善用分析法，发展逻辑推理素养——从波利亚的“倒着干”谈起

李秉权

(广东省惠州市惠东县惠东中学 516399)

1 问题提出

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出，数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能[1]，而数学学科核心素养是育人价值的集中体现[1]4．数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．前三个素养是数学的基本思想，后三个是数学能力，这些核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体．其实质是，通过数学的学习，使学生学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展[1]2．

以逻辑推理为例，这是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养[1]5．主要包括两类：一类是归纳推理或类比推理，是从特殊到一般的推理；另一类是演绎推理，是从一般到特殊的推理．逻辑推理是获得数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质[1]5．发展学生的逻辑推理素养就是让学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题，能够在比较复杂的情境中把握事物之间的联系；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神[1]5．

解题教学是数学教学中的重要组成部分，是对数学概念课与原理课的巩固和深化，也是发展核心素养的重要途径．如何通过问题解决发展学生的逻辑推理能力以形成素养？笔者通过阅读解题教学名著——波利亚的《怎样解题》,探索发展逻辑推理素养的策略，发现“倒着干”的思路是发展逻辑推理能力的一种有效途径．

2 波利亚《怎样解题》思想的启示

波利亚是美国著名的数学家和数学教育家，《怎样解题》是其经典的数学教育著作，围绕解题的四个步骤即理解题意、拟定计划、执行计划与回顾反思四个方面详细剖析了解题的思维过程[2]，并列举了大量案例来阐述如何运用书中提到的一系列启发性问题进行解题．其中，“倒着干”章节对学生逻辑思维的培养路径探究很有裨益．“倒着干”也就是运用逆向思维分析的思想解决问题，书中以一个有趣的问题说明“倒着干”的方式和意义．

2.1 “倒着干”题例呈现

问题如果你只有两个容积分别是4 L和9 L的容器(图1)，怎样从一条河中恰好取出6 L水？

图1

解决该问题的常规思维：(1)给定的是什么？两个容器底面相同，则高分别为9和4，而且容器是没有刻度的；(2)我们还不知道怎样量出恰好6 L水，但能测量出别的东西吗？(如果不能解决所提的问题，先尝试去解某道有关的题目，你能从已知数据中得出一些有用的东西吗？)

尝试着对两个桶装来倒去，如果没有成功，又重新开始，尝试别的倒法．就这个问题来说，只是简单地从给定的初始条件到要求的最终情况，从已知数据到未知量，在经过许多次尝试以后，可能会碰巧成功，但显然不容易成功．

倒着干思维(从结论出发进行分析)：(1)要求我们做什么？即最终要达到怎样的状态？由此设想大桶里恰好装有6 L水，小桶是空的，如图2所示．

图2 图3 图4 图5

(2)研究所求的结论可根据什么前提得出？可以将大桶装满9 L水，然后再倒出恰好3 L水，因此小桶必须正好有1 L水，如图3所示．

(3)再研究上一步即小桶的1 L水又可根据什么前提得出？通过大桶和小桶的容量差可以量出1 L水，即将大桶装满，然后倒出4 L到小桶中，再将小桶中的水倒掉，这样连续两次，则大桶中剩下1 L水，如图4所示．然后将大桶中剩下的1 L水倒进小桶即可，如图5所示．

(4)剩下要做的是把这一过程反过来，从分析过程最后到达的点开始，沿着分析的步骤回溯，找到适当的操作程序，并最终成功解决问题．

2.2 “倒着干”蕴含的数学思想

首先，“倒着干”的解题方法步骤：(1)从要求的结果出发，并且假设结果已经出现；(2)研究相应的结果可根据什么前提1推出；(3)再研究前提1是根据什么前提2得出；(4)继续再研究前提2又是根据什么前提3得出；(5)循环上面步骤，最终得到某些已知的条件或结论；(6)最后把这一分析过程反过来往回溯，从已知的条件或结论开始综合论证，最终找到解决问题的方法，实现对问题的解决．

