极线
- 极点极线视域下圆锥曲线试题的应用探索
定义1(极点, 极线) 若圆锥曲线C:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,已知点P(x0,y0)(非中心),直线,则称点P(x0,y0)是直线l关于圆锥曲线C的极点,直线l称为P点关于曲线C的极线.性质1若P在圆锥曲线C上,则P关于C的极线即C为在P处的切线.性质2(配极原理)关于圆锥曲线C,若P在Q的极线上,则Q在P的极线上,并称P,Q关于C调和共轭.性质3(极线即切点弦)过圆锥曲线C外的一点P作PA,PB切C于A,B两点,则AB为P关于C的极线
中学数学研究(广东) 2023年23期2023-12-28
- 2023年全国新高考Ⅱ卷第21题的溯源与多角度探究
-1上．由极点与极线的理论可知,结论1中的点P所在直线恰好为点T(m,0)所对应的极线,此结论是巧合还是对一般的极点极线也成立呢?我们首先来看圆锥曲线极点与极线的定义:定义1(几何定义)设P是不在圆锥曲线上的点,过点P引两条割线依次交圆锥曲线于4个点E,F,G,H,联结EH,FG交于点N,联结EG,FH交于点M,则直线MN为点P对应的极线．若P为圆锥曲线上的点,则过点P的切线即为极线．定义2(代数定义)已知圆锥曲线Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0
中学教研(数学) 2023年9期2023-09-26
- 落花时节又逢君 多法齐出似腾云
——谈2023 年高考新课标ⅠⅠ卷第21 题的深度探究
锥曲线中的极点与极线的相关结论.(1)极点极线定义.几何定义如图2, 点P不是圆锥曲线上的点(且非中心), 过点P引两条割线依次交圆锥曲线于E,F,G,H, 连接EH,FG交于N,连接EG,FH交于M,则直线MN为点P对应的极线;同理,直线PM为点N对应的极线,直线PN为点M对应的极线,ΔPMN称为自极三角形;特别地,若P在圆锥曲线上,则过点P的切线即为点P对应的极线.图25 类题赏析题目3(2023 年淄博一模第21 题) 已知抛物线C:y2= 2px(
中学数学研究(广东) 2023年15期2023-09-16
- 极点极线视角下对一道模考题的探析、变式、推广
高等几何中的极点极线为背景命制的. 去年4月20 日的广州二模解析几何解答题,表面上看是调和点列背景问题,但笔者经过深入分析,发现该题实为极点极线背景问题. 基于此,笔者从不同角度探析该道试题,并将其变式拓展到一般化情形,最后给出极点极线的背景介绍.2 题目的呈现与分析题目(2022 年广州二模第21 题) 已知椭圆C:的离心率为,短轴长为4.(1)求C的方程;(2)过点P(-3,0)作两条互相垂直的直线l1和l2,直线l1与C相交于两个不同点A,B,在线
中学数学研究(广东) 2023年11期2023-08-05
- 一道模考题的逆问题及推广
识.定义1(极点极线的几何定义)如图2,点P不是圆锥曲线Γ上的点,过P引两条割线依次交Γ于E,F,G,H,连接EH,FG交于N,连接EG,FH交于M,则直线MN为点P对应的极线.图2引理1 如图2,当点P在圆锥曲线Γ外时,过P引Γ的两条切线PA,PB,则切点弦AB所在的直线为P对应的极线.引理2 如图2,MN为点P对应的极线,若过P的直线交MN于K,交Γ于G,H,则P,G,K,H四点构成调和点列.在性质1中,KO,KP都是抛物线C的切线,由引理1知,OP是
中学数学研究(江西) 2023年8期2023-07-19
- 由一道试题探究圆锥曲线的一组线段中点性质
关于圆锥曲线ω的极线是l1,直线l2与L垂直,过点E作与L不重合的直线l交圆锥曲线ω于点A,B(A,B异于l2,L与ω的交点),交l1于点P,过点P作l2的垂线,垂足为Q,直线AQ交L于点C,直线BQ交L于点D,则E是线段CD的中点.证明如图,以椭圆为例,连接QE, 因为E关于圆锥曲线ω的极线是l1, 所以P,B,E,A是调和点列, 即QP,QB,QE,QA是调和线束. 因为L//PQ,L∩QA=C,L∩QE=E,L∩QB=D,所以E是线段CD的中点.
