巧借问题表征之力驱动数学建模能力

徐冰 山东省东营市实验小学

问题表征是指在头脑中对一个问题信息进行记载、理解和表达的方式。数学表征能力是数学解决问题过程的一个重要阶段，恰当的问题表征是成功解决问题的前提条件。

一、问题表征的内涵

随着科学技术的不断进步，数学广泛渗透在人们的日常生活中，“大众数学”的倡导使得“能够准确形象地用合适的表征方式表达数学”显得格外重要。“表征系统”这一概念是由美国学者首次提出的。新加坡数学课程标准（2007 年）中提出：在问题解决和探索中使用直观表征，比如模型、图表、图像、图形等。在我国，问题表征在数理化应用题中的研究比较早，徐明（2002 年）将数学问题的外在表征形式分为了五类：文字表征、数式表征、图表表征、模型表征和实验表征。

问题表征，是数学问题在学生头脑中的理解、呈现、表达和记载方式。问题表征能力是指在问题解决过程中，学生综合运用观察、操作、分析、综合等思维方式，将“数学问题所包含的有效信息”同“自身储存的知识经验”进行主动建构，促进“数学问题”转化为“图像模型”“符号模型”等数学模型，并应用模型解决问题的一种思维能力。问题表征能力是数学建模能力的核心。问题表征能力的强弱决定着学生对数学问题的理解程度，决定着学生问题解决能力的发展水平。也就是说，如果一个数学问题得到了恰当的表征，那么这个问题就解决了一半。

本文从数学建模的角度出发，将“问题表征”与“解决问题”有机地联系在一起，在课堂中鼓励学生用多种表征方式解决问题，譬如借助情境、语言、图形、符号等可以帮助学生理解题意，形成解决问题的思考方法，从而培养学生多元化的数学表征方式，提高学生的数学表征水平，并通过对比、分析、抽象顺利建立数学模型，从而解决数学问题，发展学生的数学建模能力。皮亚杰认为：“7～11 岁儿童的认知结构由前运算阶段的表象图式演化为运算图式。该时期的心理操作着眼于抽象概念，属于运算性（逻辑性）的，但思维活动需要具体内容的支持。”因此，在教学过程中，教师要引导学生用图形、符号、表格等方法表征问题，从而支持学生的思维活动，把抽象的数学问题直观化、具体化，促进“数学问题”转化为“图形模型”“符号模型”等数学模型，有助于学生探索解决问题的思路和方法，提升数学建模能力。

二、问题表征在数学问题解决中的教学实践

（一）图形表征

图形表征是有效构建数学模型必不可少的表征方式。在具体的教学实践中，当学生遇到抽象难懂或复杂难解的数学问题时，可以通过“实物图”“示意图”“线段图”等多种方式，将抽象的“数学问题”转化为直观的“图形模型”，使抽象的“数学问题”直观化、形象化、模型化。同时，这一过程能够发展学生的具体形象思维和抽象逻辑思维能力，增强学生的问题解决能力和数学建模能力。

图形表征有利于学生由直观形象思维逐步向抽象思维过渡，从而突破教学内容中的关键问题或疑难问题。借助图形表征，学生可以梳理数量关系，顺利建构数学模型。

【案例1】求比一个数多几的数（青岛版数学五四制二年级下册第67页）

1.问题情境

学生根据情境图找信息、提问题：黄鹂有46 只，喜鹊比黄鹂多8只，黄鹂有多少只？

2.建立模型

师：你能用画一画的方法将信息和问题整理一下吗？

（1）学生尝试用画一画的方法整理信息和问题。

（2）展示交流。

第一种方法：

用46 个小圆圈表示黄鹂的只数，下面一行圆圈表示喜鹊的只数。多出的圆圈，表示喜鹊比黄鹂多的只数。

第二种方法：

师：对比第一种方法和第二种方法，你更喜欢哪一种呢？

生：我更喜欢第二种方法，因为第一种方法一个一个画太麻烦了。

第三种方法：

生问：多的8只在哪里呢？

师：怎样画一画让别人一眼看出多8 只呢？谁有办法？

（一学生到投影下画一画）

师：这条虚线真巧妙，把喜鹊的只数分成了两部分，是哪两部分呢？谁能结合图说一说呢？

生：虚线前面的是“和黄鹂同样多的部分”，虚线后面的是“比黄鹂多的部分”。

师：再来对比第二种方法和第三种方法，你更喜欢哪一种方法呢？

生：我更喜欢第三种方法，因为这样画一个直条更方便了，数多大都可以。

（3）借助直条图，解决问题（略）

3.拓展应用

师：还是这个直条图，你能根据这个直条图编一个数学故事吗？

生1：我们班有男生20 人，女生比男生多5 人。女生有多少人？

生2：我的体重是35 千克，妈妈比我重20 千克。妈妈的体重是多少千克？

生3：……

德国数学家戴维·希尔伯特在其著作《直观几何》一书中提到：“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题，也可以帮助我们寻求解决问题的思路，还可以帮助我们理解、记忆所得到的结果。”由此可见，图形对于解决数学问题而言非常重要，利用图形可以化抽象为形象，帮助学生提升抽象逻辑思维能力。因此，在本案例中，教师放手让学生用多种方法来表征数量关系，并对这些方法进行了两次对比，第一次对比是一个一个画和十个十个画之间的对比，你喜欢哪一种？学生会清楚地看到一个一个画太麻烦了，从而感悟第二种方法的简便性。第二次对比是十个十个画和直条图之间的对比，你更喜欢哪一种？有了第一次对比的经验，学生自然会想到，如果数更大，十个十个画也很麻烦，而一个小直条不仅可以表示46 只喜鹊，也可以表示460 只喜鹊，甚至可以表示更大的数，从而使学生感悟到直条图表示数量的简便性。小学生的思维发展离不开直观的支撑，所以在本案例中，利用直条图帮助学生感悟抽象的数量关系，在对比中逐步建立数学模型，学生的问题解决能力由此得到有效培养，此后解决“比一个数少几的数”的问题就水到渠成了。

