基于大观念、大问题视角下的数学深度教学

刘鑫钧

南京航空航天大学苏州附属中学 (215021)

1 问题的提出

新课程改革以来，自主、合作的探究式课堂精彩纷呈.因此，如何让学生在教师引领下，围绕具有挑战性且揭示本质的问题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的深度教学就显得尤为重要.由于人们总是在一定观念指导或影响下进行活动[1]，而问题又是数学的心脏，因此，以怎样的观念“指路”，设计怎样的问题“引路”，实现课堂的深度教学就成为一个重要的课题.基于这一问题，本文从大观念、大问题的视角出发，探究如何实现数学课堂的深度教学.这就需要厘清三个问题：大观念、大问题是什么？什么教学才是深度教学？基于大观念、大问题怎样实施深度教学从而促进学生深度学习.

2 问题的解决

2.1 大观念、大问题与深度教学的理解

2.1.1 大观念与大问题

大观念不是具体的信息、知识和概念，而是信息的联结者、知识的组织者和概念的搭建者.换言之，大观念指的是知识背后的知识，概念背后的概念，是知识和概念的上层组织者.康德指出：“人类所有的认识都是以观察为起点，然后成了概念，最后以观念作为终站.”[2]康德认为观念就是概念的概念，是知识的最高形态.

大观念具有四个基本的特征：首先，大观念是一种联结，居于学科核心；其次，大观念具有可迁移性和持久性；再次，大观念是抽象的，习得过程缓慢；最后，大观念的表述方式是多样的[3].大观念在数学教学中的表现如下：第一，大观念是数学学科最基础、最本质、最核心的观念，能够反映数学学科的基本特征和规律；第二，大观念是学生通过数学学习能够逐渐形成的，只有理解这些大观念，才能深切体会数学概念的本质；第三，大观念是对数学问题发展、变化的基本判断，有利于丰富学生对问题本质的认识，从而涵养数学核心素养.

大问题是“能够鼓励、启发甚至是要求学生超越特定的主题而帮助学生对所学知识达到更系统、更深入的理解的可迁移的问题[3].大问题不着眼于解决某个具体知识点或具体的问题，而是在大观念的基础上形成的更开放的、更具反思性和整合性的元问题.大问题是数学学科的核心问题，是渗透、落实大观念重要且基本的载体.

大问题具有三个基本的特征：首先，大问题具有开放性：大问题不是事实性问题，不对细节提问，不追求标准答案.其次，大问题具有整合性：大问题之“大”并不是抽象的大，大问题必须落实在学科知识基础之上，必须着眼于核心素养的落实.大问题能促进知识的整合，打破知识、专题的隔阂，以整体思考代替单点突破式的零散学习.最后，大问题具有反思性与迭代性.大问题不是一次就能解决的，大问题会随着学习深入而不断迭代升级，从而实现对大观念进一步深入的感悟与理解.

2.1.2 深度教学

深度教学是让学生深度参与教学过程且深刻把握学习内容的教学.对“深度参与”而言，仅靠记忆、理解等是不够的，还需要操作、体验、批判、反思等学习活动；对于“深刻把握”而言，仅记住知识的符号、含义是不够的，还必须把握知识背后的价值、逻辑、方法以及运用知识进行创造.“深度教学，并不追求教学内容的深度和难度，不是指教学内容越深越好，而是相对于知识的内在构成要素而言，知识教学不停留在符号层面，而是丰富教学的层次，实现知识教学的丰富价值.

深度教学具有两个基本的特征：第一，“深度参与教学过程”的目的是实现学生与学习内容的充分互动，这是深度教学的过程性特征.深度教学必须让学生充分地参与教学过程，因此教师只能进行“有限教导”.在教学中，教师必须尽力控制自己的讲授、指导，给学生充足的学习机会：一方面，教师要“少讲”，以便给学生足够的学习时间；另一方面，教师要“隐身”，以便让学生全身心地投入学习.第二，“深刻把握学习内容”是指要实现学习内容与学生经验体系的充分融合，这是深度教学的结果性特征.因此教师应充分利用学生已有的知识经验，通过创设问题情境将新知识与学生已有的知识经验联系起来，让知识学习成为一个从学生内心生长出来的过程，而不是一个从外部强加的过程.生活情景或问题情境的创设，使理论知识得以活化，让知识有了灵性.教学应该“由‘抽象知识’转向‘具体情境’，注重营造学习情境的真实性”[4].

2.2 基于大观念、大问题的数学深度教学策略

在进行深度教学时，我们首先要明确，什么样的大观念是学生通过不断训练可以逐渐习得的，“大问题”教学中又应当设计怎样的问题？本文以2021年新高考数学Ⅰ卷第22题为例，提出笔者的一些思考.

在高考结束后，笔者与部分高三学生充分交流此题，对于第一问只需对函数求导得到f′(x)=-lnx，x∈(0,+∞).当x∈(0,1)时f′(x)>0，当x∈(1，+∞)时f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减.但是在第二问解决过程中，不少学生感到无从下手，也有学生说老师以前讲过类似的题型，但是在考试过程中忘记了怎么做.事后，找到了类似的一道母题.