中学数学研究(广东) 2023年9期2023-06-03
- 利用极点极线探究从“圆”开始的定点问题
为起点,利用极点极线理论发掘一般圆锥曲线中的定点问题.一、试题的分析与求解题目过直线x+y=4上一动点M,向圆O:x2+y2=4引两条切线,A,B为切点,求圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上的动点P到直线AB距离的最大值.(华中师大一附中2021-2022学年高二期考题).分析:本题有两个难点,一是求解直线AB的方程,二是动点到直线的距离问题.本题涉及到的直线与点都是运动的,本题的解题关键则在于发现运动中的不变性.解析:设点M的坐标为(x0,y0),设
中学数学研究(江西) 2023年6期2023-06-01
- 识破伪装,看透本质
——两道高考题的几何背景研究
试题均是以极点、极线、调和点列、调和线束为背景的问题.题1中,直线AB为P点对应的极线.题2中点B对应的极线为x=-2.下面给出相关的概念.3.1 极点、极线的几何定义如图3,设P是不在圆锥曲线上的一点,过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接EH,FG交于点N,连接EG,FH交于点M,则直线MN为点P对应的极线.若点P为圆锥曲线上的点,则过点P的切线即为极线.图33.2 调和点列图4ABCDCDABABCD3.3 调和线束及性质如图5,从
中学数学研究(江西) 2023年5期2023-05-10
- 一道解析几何高考题的背景思考与推广
背景思考极点、极线是《高等几何》中的重要概念，在揭示二次曲线的性质有着强大的威力，二次曲线很多重要的几何性质均与之有关.下面先简要介绍关于极点、极线的基本知识与相关结论.极点与极线的代数定义若二次曲线Γ的方程为Ax2+2Bxy+cy2+2Dx+2Ey+F=0，则称点(x0,y0)与直线l:Ax0x+B(x0y+xy0)+cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0为二次曲线Γ的一对极点和极线.如图1，不在二次曲线Γ上的点A作曲线Γ的两条割线，依次交曲
中学数学研究(江西) 2023年4期2023-04-03
- 过椭圆上任意一点作椭圆切线的两种尺规方法
圆切线的三种极点极线作法,精妙至极,令人叹为观止.研究从椭圆上一点作椭圆切线的文章也有很多,但大多数作法步骤繁多,且需要给定椭圆的中心、焦点、对称轴、顶点、准线等,依赖性较强.文[2]中在分别给定椭圆的焦点、顶点、对称轴的情况下给出了三种相对简洁的椭圆切线作法,其中方法一用到了椭圆的光学性质作图.文[3]中首先通过作图找到了椭圆的中心,然后在作出椭圆中心弦的基础上,给出了过椭圆上一点作切线的尺规方法.本文根据高等几何中极点极线的性质与对偶原则,给出了只用一
中学数学研究(广东) 2023年3期2023-03-15
- 一道两线段长乘积为定值月考题的背景与性质应用
图2(2)极点与极线定义2如图3,若点P不在圆锥曲线Γ 上,过点P引两条割线与Γ 依次交于E,F,G,H四点,直线EH与FG交于点M,直线EG与FH交于点N,则直线MN为点P关于Γ 的极线,直线PM为点N关于Γ 的极线,直线PN为点M关于Γ 的极线.若点P在圆锥曲线Γ 上,则过点P的切线即为极线.图3定义3已知有心圆锥曲线Γ:ax2+by2=1 (ab/=0),极点P(x0,y0),则点P关于圆锥曲线Γ 的极线方程为ax0x+by0y=1,当y0=0 时,
中学数学研究(广东) 2023年1期2023-02-15
- 2022年高考全国甲卷圆锥曲线试题探究与变式
题常常含有极点与极线的背景.极点与极线是高等几何的重要理论，是解决圆锥曲线一些复杂问题的巧妙方法.学生如果了解极点与极线理论，那么就可预知结果并且减少大量繁琐运算.极点与极线的定义：如图1，圆锥曲线外一点S，过点S作圆锥曲线的两条割线SA和SC，分别交圆锥曲线于A、B，C、D四点，直线AD和BC交于点E，直线AC和BD交于点T，直线ST是点E关于该圆锥曲线的极线.图1图2例1 (2022高考数学全国卷甲卷理科改编)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于
中学数学研究(江西) 2023年2期2023-01-16
- 仿射变换视角下椭圆的极点极线
点，与椭圆的极点极线有关的性质与推论在已有的文献中的证明方式都显得较为繁琐，文1介绍了极点极线的概念与部分性质，但证明不详细；文2-3给出了新的推论并给出了详细的证明，但过程较为繁琐且不易理解．运用仿射变换将椭圆变换成圆，在圆中来研究与椭圆有关的性质，可以较好的解决证明过程繁琐且不易理解的问题．1极点极线的定义1.1几何定义如图1，点P为不在椭圆上的点，过点P引两条割线依次交椭圆于E，F，H，G，连接EH，FG交于Ⅳ，连接GE，HF交于点M，则直线MN为点