（二）符号表征

所谓“符号表征”是指将数学问题中的信息或关系抽象为用数学符号表示的算式、公式、字母式等，借以分析和解决数学问题。符号表征是分析关系和解决问题必不可少的一种表征方式。

【案例2】搭配问题（青岛版数学五四制二年级下册第34-35页）

1.问题情境

学生根据情境图找信息、提问题：2 件上衣、3 条裙子。一件上衣和一条裙子任意搭配，有几种不同的穿法？

2.建立模型

（1）探究：用摆一摆、写一写、画一画等方法探索搭配方法。

（2）汇报交流，讲解自己的方法，建立模型。

（3）对比优化。

师：这么多的方法，你更喜欢哪种方法呢？

生1：我喜欢用图形表示的，这样很方便。

生2：我喜欢用字母表示的，写起来很简单。

师：对啊，写字、画实物图的方法都很麻烦，在数学中我们经常会用一些符号来代替实物或者文字，这样就简单多了。

（4）借助符号模型，解决问题

师：一共有多少种搭配方法呢？

生1：我数了数一共有6 条线，所以有6 种搭配方法。

生2：2×3=6（种）

3.拓展应用

（1）早餐搭配：3 种饮料，4 种点心。一种饮料配一种点心，有多少种不同的吃法？

（2）学生独立思考，在作业本上画一画、连一连。

（3）展示部分学生的方法，说一说自己的搭配方法。（略）

建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。在本案例中，教师给学生提供了衣服图片的学具，学生可以借助图片摆一摆、画一画、写一写。通过对比，学生感受到用符号代替实物的简便性。“符号”铺就了模型建立之路，提升了学生的数学建模能力。

（三）表格表征

所谓“表格表征”是指将数学问题中的信息或关系抽象化为图表，借以辅助分析和解决问题。表格表征是直观呈现数量关系模型、有效解决问题的一种辅助性工具和策略。表格简单明了，有助于分析比较复杂的数学问题，发现规律，建立模型。

【案例3】解决问题的策略——表格列举法（青岛版数学五四制一年级下册第75-76页）

1.问题情境

学生根据情境图找信息、提问题：从第一天开始种1棵树，以后每天比前一天多种1棵树。4天一共要种多少棵树？

2.建立模型

师：请大家用自己喜欢的方法把信息表示出来，写在作业本上。完成后和同桌交流一下你的想法。

（1）自主探究。

（2）汇报展示，建立模型。

（3）对比优化

师：对比这几种方法，它们有什么相同点和不同点？

生1：这些方法都是把每一天有几棵都列出来了。

生2：有的方法是写数字，有的方法是画一画。

师：这些方法，你更喜欢哪一种呢？为什么？

生：我更喜欢第三种，因为前两种还得去数一数每天有多少棵。

师：是啊，如果100 天一共种了多少棵数，我们去画一画，你们觉得怎么样？

生1：很麻烦，画很长时间。

生2：直接写数简单，一眼就看出每天种了几棵。

师：通过大家的对比，我们发现第三种方法简单、清楚。第三种方法你们能看明白吗？

师：这四行分别表示什么呢？（用黑色彩笔画出4行，第一天1棵，第二天2棵，第三天3棵，第四天4棵）

生：第一行表示第一天种的棵数，第二行表示第二天种的棵数，第三行表示第三天种的棵数，第四行表示第四天种的棵数。

师：说得真清楚。那这两列又分别表示什么呢？（天数和棵数分为2列）

生：第一列表示天数，第二列表示每天种的棵数。

师：看，我们给第三种方法加上了表格，你能给这种方法起个名字吗？

生：表格法。

师：我们在表格里，把每天种的棵数都列举出来了，这种方法在数学上叫表格列举法。

（4）借助表格，解决问题

师：这个“表格列举法”非常清楚、明白，方便我们解决问题。根据表格中列举的信息，你会计算4 天一共种了多少棵树吗？

生：1+2+3+4=10（棵）

3.拓展应用

一本书一共有64页。小娇周日看了6页，以后每天比前一天多看2页，周五时她能看完这本书吗？

师：请大家独立完成，完成“作业单”。

（1）学生独立列表格解决问题。

（2）展示、汇报。（略）

本案例中，学生第一次接触列表格整理信息，解决问题，以前接触的都是根据文字或现成的表格，直接列算式解决问题，所以“表格法”对学生来说有一定的挑战。基于学生的认知水平，本案例中，首先，放手让学生自主表征问题，通过对比“它们有什么相同点和不同点”体会画图和表格法之间的联系，让表格法的学习有所依托。其次，“你更喜欢哪种方法？”学生会感悟到使用表格法不仅可以清楚地看到数据，还可以看出数据的变化规律，从而能快速地解决问题。最后，教师没有着急告诉学生“第三种方法我们画上线，这就是表格法”，而是通过“这四行分别表示什么呢？”“那这两列又分别表示什么呢？”这两个问题的引领，使表格跃然纸上。这样的制表过程，逐步引导学生经历了表格的形成过程，有利于学生读懂表格，从表格中抽象出基本的数量关系，建立模型，把握同一类型问题的解题策略。

总之，问题表征在数学问题解决中具有重要促进作用，对改善学生的学习方式，优化学生的数学思维结构等有促进作用，应该在日常数学学习中引起重视。