基于大概念视角的三序融合数学概念教学

程建新　胡艺

摘  要：基于大概念视角，围绕学生的学习路径设计教学，针对“弧度制”一课，尝试采用“三序融合，问题导学”的方法进行学习过程的设计，探索实现单位制构建“为学而教”的基本教学策略，“学为中心”的教学设计充分考虑知识的发生、发展过程和学生理解知识的心理过程，使知识序、认知序自然融合为学生的学习序，更有利于学生的学和教师的教.

关键词：大概念；概念教学；学为中心；学习路径；弧度制

一、问题提出

在日常教学过程中，有些教师会更多地关注知识发生、发展的逻辑，而忽视学生的认知心理过程，长此以往造成学生被动地接受知识；也有些教师虽然重视学生的认知心理，但是对于数学知识和概念发生、发展的过程理解得不到位，无法有效促进学生的深度学习. 由此可见，学习真正发生的基本条件是数学知识的逻辑性与学生认知心理的逻辑性理解的同构. 因此，教师在教学设计时应该同时考慮这两条路径，使之自然融合为学生的学习路径，实现为学而教.

学习路径（学习序）是对学生学习某一具体的数学对象、数学概念时思维与学习过程的描述，以及一个相关的、设想的路径，该路径包含了一系列指向教学目标的教学任务，以及基于学习路径的教学设计. 在学生的学习过程中，还有另外两条路径，即知识发生、发展的过程（知识序）和理解知识的心理过程（认知序）.

基于大概念视角，笔者以“弧度制”（第1课时）学习路径的设计为例，谈谈如何将知识序、认知序自然地融合为学生的学习序.

二、知识的发展路径分析

1. 大单元主题

主题单元教学是本次课改的一个重点与亮点，这要求我们在“大单元”视角下进行课时教学设计. 同时，要让学生深入把握一些具有统摄性的大概念. 例如，抽象一个数学对象的思维过程，定义一个数学概念的方式，研究一个数学对象的基本方法，等等.

“弧度制”是人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统称“教材”）第五章“三角函数”第5.1.2节的内容，其涉及的大概念是构建单位制的一般过程. 本节课要让学生理解构建一种单位制的一般过程是什么，学会运用基本活动经验去研究更多的量.

“三角函数”是“弧度制”一课所属的大单元. 在这个单元中，我们通过旋转将角的概念推广到任意角，并在此基础上探究构建角的另外一种度量制——弧度制，它为后续定义和研究任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角函数的图象与性质奠定了基础.“三角函数”大单元结构如图1所示.

2. 内容解析

关于度量，学生在初中学过两类：一类是线段、平面图形和空间图形的大小度量，是十进制，其中线段的长度是基础；另一类是“用角量角”的角度制，是六十进制. 弧度制的基本思想是在同一度量单位下，用圆的弧长与半径的比值来度量角.

与角度制相比，弧度制有很大的优越性. 一是用十进制取代了六十进制，便于数的比较. 二是便于后续定义三角函数. 函数是两个实数集之间的对应关系，实数采用的是十进制，角的度量采用的是六十进制，与函数定义不符. 为了研究周期现象，需要引入十进制的度量制，将角的集合与实数集建立一一对应关系，从而使三角函数的自变量和函数值都变为实数. 尽管在角度制下也可以定义三角函数的概念，但是在后续的研究中，自变量与函数值单位不统一会引起很多麻烦. 三是在微积分中使用弧度制后众多公式可以简化，从而推动了微积分的发展和普及.

三、学习的认知路径分析

1. 学生已经具备的认知基础

本节课的授课班级是某校高一重点班，学生数学基础扎实，具有探究热情. 从知识层面来看，学生已经学过用角度制度量角，掌握了射线旋转形成角等知识；从能力层面来看，学生具备一定的数学感知与观察能力，积累了一些不同度量系统之间换算的基本活动经验. 这些都为本节课探究的顺利开展奠定了基础.

2. 教学难点及破解策略

（1）引入弧度制的必要性.