福建中学数学 2022年9期2022-11-09
- 高等几何背景下的解析几何试题探究
高等几何中的极点极线理论，当然它不是高中数学课程标准中的学习内容，也不在高考考查的范围内，但由于该理论体现了圆锥曲线的基本性质，经常会成为命制解析几何试题的背景．如果中学教师能够了解该理论，熟悉有关性质，那么我们就能够站在比较高的观点下去看待这些试题，就能够“看透”试题中蕴含的有关极点极线的知识背景.下面给出高等几何中有关二次曲线的极点极线的概念及相关理论．4.1 极点与极线的几何定义与性质定义1[2]不在二次曲线Γ上的点P关于一条二次曲线的调和共轭点的轨
中学数学杂志 2022年9期2022-05-18
- 圆锥曲线上一类定值问题的再推广
用圆锥曲线极点与极线的性质给出性质1的另一证明.首先，我们给出一些预备知识.图2引理1 如图2，D是圆锥曲线Γ外一点，l是Γ关于D的极线，过D的任意直线交于A,B，交l于C，则A,C,B,D是调和点列.引理2 若点F关于圆锥曲线Γ的极线为l，则l上任意的点关于Γ的极线必过F.任取l上一点K(x1,y1)，则x1,y1满足(1)式.从而，x0,y0满足点K关于Γ的极线的方程，即F在K关于Γ的极线上.图3同理可得，λ2x2=λ2t+t-x0.(4)定值、定点问
中学数学研究(江西) 2022年3期2022-03-05
- 一道抛物线试题的探究与推广
) 刘振兴极点与极线是高等几何中的重要内容，虽然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的基本特征，因此在高考试题和各地模拟题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题中的命题背景.在文[1]中作者给出如下定义1和定理1的证明.定义1 已知圆锥曲线Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，则称顶点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0圆锥曲线Γ的一对极点和极线.一
中学数学研究(江西) 2021年11期2021-11-17
- 探究极点极线，应用强化思考
摘 要] 极点极线定理定义在圆锥曲线问题中有着广泛的应用，该定理对于学生而言相对较为陌生，但深刻理解，灵活应用，可显著提升解题效率，因此深入探究有着现实的意义. 文章从问题背景、知识定义、定理规律、应用强化等方面深入探究，并提出相应的教学建议.[关键词] 极点;极线;圆锥曲线;定理;定义;应用极点极线结论是研究圆锥曲线内在性质的基本理论，虽然在高中教材中体现得并不突出，但其作为圆锥曲线的基本特征，在高考解题中有着广泛的应用，利用该结论可挖掘问题本质，快速
数学教学通讯·高中版 2021年8期2021-11-03
- 极点极线背景下一组模拟题的求解及评析
少波 舒小保极点极线的理论在《高等几何》[1]中有详细的介绍，高中很多圆锥曲线的相关结论(如定点、定值、斜率与角度等)在各类试题中多有体现.师生掌握一些极点极线的相关知识，将对试题的命制和解答大有帮助，本文例析一组模考题，供同仁参考.1.极点极线的背景知识图1(1)几何定义：如图1，过圆锥曲线外的一点P作两条直线交圆锥曲线于点A,B和C,D，连接BC和AD交于点O，AC和BD交于点F，连接FO交圆锥曲线于点N,M，则直线FO是点P的极线，点P是直线FO的极
中学数学研究(江西) 2021年8期2021-09-06
- 问渠那得清如许 为有源头活水来
——从一道高考题的溯源与探究中谈解析几何题的命制
C的交点Q也在该极线l上，从而可以仅仅利用直尺作出点S关于该椭圆的极线l(如图5及图6).图5图63.理解本质、直尺作图从高等几何的范畴看，点列与线束之间的射影是对应的.所以只需作出极线l上点列关于该椭圆所对应的极线束的交点，也是该极线l所对应的极点，即本题中的定点.当然考虑极线l上P,Q两点所对应的极线p,q的交点即可.如图7，对于椭圆外一点P，仿照图5和图6作图方法：过点P作椭圆E的两条割线l1,l2交椭圆E于点A,B和C,D，设AC,BD的交点为T，
教学考试(高考数学) 2021年4期2021-07-14
- 极线视角下对2020年全国I卷解析几何题的探究*
图2二、基于极点极线的问题探究与结论如果站在极点极线高观点下,对上述问题的思考就能让人豁然开朗.极点极线是高等几何中关于二次曲线的有关概念,与高中阶段圆锥曲线的相关知识联系密切.其具体定义为:如图2,设点P 是不在圆锥曲线上的一点,过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接EH,FG交于C,连接EG,FH 交于D,则直线CD 为点P 对应的极线.若P 为圆锥曲线上的点,则过P 点的切线即为极线.同理可知,PC 为点D 对应的极线,PD 为点
