在创设“问题情境”中发现数学——以“初识圆锥曲线”一课为例

王文杰

(江苏省苏州工业园区星海实验中学 215021)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《标准》)在教学建议中提出：基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养[1]．那么教师如何在问题情境中引导学生发现数学，培养学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力？笔者在一次省外教学交流活动中开设研讨课“初识圆锥曲线”，对数学课堂教学中实践“问题情境中发现数学”进行了尝试与探索，现将教学过程及思考总结整理如下，与同行分享．

1 教学分析

关于本课教学内容，在高中数学人教A版选择性必修第一册第三章“圆锥曲线的方程”的前言里，只简单叙述了用平面截圆锥面得到圆锥曲线．而本节课研究的主要目的是要让学生感受到“数学知识”与“现实生活”的紧密联系，学会看到生活中的数学问题，即“学生会用数学眼光观察世界”．另外，本课从“感知静态的圆锥曲线”到“探索动态的圆锥曲线”，既符合圆锥曲线发现和研究的历史，渗透数学文化，又遵循学生认知的规律，知识研究循序渐进．

教学目标 (1)通过平面截圆锥面，感知静态的圆锥曲线；(2)通过创设情境，探索动态的圆锥曲线，发现圆锥曲线的特征，掌握圆锥曲线的定义；(3)会用数学眼光观察世界，感悟数学文化，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力．

2 教学过程

2.1 设置情境，引出问题

情境1 生活中你见过这些图形吗(图1)？

图1

师：同学们，我们生活中见过这些图形吗？我们看到过哪些特别的曲线？

生(合)：见过……

设计意图借助学生身边常见的图形，激发研究兴趣，逐步引出研究的问题．

情境2 观察圆锥形酒杯的液面，发现水平放置时与微倾时液面图形有何变化(图2)？

图2

师：请观察老师手中酒杯的液面，有什么变化？

生：圆锥形酒杯中液面从一个圆面变成了一个“扁圆”面．

师：轮廓曲线呢？

生：从圆变成了“扁圆”．

师：那什么是“扁圆”？“扁圆”又具有怎样的特征呢？

设计意图用生活实例现场演示，让学生“真”观察，进一步激发探究热情，并引导学生要善于观察生活，善于发现问题．

情境3 公元前3～4世纪，不少古希腊学者在圆锥面中用截面截得不同的曲线．请4～5位同学合作：观察课桌上的几何模型(图3)，若用一个平面截该模型，可以得到几种曲线？

图3

学生观察讨论后，教师动态演示结果(图4)．

图4

生：……

师：我们分别称其为椭圆、双曲线、抛物线．又因为这三种曲线最早都是由截圆锥面得到的，所以又将其统称为圆锥曲线．

师：今天我们重点研究圆锥曲线中的椭圆．

设计意图历史文化与现代科技结合，让学生“知其然”又“知其所以然”．

情境4 模拟点光源投影实验．

师：如果点光源位于球心的正上方，平面上的投影是个圆面，轮廓曲线就是个圆(图5)；如果点光源稍微偏离正上方一点，平面上的投影是个椭圆面，轮廓曲线就是个椭圆(图6)，其实就相当于情景3中的平面截圆锥面得到的曲线椭圆．

师：类比圆的特征，你能发现椭圆的特征吗？

生：圆上的点到切点(圆心)的距离等于定值．椭圆上的点到切点的距离不等于定值．

师：为什么不是定值？

生：因为切点有点偏在右侧．

师：提醒一下，椭圆图形好像也有对称性的，如果考虑对称性，左侧是不是也应该有个切点比较合理？这个切点怎么得到呢？我们可以在投影的下方放一个球，这个球与上方的球一样，满足：与投影面相切，与圆锥面相切(图7)．当有两个切点后，你的想法是什么？

生：曲线上的点到两切点的距离之和是否是定值？

师：好．下面我们一起来证明它．如图7，过点M作圆锥面的一条母线分别交圆O1，圆O2于P，Q两点，因为过球外一点作球的切线长相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，所以MF1+MF2=MP+MQ=PQ，即MF1+MF2=定值．

