常规方法切入，破解概率最值

陈 婷

江苏省海安高级中学 (226600)

概率的最值问题是统计与概率部分实际应用中比较常见的一类问题，借助创新情境的创设，结合不同条件来确定概率的最值，为进一步的判断、决策或方案选择等提供条件．结合概率自身的基本特征，在进行概率的最值破解时，经常借助基本不等式方法、比较方法以及导数方法等来达到目的．

1．基本不等式方法

分析：根据相互独立事件的概率公式，结合该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率值来构建关系式，进而结合关系式的变形与转化，利用基本不等式来计算与应用，得以确定对应的概率最大值问题．

点评：此题以相互独立事件的概率公式合理构建概率关系式，结合概率的求法与关系式的变形转化，利用基本不等式及一元二次不等式的求解等，这里利用基本不等式的放缩是最值解决的关键．

2．比较方法

例2 (2023届湖南省永州市高三(上)第一次月考题)我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男、女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：

分钟性别(0,40](40,60](60,90](90,120]女生10404010男生5254030

根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在(60，120]内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”，其中，平均每天体育运动时间在(90，120]内认定为“良好”．

(1)完成下列2×2列联表，并依据小概率值α=0.005的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素有无关联；

不合格合格合计女生男生合计

(2)从女生平均每天体育运动时间在(0，40]、(40，60]、(60，90]、(90，120]的100人中用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取2人，记X为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数，求X的分布列及数学期望；

α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.828

分析：(1)由题意完成2×2列联表，零假设为H0：性别与学生体育运动时间无关联．根据列联表中的数据，经计算得到χ2的值，根据小概率值α=0.005的独立性检验进行判断性别因素与学生体育运动时间的关联；(2)抽取的20人中，女生平均每天运动时间在(0，40]，(40，60]，(60，90]，(90，120]的人数分别为2人、8人、8人、2人，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望；(3)平均每天运动时间在(90，120]的频率为0.2，由题意可知ξ～B(100，0.2)，由此能求出P(ξ=k)的值，并利用比较法进行分析与判断，进而得以确定P(ξ=k)取最大值时对应k的值．

解：(1)由题意完成2×2列联表如下：

不合格合格合计女生5050100男生3070100合计80120200

零假设为H0：性别与学生体育运动时间无关联．

所以X的分布列为：

X012P15319018951190

(3)平均每天运动时间在(90，120]的频率为0.2，由题意可知ξ～B(100，0.2)，所以P(ξ=k)=×0.2k×0.8100-k(0≤k≤100，k∈N)，

点评：在借助比较法判断对应的概率值的大小问题时，可以借助概率值均为正数的特征，或作差比较法，或作商比较法，优化数学运算，往往都可以达到较好的解题体验，提升解题效益．比较法处理概率值的大小关系时，有时还经常综合不等式的放缩与不等式的求解来综合应用．

3．导数方法

例3 (2023届新高考Ⅰ卷C8联考题)进入冬季某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为p(0

参考数据：0.952≈0.903，0.953≈0.857，0.954≈0.815，0.955≈0.774，0.956≈0.7350.957≈0.698，0.958≈0.663，0.959≈0.630，0.9510≈0.599．

分析：根据题意构建概率f(p)的关系式，通过有求导判断单调性即可求出对应最大值时p0的值；列出每个人需要检验次数的分布列，求出对应的期望，当期望最小时，每个人需要做的检测次数最少．

解：依题意，100个人中恰有5人感染病毒的概率是f(p)=×p5×(1-p)95，且00，f(p)单调递增；当p∈(0.05，1)，f′(p)<0，f(p)单调递减.所以f(p)的最大值点是p0=0.05.

当k=2时，E(X)=0.598；当k=3时，E(X)=0.476；当k=4时，E(X)=0.435；当k=5时，E(X)=0.426；当k=6时，E(X)=0.432；当k=7时，E(X)=0.445；当k=8时，E(X)=0.462；当k=9时，E(X)=0.481；当k=10时，E(X)=0.501.

所以k=5时，E(X)最小，每个人需要做的次数最少，故答案为0.05；5．

点评：根据概率的表达式为高次函数类型，借助求导处理，利用函数的单调性的判断与最值的确定来转化与应用，是解决此类概率中的最值时比较常用的技巧方法．借助概率公式，回归函数模型，合理求导处理，是解决概率问题中的函数与方程思想的主要表现．

综上可见，在统计与概率应用问题中的判断、决策或方案选择等应用时，借助概率最值的确定，综合一些比较常用的方法，回归概率的本质属性，借助函数与方程、不等式、导数及其应用等思维，通过应用如基本不等式方法、比较方法以及导数方法等基本方法，实现问题的转化与破解，由此达到解决实际应用中的概率最值问题．