学生在初中时一直用角度制来度量角，对于突然引入一种不同的单位制来度量角会感到不适应，不理解为什么要引入弧度制. 对此，我们通过以下方式帮助学生理解.

① 角度制换算的复杂性. 让学生通过计算，初步感知角度制在单位换算时十分烦琐，扇形的弧长与面积公式并不简洁.

② 定义三角函数的基础. 回归弧度制概念的本质，理解弧度制是十进制数，为后续定义任意角的三角函数奠定基础，建立角的集合与实数集之间的对应关系.

（2）用线段长度度量角的合理性.

学生通过类比体积、质量等物理量的度量，联想到可以用线段的长度来度量角，但是难点在于这样的长度有很多，如垂线段、弦长、弧长等. 因此，本节课要让学生通过探究，排除垂线段和弦长，走向弧长，自然地生成用弧长与半径的比值来度量角的学习路径，经历完整的单位制构建的一般过程.

（3）明确弧度制概念的本质.

笔者通过创设问题情境，引导学生用长度度量角，即用十进制的实数来度量角的大小，从而引发学生思考“用哪个长度度量角比较合理”. 为此，笔者设计了几个探究问题，学生通过不断探究质疑，发现弧度制的本质是用单位圆的弧长（值）来度量角的大小. 这样的学习路径更能体现知识发生、发展的过程和学生理解知识的心理过程.

四、学习路径的基本流程设计

基于以上认知路径分析，确定本节课的学习路径基本流程如图2所示.

五、“学为中心”的问题导学过程设计

1. 弧度制引入的必要性

问题1：试用文字解释1°的角是如何定义的？

【设计意图】引导学生回顾角度制是如何定义的，为后续探究如何定义1弧度角做铺垫.

单位制的构建一般都是从现实的度量需要开始，进而经历了定单位1、定量表示、单位换算的过程. 由此设计以下问题.

问题2：已知扇形的圆心角为[32°11′27″，] 半径为2，求扇形的弧长与面积.

【设计意图】通过角度制计算，让学生初步感知角度制换算的复杂性，为引入一种新的单位制——弧度制做铺垫.

问题3：完成下列单位换算.

（1）[4]米[8]分米[7]厘米 =______米；

（2）[12]米2 [9]厘米2 =______米2；

（3）[1]千克[58]克 =______千克；

（4）[1]时[14]分[36]秒 =______时.

【设计意图】通过换算，让学生进一步比较十进制换算与六十进制换算的复杂程度，激发学生尝试探究用十进制的实数表示角的欲望，以使运算简便.

问题4：你知道哪些量是通过长度来间接度量的？

学生举出一些具体实例，如质量、容量、时间、温度、力、电流和电压等. 明确长度是度量之本.

2. 用长度度量角的探究过程（合理性）

问题5：如图3，尝试用长度来刻画以下两个角的大小.（纸上画着30°和60°的角，但是角度未标出.）

师：你认为可以用哪段长度来刻画角的大小？你是怎么刻画的？

生1：如图4，用垂线段m的长度来刻画角的大小.

生2：也可以用弦长n的长度刻画角的大小.

教学预设：（以用弦长n的长度刻画角的大小为例）学生首先直观感受到∠2更大. 如果以两个角的顶点为圆心，任意取半径画圆得到弦长n，发现∠1所对应的弦长可能会比∠2对应的弦长“大”，这样就与直观产生了认知冲突，因此要以相等的半径画圆.

师生活动：教师让学生填写表1，并收集学生所取圆的半径及对应的长度测量值.

师：通过表1可以发现，对于同一个角，当所取圆的半径长度不同时，其所对弦长不同，故用弦长刻画角的大小显然不合适，应该如何解决？

生：取相等的半径.

师：不如半径都取1，即单位圆. 在单位圆中，可以用弦长[n1]和[n2]刻画∠1和∠2的大小.

随后，教师说明∠1和∠2的大小分别为30°和60°，让学生精确计算其对应的弦长. 学生算得[n=2sinθ2，] 并利用三角函数表得到具体数值. 通过计算，学生发现∠2和∠1所对的弦长之比并不等于角度之比，即弦长与角度呈现非均匀变化. 教师利用几何画板软件帮助学生进一步感受相应变化.