中学数学研究(广东) 2021年1期2021-02-05
- 应该抛物线内的自共轭三角形探究
：F关于抛物线，极线为，关于抛物线极线为（此外，，等熟知结论不用细说）那么，我们考虑在通径上取一点，在上任取一点，设HT、XT分别与交于P、Q，直线PQ有何特殊性质呢？设则点差：同理：又即 ①即 ②将①代入②得：即 ③将③代入得：记为W。点X关于的极线为：在这条线上故为自共轭三角形因此，我们改写命题：抛物线准线与x轴交点为H，以H為顶点作自共轭三角形，再在抛物线上任取一点T，设TH、TX分别交抛物线、，则、、W三点共线。当在平面上任意位置呢？则H关于极线：
新一代 2020年17期2020-12-29
- 高观点视角下的极点极线问题
——从2020年两道高考题谈起
等几何中的极点与极线知识为背景的试题,若我们站在制高点看问题,其本质可谓一览无余.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.(1)求椭圆C的方程；二、背景分析1.极点与极线的几何定义与性质由高等几何教材[1]可知,过不在圆锥曲线C上的点P引两条割线依次交曲线C于四点E,F,G,H,连EH,FG交于点N,连EG,FH交于点M,则称MN为点P对应的极线,点P为MN对应的极点;同理,PM和点N为一对极线与极点,PN和点M为一对极线与极点.特别地,点P在圆锥曲
高中数学教与学 2020年23期2020-12-28
- 极点与极线视角下求解2020年高考圆锥曲线题
：图1一、极点与极线的代数形式定义1 对于圆锥曲线C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，已知点P(x0,y0)(非中心)及直线l:Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0，则称点P和直线l是圆锥曲线C的一对极点和极线.特别地：(4)对于抛物线y2=2px(p>0)，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x).二、极点与极线的几何形式图2定义2 如图2，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点A
中学数学研究(江西) 2020年11期2020-11-20
- 求二阶曲线切线方程的一种便捷方法
的几何意义和极点极线理论求经过定点且与二阶曲线相切的切线方程的简便方法，并给出相应的算例.【关键词】导数;极点;极线;切线方程利用导数的几何意义求过二阶曲线上定点处的切线方程是一种普适性的方法，但若求经过二阶曲线外的定点且与曲线相切的切线方程就会比較麻烦.为此本文介绍了一种利用导数的几何意义并结合极点极线[1]理论求切线的简便方法.一、原理与方法【参考文献】[1]冯天祥.配极原则及其应用[J].重庆三峡学院学报，2002（4）：108-111.
数学学习与研究 2020年7期2020-05-11
- 对2009年高考湖北卷理科第20题的再探究
锥曲线的“极点与极线”.除了这类特殊位置外,一般的“极点与极线”还有类似的性质吗?接下来,本文将逐步解决这些问题.2 新的解题视角2.1 极坐标与参数方程视角为了说明该方法,本文先将点A及直线l特殊化.以上面的高考题为例,将点A特殊化为为焦点直线l特殊化为准线文献[3]考虑了如下的解法.如图1,以焦点A∗为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.抛物线对应的极坐标方程为:对ΔAMM1而言,对ΔANN1而言,则有:对ΔAM1N1而言,则有观察上式即可得:成立.图
中学数学研究(广东) 2020年3期2020-03-30
- 一道模拟题的解法探究与背景分析
论探究;极点; 极线一、原题再现（2019年深圳市第一次模拟考试数学理科第19题）如圖1所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F（1，0），且点P1，32在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程.（2）设椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线x=4于点Q，求证：点A，N，Q在同一条直线上.二、解法探究（1）x24+y23=1（过程略）.（2）解法1：设M（x1，y1），
数学学习与研究 2020年21期2020-01-11
- 一道高考试题的背景简介
及圆锥曲线的极点极线问题，同学们只有了解命题背景，才能对试题的认识更加透彻，下面对极点极线作简单介绍。一、极点极线的代数定义对于圆锥曲线C：Ax2+Bxy+Cy2+D x+Ey+F=0，已知点P(x0，y0)(非曲线C的中心)及直线l：，我们称点P为直线l关于曲线C的极点，直线l为点P关于曲线C的极线。由此定义可知，圆锥曲线的焦点和相应的准线就是一对极点极线。如曲线C：y=，焦点和准线就是关于曲线C的一对极点极线。二、极点极线的几何性质设点P和直线l是圆锥