师：上面的证明，最早是在1822年由比利时数学家丹德林(1794—1847)发明的，我们将其称为丹德林双球实验．

设计意图考虑数学课堂上实现点光源投影实验有一定难度，且为避免教学重点“本末倒置”，所以简化为模拟点光源投影实验，既让学生体会到生活实例的熟悉感，又快速引出对椭圆定义的研究．

2.2 数学建构，探究问题

问题：类比“圆”的定义，你能给出“椭圆”的定义吗？

师：平面内到一定点O的距离等于定值(定值大于零)的点的轨迹叫作圆，这个定点叫作圆的圆心，定值叫作圆的半径．那么椭圆的定义呢？

生(讨论后，合作补充完成)：平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1,F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．

设计意图通过生活中实例、问题情境的引导，学生发现数学问题，并将发现的“数学”抽象概括，培养数学的核心素养能力．当然抽象概括数学的概念、性质、定理等都是数学教学的难点，学生的数学抽象能力不是一蹴而就的，但是也不能因“数学抽象”是难点就避而远之，读教材、抄板书是培养不出学生的数学抽象能力的．本节课在数学知识建构时，引导学生思考“圆的定义”，教会学生用“类比”开放式的思维方式去抽象概括，并以师生合作、生生合作的方式慢慢“打磨”椭圆概念，以此培养能力，提升素养．

2.3 数学运用，解决问题

例由2～3位同学合作，试用所给的棉线画出一个椭圆．

师：你确定你画的曲线是“椭圆”吗？若是，请说明理由；若不是，也请找出问题．

设计意图学会运用数学的眼光观察世界，生活中处处都是数学，学生拿着一条棉线画出一个个“圆扁不一”的图形时，心中已经感受到数学无限的魅力．当然教师会充分挖掘“圆扁不一”的图形的价值，追问学生：所画图形是不是椭圆？如果是，理由呢？如果不是，为什么？进而让学生看着自己画的“圆扁不一”的图形，进一步认识椭圆的定义，内化数学知识，升华教学重点．

3 教学反思

3.1 “问题情境”是学生发现数学的窗口

本节课的四个问题情境，从静态初识“圆锥曲线”到动态初识“圆锥曲线”，从生活中的“圆锥曲线”到数学图形中的“圆锥曲线”，从感性地发现“圆锥曲线”到理性地证明“圆锥曲线”，既符合数学历史上发现与发展的客观实际，又遵循学生发现数学的认知规律．《标准》中指出：“教学情境和数学问题是多样的、多层次的．教学情境包括：现实情境、数学情境、科学情境，每种情境可以分为熟悉的、关联的、综合的”[1]．所以教师设计的问题情境不仅要很好地引出新知，更要在潜移默化间让学生感受数学知识与现实世界之间的密切联系，要简洁高效、精彩有效、科学正确，不能“哗众取宠”“喧宾夺主”，也不能“简单堆砌”“不知所云”，更不能“歪曲历史”“违背科学”；教师设计的问题情境要结合现实生活、研究数学文化、综合其他学科的知识，要洞悉学生的学习“兴趣点”、了解学生知识的“最近发展区”，要把握课堂教学的方向和目标，要让学生感到既“远”又“近”、既“陌生”又“熟悉”、既“精彩”又“科学”．只有这样设计的问题情境才是学生喜爱数学、发现数学的窗口．

3.2 “问题情境”是学生思考数学的引擎

高中数学课程学习要提高学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，这就要求教师设计的问题情境是多样的、多层次的、变化的、灵动的．例如：本课师生探究情境2时，学生课堂意外生成“扁圆”，教师借力追问：“什么是‘扁圆’？‘扁圆’又具有怎样的特征呢？”；当学生用棉线画出“圆扁不一”的图形时，教师适时提问：“你确定你画的曲线是‘椭圆’吗？若是，请说明理由；若不是，也请找出问题．”教师要做好学情分析，了解学生的兴趣点、挖掘学生身边的数学素材、把握知识之间的相互联系，善用“追问”提好问题，让学生在“问”与“答”之间、“思考”与“再思考”之间，学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，让学生在思考和解决问题的过程中，理解数学内容的本质，只有这样设计的问题情境才是学生思考数学的引擎、学生核心素养培育的点火器．