显然“倒着干”的解题思路就是分析法，解答的书写过程则是综合论证推导．分析与综合是探索问题的两种思路，分析法是从结论一步步反推成立前提直到推出已知的过程，而综合法是从已知出发一步步推导论证最后得出结论的过程．问题解决是分析与综合相结合的过程，分析在前综合在后，通过分析获得解决问题的思路和方法，运用综合逻辑表达解题过程．分析存在于思维之中，综合存在于行动之中；分析是设计方案，综合是执行方案．所以分析锻炼人的逻辑思维、发展人的创造力、提高人的问题解决能力；综合是有逻辑的表达与交流.在教学中善用分析辅之综合，有助于发展学生的逻辑推理素养．

“逐行规格化，按列消元”方式的计算特点：对第i列元素消元计算，只要调用第i行对角元素及以右元素。如对整个第1列元素消元，只要调用第1行对角元素及以右相应元素；对整个第2列元素消元，只要调用第2行对角元素及以右相应元素即可。此时元素调用方式只有单纯的行或列循环，特别便于编写程序，因此计算效率更高。如果在对称方程组的因子表的形成过程再考虑对称稀疏矩阵技术的应用，则其计算效率将更远远高于前者(由于篇幅所限，另文讨论)。

3 适用分析法的题例特征及解题思路剖析

一般而言，题目满足以下两种情形之一，可以考虑用分析法来尝试寻找问题的解决方案．一种是从正面出发很难找到解决问题的切入点，另一种是可以从正面解决但讨论太困难、繁琐或难以找到分类讨论的标准等．

3.1 正面解决没有切入点

正向思路 抽象函数y=f(x)，显然从正面作图象变换没有具体函数作为切入点．

3.2 正面解决比较繁琐

案例2(2007全国I卷理)设函数f(x)=ex-e-x．证明：(1)f(x)的导数f′(x)≥2；(2)若对所有x≥2都有f(x)≥ax，求a的取值范围．

分析法(倒着干) 设g(x)=ex-e-x-ax，则“对所有x≥0都有f(x)≥ax”等价于“g(x)≥0在x≥0时恒成立”．因为g(0)=0，所以问题又等价于“g(x)在[0,+∞)上为增函数”(此时发现了讨论的标准，找准了解题方向)．

3.3 分析法解决几何问题

分析法也是解决许多几何证明题和结构不良题的一把利剑，在培养学生空间思维能力和直观想象能力的同时，也发展逻辑推理素养．

案例3如图6所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别在AA1,CC1上，且B1E⊥A1B，B1F⊥BC1．求证：BD1⊥平面B1EF．

图6

证明因为长方体中A1D1⊥平面A1ABB1，B1E⊂平面A1ABB1，所以B1E⊥A1D1．因为已知B1E⊥A1B，且A1B∩A1D1=A1，所以B1E⊥平面A1BD1．因为BD1⊂平面A1BD1，所以B1E⊥BD1．同理B1F⊥BD1．又因为B1E∩B1F=B1，所以BD1⊥平面B1EF．

案例4(2023年惠州一调)如图7，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，AC∩BD=O，M是PC上的一动点，当M点满足时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为正确的条件即可)

图7

分析法(倒着干) 从结论出发，要使平面MBD⊥平面PCD，等价于在平面PCD内寻找一条直线(选PC)垂直于平面MBD，即等价于寻找一条直线(选PC)垂直于平面MBD内两条相交直线．又因为△PDC≌△PBC，由此发现只需PC⊥DM，则可得PC⊥BM，即可得PC⊥平面MBD，从而可得平面MBD⊥平面PCD．

4 结语

新课标下要求教师要与时俱进地更新教学观念，创新教学方法，探寻有效的教学模式，发展学生的核心素养．善用分析法是发展学生逻辑推理素养的有效路径，教学中要重视引导学生由问题的结论入手，逐步推理分析出解决问题的思路，再由综合法表达解决问题的过程．以分析法(倒着干)为驱动，使学生经历一个推理证明、逻辑表达的论证闭环，真正地让逻辑推理素养落地，促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展．