中学生数理化(高中版.高考理化) 2019年12期2019-11-26
- 一道2019年高考模拟试题的探究与推广
MN为点P对应的极线.特别地,若P是二次曲线上的点,则过点P的切线即为极线.同理直线PN为点M对应的极线,直线PM为点N对应的极线,MNP称为自极三角形.图1(2)当点P为二次曲线外的点时,过点P作二次曲线的切线,切点分别为A,B.则点P的极线为直线AB.(3)当点P为二次曲线内的点时,过点P引两条割线依次交二次曲线于点E,F,G,H,连接EH,FG交于点N,连接EG,FH交于点M,则MN为点P对应的极线.在《高等几何》[2]一书中有：点P(x0,y0)关
中学数学研究(广东) 2019年19期2019-10-29
- 例谈高考圆锥曲线问题中的配极背景
双曲线、抛物线的极线；配极理论是圆锥曲线一套非常漂亮、实用的性质，在历年高考试题中也有它的背景.本文做些极线、极点的介绍、应用，与各位读者共同学习.定义1圆锥曲线的配极：已知圆锥曲线Ω所在平面上一点P(非中心)，过P作两条直线PP1P2和PP3P4分别交Ω于两点P1、P2和P3、P4，过点P1、P2引Ω的切线交于点X，过点P3、P4引Ω的切线交于点Y，称直线XY是点P关于圆锥曲线Ω的极线，同时点P是直线XY关于圆锥曲线Ω的极点.我们把圆锥曲线的一对极点、极
数理化解题研究 2019年19期2019-08-14
- 椭圆的极点极线性质及推论
层次的理论—极点极线理论.极点极线是法国数学家笛莎格于1639年在射影几何学奠基之作《圆锥曲线论稿》中提出的.初次接触极点极线理论是在王雅琪所写的《高观点下的北京高考解析几何试题》一文中,此文介绍了极点极线的定义、两个推论和以极点极线为背景的高考解析几何试题[1].该文并没有对相关推论进行证明.查阅资料发现范方兵、王芝平所写的文章《代数几何相转化相映成辉是一家》中,借助2018年北京高考的抛物线解答题,探究了该题的命题理论背景—极点极线理论,并介绍了调和点
中学数学研究(广东) 2019年9期2019-06-21
- 极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题
几何试题以极点、极线为背景,堪称出现频率最高的背景知识.文[1]介绍了极点与极线的概念及基本性质,笔者进行了进一步研究,证明了若干与圆锥曲线极点、极线有关的性质,与读者分享.1.极点与极线的定义定义1 (几何定义)如图1,P是不在圆锥曲线上的点,过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接EH,FG交于点N,连接EG,FH交于点M,则直线MN为点P对应的极线.特别地,若P是圆锥曲线上的点,则过点P的切线即为极线.同理,直线PN为点M对应的极线,
中学数学研究(广东) 2019年1期2019-04-12
- 2018年全国Ⅰ卷理科解几题研究
的背景，它与极点极线知识有关，实际上，关于极点极线有如下两个常用结论：(1)如图3，设P为不在圆锥曲线上的点，过点P引两条割线交圆锥曲线于E,F,G,H，设EG,FH交于M，EH,FG交于N，则称MN为点P对应的极线，同理，称PN为点M对应的极线，PM为点N对应的图3极线.图4六、推广研究图5综上得kAN+kBN=2kMN.命题9 已知抛物线y2=2px,(p>0)及M(m,0),N(-m,n)(其中m≠0)，过点M的直线l交抛物线于A,B两点，设直线AN
中学数学研究(江西) 2019年3期2019-04-01
- 一道高考理科数学题推广的进一步研究
关于二次曲线Γ的极线为l，则l上一点Q关于二次曲线Γ的极线l'必过点P.引理2[5]两极点P、Q对应极线分别是l和l'，则l和l'的交点R关于二次曲线Γ的极线为直线PQ.推论1 中心曲线Γ的焦点关于Γ的极线是其对应准线.2 命题讨论图3图4证明：如图，两切点A、B的极线AQ、BQ相交于极点Q，则极点Q的极线为AB.由于极点Q在焦点F2一侧的准线上，则极线AB必过焦点F2.由定理1，得到QF2⊥AB.推论2 过中心曲线Γ相应于焦点F2一侧的准线上任意一点Q与
中学数学研究(江西) 2018年11期2018-12-04
- 立足本质 引导探究
叫抛物线的极点和极线，不仅抛物线有，其他圆锥曲线也有，所有二次曲线都有，并且它们都有很多类似的漂亮的性质.2016年新课标全国I卷文科20题中，原点和y轴就是抛物线y2=2PX的一对极点和极线.定义对于二次曲线C：AX2+ By2+Cx+Dy+E=o和一点P（x0，y0）（其中A2 +B2≠0，P不在曲线C的中心或渐近线上），则称直线L：Ax。x+ By。y+C.（xo +x）/2+D.（Yo+Y）/2+E：0是点P关于曲线C的极线.（特殊地，焦点和准线是