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

通过对比题源与高考真题，我们发现无论是题干信息，还是解法套路，相似度极高.那么有个疑问自然就摆在面前：为什么讲过的题型学生在考试中不能独立解决？对于这个问题，每位教师可能有不同的回答，但是有一个不争的事实就是，高三的题海训练是在机械、记忆等低层次的水平上训练.这种过度的训练，学生的思维不但不能得到提升，反而定势，教师的教学行为来源于教师的教学观念，这种观念就是，通过大量做题，就能提高学生解题能力.事实上，很多学生在一轮复习之后，学生的解题水平就定格了，在后面的二轮、三轮复习中几乎得不到发展.怎么解决呢？这就要求教师在教学过程中必须要有“大观念”，并且在教学过程中能设计“大问题”，渗透这种大观念，从而积累基本的数学解题经验，提升数学解题水平.

2.2.1 立足化归树立“同构”大观念，培养学生深度观察能力

何为“同构”，下面以2021届八省联考第8题为例具体阐述“同构”的具体内涵.

例2 已知a

A.c

要发现同构，则需要对试题进行深度的观察，巧妙的变形，将试题内部的一致性结构展示出来，然后构造函数，从而破解问题.从八省联考这样一份具有很强的导向性试卷中，我们发现在平常的解题教学中应当大力培养学生的“同构”大观念.

2.2.2 基于“同构”巧设大问题，培养学生深度转化能力

如何将一个形式上不一致，结构上不同的式子转化为形式上一致，结构相同的式子呢？即设置怎样的大问题实现同构.回到高考题，第二问中主要条件就是等式blna-alnb=a-b，这样就可以向学生提出下面的问题：

问题1 条件等式如何同构？方法有哪些？

显然大问题1不是事实性问题，不对细节提问，不追求标准答案，具有很强的开放性.如果学生感到有困难，则教师需要将大问题1分解为三个小问题：

问题1.1 条件等式属于哪一类式子？

在问题1.1的追问下，学生通过对式子结构的深度观察，发现式子出现对数运算，从而明确此类式子是对数等式，而且细心的同学发现，将a，b互换，式子不变，这样就发现该式属于双变量下对称的对数等式.在明晰式子的特征之后，问题就转化为双变量下对称的对数等式如何同构.从而提出下面的问题.

问题1.2 这一类式子通常的处理方法是什么？具体怎么操作？

同构1 同构等式x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2).

生1：等式处理的基本方法就是加减乘除，对数式子的变形要基于对数的性质和运算法则.

生2：与前面所采用的方法相同，也获得了同构式x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，后面我是这样做的:

解法2：(同构1与构造对称函数)

①先证x1+x2>2，即证2-x11，故只要证明f(2-x1)>f(x2)=f(x1).令g(x)=f(2-x)-f(x)，x∈(0,1)，则g′(x)=-f′(2-x)-f′(x)=ln(2-x)+lnx=ln[-(x-1)2+1]g(1)=0，故x1+x2>2.

②再证x1+x20，∴p(x)在(e-1,e)上单调递增，∴p(x)

同构2 同构出等式x1lnx1=x2lnx2.

生3：我采用的同构方法与前面不同，具体如下：

在问题1解决之后，我们可以看出主要有两个同构式子：一个是x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，另一个是x1lnx1=x2lnx2.那么顺势向学生提出下面问题.

2.2.3 呈现“同构”相关性问题，培养学生深度迁移能力

问题2 同构方法是普遍性？还是针对性？

对于这个问题的回答，可以让学生先交流，然后去寻找在前面已解决的问题中是否出现过同构试题的考察，经过一段时间，学生呈现出大量的同构试题.

相关题1 (2020年全国Ⅰ卷第12题)若2a+log2a=4b+2log4b，则( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：从同构的视角下，先对已知式子作同构变形，然后用函数的单调性求解.通过观察，左边结构简洁，因此，将右边的式子向左边式子的结构化2a+log2a=22b+log2b<22b+log22b，同构变形完成.构造函数f(x)=2x+log2x，易知f(x)单调递增，故f(a)

经过对上述四道试题的分析、探讨，发现同构这种思想在函数、不等式中应用广泛，处理的方法具有极大的相似性：对不等式或等式，亦或是函数，通过变形转化为相同的结构，然后构造一个新函数来解决原问题，这种方法显然是具有普遍性的.

3 结语

《普通高中数学课程标准(2017)》最大的一个亮点就是数学核心素养的提出，要培养学生的核心素养，必须要进行深度教学，即在教学中要有大观念的渗透，让学生对所学知识及方法有一个整体的高层次的感悟、体会，这就需要以大问题引路，设计有助于大观念渗透，有利于思维发展和问题解决的具有开放性、反思性问题，提供“全景立场”，即不同的方法，相异甚至是冲突的观点，在比较中形成自己对知识对象的深刻认识，理性判断，使学生对所学内容更具有系统性，深入性理解，发展学生批判性思维、理性、和创新能力等核心素养.