Der(L)是一个向量空间.对于L中的任意向量x, 易验证L上的线性变换adx: adx(y)=[x,y](∀y∈L)是L的导子, 称为L的内导子.记L所有内导子构成的集合为Ider(L).易证Ider(L)是一个向量空间.

定义2设Δ是L上的一个线性变换, 若对任意的x∈L, 均存在L的一个导子D(x), 使得Δ(x)=D(x)(x), 则称Δ是L的一个局部导子.

记L所有局部导子构成的集合为Lder(L).易证Lder(L)是一个向量空间, 且Der(L)是Lder(L)的子空间.

引理1[6]Der(S)=Ider(S)⊕σ, 其中σ是S的一个外导子且满足如下关系:

注意到adz=0, 由引理1易得如下引理:

引理2Der(S )=Span{ade,adf,adg,adh,adl,σ}.

2 主要结果

设Δ是Schrödinger代数S的一个局部导子, 对于S中的基元l, 由局部导子的定义知: 存在D(l)∈Der(S), 使得Δ(l)=D(l)(l).令Δ1=Δ-D(l), 易见Δ1∈Lder(S)且满足Δ1(l)=0.下面仍用Δ记Δ1.不妨设Δ∈Lder(S)且满足Δ(l)=0.设Δ(e),Δ(f),Δ(g),Δ(h),Δ(z)在基e,f,g,h,l,z下的表示矩阵为AΔ=(aij)6×5, 即有

(Δ(e)Δ(f)Δ(g)Δ(h)Δ(z))=(efghlz)AΔ.

(2)

任取x∈S{0}, 总设

其中xe,xf,xg,xh,xl,xz∈.又设使得

(σ(x) ade(x) adf(x) adg(x) adh(x) adl(x))=(efghlz)Bx.

(4)

对式(4)结合式(1)和式(3), 计算可得

(5)

对于上述x, 由局部导子的定义知, 存在导子D(x)使得Δ(x)=D(x)(x).由引理2,D(x)可表达为

(7)

从而有

(8)

结合式(5), 记

(9)

其中

由式(8)及线性方程组有解的判定定理易得如下引理:

引理3令Δ是S上的一个线性变换, 且满足Δ(l)=0, 则对于任意由式(3)给出的x,Δ∈Lder(S)的充分必要条件是

下面计算AΔ.

引理4如果Δ∈Lder(S)且Δ(l)=0, 则AΔ具有以下形式:

(10)

证明: 证明分为如下四步.

综上, 有

2) 若在引理3中取x满足xe=0,xh≠0, 则由式(9)有

(11)

若在引理3中取x满足xf=0,xh≠0, 则由式(9)有

(12)

根据1)的结果以及式(11),(12)有

a11=-a22.

(13)

取x满足

(14)

再根据引理3和2)的结果有

首先, 在式(15)中取xe=0, 可得

(16)

在式(16)中分别取xg=1和xg=2, 有

(17)

由式(17)有

(18)

在式(18)中取xh=1并分别取xf=1和xf=2, 经计算可得

(19)

其次, 由式(14)知, 若xf=0, 则xh=0.因此取xh≠0即有xf≠0.于是由式(15)和式(19)知, (a63-a31)xe=0.再取xe≠0可得

a63=a31.

(20)

结合式(13),(19),(20)和2)的结果知

当x的系数满足xgxl+xhxz=0时, 由引理3和3)的结果知

(22)

在式(22)中取xh=1, 并分别取xl=1和xl=2易得

a34=a14=0.

(23)

结合式(21)和式(23)可得(a22+a33)xz=0.进而取xz≠0可知

a33=-a22.

(24)

最后, 结合式(23),(24)和3)的结果知AΔ具有式(10)的形式.证毕.

定理1Schrödinger代数S的每个局部导子都是导子, 即Lder(S)=Der(S).

证明: 设Δ°是Schrödinger代数S的一个局部导子, 则由局部导子的定义知, 存在D(l)∈Der(S), 使得Δ°(l)=D(l)(l).令Δ=Δ°-D(l)∈Lder(S), 则有Δ(l)=0.

根据式(1)～(3)和引理4, 有

因此,

于是有Δ°=Δ+D(l)∈Der(S), 故Lder(S)⊆Der(S).显然又有Lder(S)⊇Der(S), 所以Lder(S)=Der(S).证毕.