福建中学数学 2018年5期2018-11-29
- 对一道高考模拟题的分析与思考
圆锥曲线的极点与极线.极点与极线问题是近年来高考的热点问题,此类问题越来越多出现在高考卷中,可以说已经成为高考解析几何大题的命题“新宠”.虽然不能够直接套用极点与极线的相关结论用于解答,但教师如果能够了解掌握相关理论,从更高的角度看对问题,对教学是有很大帮助的.下面给出极点与极线的定义,定理及相关性质.定义1设两点P,Q的连线与圆锥曲线C相交于M1,M2,如果M1,M2被P,Q调和分割(即=−1,这里的线段均为有向线段),则称P,Q关于圆锥曲线C成调和共轭
中学数学研究(广东) 2018年15期2018-09-13
- 三割线定理的本质与运用
文笔者依据极点和极线性质,探寻三割线定理的本质,并拟推广到圆锥曲线之中,验证圆锥曲线三割线定理的正确性,开展三割线定理的运用讨论,供大家鉴析.一、关于三割线定理的本质1.三割线定理简介定理1PAB、PCD为圆的任意二条割线,AD与BC交于点Q,PQ连线与圆交于点E、F点,则PQ调和分割图12.极点极线方法作椭圆切线1)勒姆柯尔方法勒姆柯尔过椭圆外一点P,引四条割线PAiBi(i=1,2,3,4),直线A1B2与A2B1交于Q点,直线A3B4与A4B3交于R
中学数学研究(广东) 2018年13期2018-08-11
- 极点与极线的几何意义及应用
9055)极点与极线，是法国数学家笛沙格(Girard Desargues，1591—1661)于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中提出来的，其定义如下.一、圆锥曲线极点和极线的定义及其几何意义已知圆锥曲线C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(A2+C2≠0)，则称点P(x0，y0)和直线l：Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线.定理1极点和极线的几何意义如下：若点P和直线l是圆锥曲线
数学学习与研究 2018年13期2018-07-17
- 配极理论在圆锥曲线中的应用
又因为u在A′的极线BC上∴点A′与点u共轭；在完全四点形中∵R（b，c；a1u）=-1，∴A1与u共轭，从而A1A′是u的极线由共点线的极点必共线，共线点极线必共点可知：A1A′，B′B1，C′C1共点二、抛物线中的点共线和线共点例2 证明抛物线的任何方向的平行弦的重点在一直线上，并由此推出这些直线是平行的。证 设无穷远直线ξ∞与抛物线Γ相切于点O∞，取过点u∞的一组平行弦分别为ab，a′b′...弦的中点分别是m，m′...由题可知，R（a，b；m，u
新教育时代电子杂志(教师版) 2018年12期2018-06-05
- 利用高等几何极点与极线关系解答高考数学试题
罗珊珊1.极点与极线的概念定义1[1]给定二阶曲线，如果两点P,Q(P不在Γ上)的连线与二阶曲线Γ交于两点M1,M2，且(M1M2,PQ)=-1，则称点P,Q关于二阶曲线Γ互为共轭点.特例，当点P为M1M2的中点，则点Q为无穷远点.定义2[1]定点P关于二阶曲线的共轭点的轨迹是一条直线，这条直线叫做P点关于此二阶曲线的极线；P点叫做这条直线关于此二阶曲线的极点.特例，如果P点在二阶曲线上，则点P的极线就是此二阶曲线在P点处的切线.2.圆锥曲线的极点和极线定
中学数学研究(江西) 2018年5期2018-05-30
- 配极理论在圆锥曲线中的应用
点共线又因为在的极线BC上∴点与点共轭；在完全四点形中∵R（b，c；a1u）=-1，∴A1与共轭，从而是的极线由共点线的极点必共线，共线点极线必共点可知：，，共点二、抛物线中的点共线和线共点例2 证明抛物线的任何方向的平行弦的重点在一直线上，并由此推出这些直线是平行的。证 设无穷远直线与抛物线相切于点，取过点的一组平行弦分别为ab，...弦的中点分别是，...由题可知，R（a，b；m，u∞）-1，R（a，b：m；，u∞）∴，在的极线上，根据配极原则知必过点
新教育时代·教师版 2018年12期2018-05-24
- 一道高考试题的解析与感悟
.圆锥曲线极点和极线的视角极点与极线是射影几何中研究圆锥曲线内在性质的基本理论，各地的高考试题中以此为背景的题目屡见不鲜.虽然在高考课标中没有要求，但作为圆锥曲线的一种基本特征，教师了解一些极点、极线理论，可以从较高的观点去把握试题，有利于中学教学.对于学生，掌握一些基本的结论，有利于降低一些圆锥曲线大题的计算难度，对有些圆锥曲线小题，会有非常简洁的处理方法，在高考过程中能节约宝贵的考试时间.（1）圆锥曲线极点和极线的定义：已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥
