一道解析几何高考题的背景思考与推广

浙江省象山中学 (315700) 杨育池

1 试题呈现

这是2009年高考湖北卷理科数学第20题，不少文章对问题的解法进行过研究，本文只就试题的第二问中λ的值蕴含的背景及几何意义进行更一般的阐述.

2 背景思考

极点、极线是《高等几何》中的重要概念，在揭示二次曲线的性质有着强大的威力，二次曲线很多重要的几何性质均与之有关.下面先简要介绍关于极点、极线的基本知识与相关结论.

极点与极线的代数定义若二次曲线Γ的方程为Ax2+2Bxy+cy2+2Dx+2Ey+F=0，则称点(x0,y0)与直线l:Ax0x+B(x0y+xy0)+cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0为二次曲线Γ的一对极点和极线.

如图1，不在二次曲线Γ上的点A作曲线Γ的两条割线，依次交曲线Γ于点C,D,E,F，直线CF,DE交于点B，直线CE,DF交于点H，则直线BH为点A关于Γ的极线，点A是直线BH关于Γ的的极线.这是极点、极线的几何定义.应该特别注意，互相平行的直线交于射影平面上的无穷远点；若点A在二次曲线Γ上，则Γ在点A处的切线是A关于Γ的极线l.在欧氏距离下，过点A的直线与极线l、曲线Γ的交点具有分割线段成比例的性质.

图1

图2

现将本文中的问题置于高等几何背景下，我们可以发现，点A(a,0)与直线l:x=-a为关于抛物线y2=2px(p>0)的一对极点极线.因此，本题表面上考查三角形面积之间的确定关系，其实质是在二次曲线的极点、极线背景下，将点列经透视变换成相关点列后，考察对应线段之间的比例关系.

3 结论推广

在设计试题时，将极点设置在曲线的对称轴上，这样其对应的极线则是轴的垂线，在坐标运算上较为简单些.由于结果为定值，促使笔者进一步思考，对所有的二次曲线的一般位置的极点、极线是否存在同样的数量关系？与极线垂直的直线具有平行性，如果将其垂线推广为与极线相交的平行直线是否还能成立呢？回答是肯定的，即如下命题.

命题1 直线l是点A关于二次曲线Γ(A∉Γ)的极线，过点A的直线交Γ于点M,N，自点M,N作两平行线交l于点M1,N1，记△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1,S2,S3，则S22= 4S1S3.

图3

同理，以点A为透视中心，点列N1,T,N,S与点列R,M1,M,S透视对应，点N为TN1的中点.由MM1//NN1，有∠AM1R=∠ATN1，∠AN1N=∠ARM1，于是，

两式相乘即得S22= 4S1S3.

命题2 直线l为点A关于二次曲线Γ(A∉Γ)的极线，过点A的直线交Γ于点M,N，交l于Q，点B为l上异于点Q的动点，分别过M,N作AB的平行线交l于点M1,N1.若△BMM1，△BMN，△BNN1的面积分别为S1,S2,S3，则S22= 4S1S3.

图4

显然，以上证明只涉及点A与直线l是关于Γ的一对极点极线，点A在二次曲线Γ的内部还是外部不影响结论.

4 再次推广

两个命题初看构形上相异，而结果完全相同，让人产生一种奇异的美感，但仔细考虑就会发现这两个结论其实是一致的，其奥妙在于，如图4中以点S为透视中心，则点列(A,Q,M,N)对应点列(B,Q,M1,N1)，于是，当(A,Q,M,N)调和时，(B,Q,M1,N1)也为调和点列.由于点S为无穷远点，因此，两个结论可统一为：若四边形存在一组对边平行，另一组对边中的一边的两顶点与其对边的交点，和这一边上的第四个点构成调和点列时的性质，完全隐去二次曲线这一图形约束，则进一步得到一个初等几何结论.

图5

注意由点M,M1,N,N1所构成的四边形对应的图形有多种，不一定是四边形MM1NN1.

证明：记直线AN1,MM1交于点P，AM1,NN1交于点T.由MM1//NN1得，

所以两式相乘有S22= 4S1S3.