师：既然∠2和∠1的弦长之比不等于角度之比，那么在单位圆中用弦长来刻画角的大小显然是不合适的. ∠1和∠2中哪两条线段的长度之比会与角度之比相等呢？

教师进一步引导学生在单位圆中用弧长刻画角度的大小.

师：除了取相等的半径以外，当半径不相等时，还能用弧长直接刻画角的大小吗？

教师利用几何画板软件直观呈现图形，学生发现对于同一个圆心角，取不同的半径时其所对弧长也不同. 然后，引导学生利用弧长公式证明：当角的大小确定时，弧长与半径的比值[lr]唯一确定. 在单位圆中，弧长与半径的比值就是弧长（值）.

【设计意图】让学生动手探索如何用长度度量角，经历用弧的长度与半径的比值来度量角的过程，将知识序和认知序自然融合为学生的学习序.

六、“学为中心”的学习路径设计的思考

1.“三序融合，问题导学”的学习路径设计基本流程

“学为中心”的课堂要求教师站在学生的立场考虑问题，在教学设计时，要创设适合学生的学习路径，具体可以按照“三序融合，问题导学”的流程来进行课堂教学的设计与组织，如图5所示.

第一，教师要充分理解数学知识及其发生、发展的过程. 只有充分理解数学知识的逻辑路径，才能找到关键节点，实现知识“再创造”的教育价值. 例如，对于本节课的教学，只有分析清楚弧度制度量的本质是用长度（十进制数）去度量角，让学生探究用不同的长度（垂线段、弦长、弧长等）度量角，从而形成认知冲突，经历从不等圆到等圆（单位圆）再到同心圆的探究过程，学生才能真正理解为什么要用弧长与半径的比值来度量角的大小，而这个比值的本质就是单位圆中的弧长（值）.

第二，教师要深入了解学生理解数学知识的心理过程. 对于本节课的教学，教师要充分分析学生在探究用长度度量角时可能会出现的困难. 例如，在单位圆中，学生通过计算发现同等半径下，弦长越大，其所对应的角度越大，但是能否用弦长度量角，学生在判断上是有困难的. 教师只有清楚学生在探究过程中可能会出现的問题，才能进行有效预设，引导学生发现弦长之比和角度之比不相等，因此在单位圆中用弦长来刻画角的大小是不合适的.

第三，教师要善于设计问题引领学生的探究与学习. 数学教学设计的核心是问题的设计，教师要善于设计能够引发学生深度思考的问题串，组织学生进行有效的数学思维活动. 不仅要帮助学生理解知识序和认知序，还要设计问题导学过程引导学生通过问题串真正理解引入弧度制的必要性，以及用长度度量角的合理性，促使学生真正经历这一理想的学习路径.

2.“三序融合，问题导学”，促使学生有目的地思考

本节课通过“三序融合”的方法进行教学设计，注重知识发生、发展的过程，帮助学生理解弧度制概念的数学本质，让学生经历单位制构建的一般过程，使得弧度制概念教学上升了一个高度，更重要的是促进了学生有目的地思考：为什么要引入弧度制？怎样度量角比较合理？如何定义1弧度角？弧度制的优越性在哪里？如此，弧度制教学可以包含更多高阶思维的目标.

参考文献：

［1］张昆. 整合数学教学设计的取向：基于知识发生的逻辑取向与心理取向研究［J］. 中国教育学刊，2011（6）：52-55.

［2］曹建军. 将知识序、认知序自然融合为学生的学习序：以“去括号法则”学习路径的设计为例［J］. 中学数学月刊，2021（10）：10-13.

［3］朱婷婷，端木彦，黄智华. 基于“大单元”及“大观念”视角下的教学设计：以“弧度制”为例［J］. 中小学数学（下旬），2020（12）：27-30.

作者简介：程建新（1985— ），男，高级教师，主要从事高中数学教学研究；          胡艺（1987— ），男，一级教师，主要从事数学教育研究.