学校教育研究 2018年27期2018-05-14
- 高中数学教学中“与圆相关的两类直线”探究
类直线分别是圆的极线和定幂差线，本文试图对这两类直线加以介绍，以飨读者.一、圆的极线1.圆的极线与极点的概念.设圆O是平面上半径为r的定圆，M是平面上异于点O的任一点，在射线OM上，求一点M′使OM·OM′=r2；过点M′且垂直于OM的直線l叫作点M关于圆O的极线，M点叫作直线l的极点.依据定义很容易得到以下性质：2.圆心O与极点M的连线OM和极线l垂直.3.设圆心O到极线l的距离为d，则OM·d=r2.4.定圆的极线方程：设定圆O的方程为x2+y2=r2
数学学习与研究 2018年4期2018-03-20
- 基于射影几何的极点和极线理论应用与研究*
MD.2 极点、极线2.1 定 义特别地，点P对有心二次曲线(设其中心为O)的调和共轭点为Q，且PQ通过中心O，则称点P变到点Q的变换称为反演变换，O为反演中心，P，Q互为反点.显然由调和点列的等比性，若P，Q互为反点，有OP·OQ=OR2成立.结合完全四边形的性质，还可以得到一个有趣的结论：如图2所示，A，B是圆锥曲线C的一条对称轴l上的两点(不在C上)，若A，B关于C调和共轭，过B任作C的一条割线，交C于P，Q两点，则∠PAB=∠QAB.图2 圆锥曲线
重庆工商大学学报（自然科学版） 2018年2期2018-03-19
- 电袋除尘器运维主要问题分析及处理
袋除尘器；滤袋；极线；喷吹DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.24.1661 设备概述某电厂一期2×630MW機组及二期2×630MW电袋除尘器由原有电除尘器改造而成，保留原电除尘器的第一、二电场的全部设备并进行维修，达到新装电场效果；拆除第三、四、五电场的所有内件，在其内布置袋式除尘器；对原烟道进行改造（包括除尘器出入口加装挡板门，并作好防磨防腐处理）。同步进行PLC控制系统的配套改造。其中一期2台电袋除尘器采用德国鲁奇
山东工业技术 2018年24期2018-01-03
- 2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛第9题的解法与探源
所求的定点Q是“极线”与“极点”之间的关系.定义：已知圆锥曲线则称点P(x0,y0)和直线l:是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.其变换原则如下：在圆锥曲线中,以x0x替换x2,以替换替换x,(另一个变量y也是如此).特别地对于高中常用的圆锥曲线：(3)抛物线y2=2px,对应的极线为：极点与极线的基本性质：定理1(1)当点在圆锥曲线上时,其极线是曲线在点处的切线;(2)当点在外时,其极线是切点弦所在的直线;(3)当点在内时,其极线是过点的弦两端点的切线的交点所
中学数学研究(广东) 2017年21期2017-12-06
- 电除尘器极线腐蚀失效原因分析
940)电除尘器极线腐蚀失效原因分析王东柱1, 李 明2 (1. 上海齐耀动力技术有限公司, 上海 201203; 2. 上海金艺检测技术有限公司, 上海 200940)某电除尘器在使用过程中极线发生严重的氧化腐蚀，影响电除尘器的除尘效果。采用宏观检验、化学成分分析、腐蚀产物分析和金相检验方法，分析了电除尘器极线的腐蚀失效原因。结果表明：电除尘器极线在高温下发生了氧化；由于有氯元素的存在，覆盖在材料表面的氧化膜遭到破坏，加速了活性区的金属溶解，降低了腐蚀的
理化检验(物理分册) 2017年3期2017-04-10
- 1720号问题的极点、极线结构
谐，笔者从极点、极线出发简化文[4]的证明；另外文[4]对文[3]的推广工作并不彻底，本文对文[4]补充完善，并彻底推广了文[3]的工作；此外，回归原问题，在思考1720号问题的结构过程中，得到了一个有趣性质，并以此为基础，解释了文[5]作者赵忠华老师利用几何画板发现的一个有趣现象.1 文[4]推理过程的简化文[3]对1720号问题开展分析讨论，得出两个结论，即为：结论1以△BC中的BC为长轴（实轴）的椭圆（双曲线）交此三角形的另两边AB、AC分别于点E、
数学通报 2017年9期2017-01-09
- 极点极线的又一性质
0)张留杰极点极线的又一性质北京市陈经纶中学 (100020)张留杰极点与极线问题是解析几何中的热门问题，许多定值与定点问题几乎都归结到极点与极线内在性质，笔者最近又发现一条性质，希望能与大家共勉．性质 设点P(x0,y0)是圆锥曲线W的一个极点，它对应的极线为l，过点P作x轴的垂线l1，任作直线l2交曲线W于A、B两点，交极线l于点Q．点M是直线l1上任意一点，记直线MA、MB、MQ的斜率分别为k1、k2、k3，则k1+k2=2k3．下面以椭圆为例进行
中学数学研究(江西) 2016年11期2016-11-25
- 两二次曲线之间斜率关系结论发现的统一研究
二次曲线的极点与极线关系，统一解决两二次曲线之间有关斜率关系的结论，揭示二次曲线之间斜率关系的内在本质.二次曲线；极点；极线；斜率；关系；统一1 问题背景吴建山在文[1]中，研究2010年全国高中数学联赛试题江西省预赛试题，给出6个推广性质.试题[1]给定椭圆C：2/22/2=1(>>0)，⊙：2+2=2，自椭圆上异于其顶点的任意一点P作⊙的2条切线，切点分别为M，N，若直线MN在轴上的截距分别为，，证明：2/22/2=2/2.性质1[1]已知椭圆C1：2
重庆三峡学院学报 2016年3期2016-10-14
- 略论电偶极线
经验交流略论电偶极线赵强 （西安交通大学理学院，陕西西安 710049）本文首先仿照电偶极子模型的定义给出了电偶极线模型的定义，然后导出了电偶极线的电势公式和电场公式，最后利用电偶极线模型求出了沿垂直于轴方向均匀极化的长圆柱体周围的电场.电偶极线；线极化强度；等效；精确解任何一本《电磁学》教科书都会讲述电偶极子模型，有些教材还讲述了电偶极层模型［1］，但是我却没见过哪本《电磁学》教材讲述电偶极线模型.其实电偶极线模型和电偶极子模型很类似，并且还有着实际的应
物理与工程 2016年2期2016-09-09
- ±500 kV同塔双回直流线路雷击暂态特性及行波保护响应
，发现相较于下层极线雷击，双回上层极线雷击对线路电气量的影响较大。其次，根据SIEMENS行波保护的雷击响应特性，分析认为非故障性绕击时，对于雷击极线上层极线绕击误动风险大于下层极线绕击；由于双回极线间的耦合影响，雷电流时间越长、闪络时间越晚时，非雷击极线的误动风险越高。最后，根据电压和电流变化量的响应特性，提出了一种减少双回直流极线雷击误动的改进方案，并通过算例验证了该方案的有效性。雷击暂态；同塔双回；直流系统；西门子；行波保护；改进方案高压直流输电具有
广东电力 2016年8期2016-09-08
- 利用二次曲线极线的性质解题
孙志业【摘要】 极线的应用极其广泛，其可以解圆锥曲线问题，更方便看题目的本质. 也可以与完全四边形产生联系，方便学习数学竞赛和自学的同学利用解析法解决平面几何问题. 同时，极线的形式是统一而优美的，是学生掌握比较好的切线和切点弦的进一步的拓展和统一形式. 本文旨在阐述极线的定义和不同的应用形式.【关键词】 极线；极点；解析几何；平面几何例1 抛物线y2 = 4x，P（2，2）在抛物线内部，AB是斜率为1的直线，与抛物线相交但不过P点.若AP，BP与抛物线的
数学学习与研究 2016年2期2016-05-30
- 高压静电除尘器常见故障分析处理
、反电晕、极板、极线。内蒙古兰太实业股份有限公司2004年新建2台75吨循环硫化床锅炉，2台锅炉的配套环保设施烟气除尘器选用的均是PE型静电除尘器。静电除尘器投入使用10年以来，运行基本平稳。由于设备逐年老化近一年来故障频发，为了进一步发挥静电除尘器的环保作用，创造良好的经济和社会效益，现将曾出现的故障、原因及对策分析总结如下：一：高压静电除尘器工作原理高压静电除尘器是利用两个金属阳极和阴极上，通过高压硅整流变压器将380V交流电整流成为20～80kV高压
建筑工程技术与设计 2015年33期2015-10-21
- 铅锑极线在湿式电除尘器中应用探讨
10031)铅锑极线在湿式电除尘器中应用探讨陆小成，申智勇，舒喜，吴为民(国电环境保护研究院，江苏南京210031)从铅锑极线的材质成份、加工工艺、使用长度、固定方式及安装质量等几个方面探讨极线在湿式电除尘器应用的可靠性。分析认为:控制好制造质量，确定合理的使用长度、选择恰当的固定方式以及完善的安装质量控制措施可以显著提高铅锑极线在湿式电除尘器上应用的可靠性。湿式电除尘器;铅锑极线;可靠性0 引言湿式静电除尘器技术(Wet Electrostatic Pr
电力科技与环保 2015年5期2015-04-11
- 利用极线极点的性质巧解有关圆的几何题
杂，实则都与极点极线有关，极点与极线在几何中有着广泛的性质，研究透彻它的性质，看似复杂的几何题便可迎刃而解.1知识介绍定义设A、B关于⊙O互为反演点，过B作OA的垂线l称为点A关于⊙O的极线；A称为l的极点.注：若点A在⊙O外，过A做⊙O的两条切线，切点为B、C，则BC是点A的极线.性质1（配极原则）设A在D的极线上，则D也在A的极线上.一般称A、D关于⊙O互为共轭点.性质2设过两共轭点A、D的直线交⊙O于两点B、C，则A，B，D，C为调和点列.由性质1和
中学数学杂志(高中版) 2015年2期2015-04-07
- 简述与圆锥曲线的极点和极线有关的性质
圆锥曲线的极点和极线有关的性质●彭世金 (常德市第六中学 湖南常德 415003)笔者通过对圆锥曲线的探究，发现与圆锥曲线的极点和极线有关的一个性质，现介绍如下．先给出圆锥曲线的极点和极线的定义:定义3点P(t，0)(t≠0)和直线x= －t分别是抛物线y2=2px(p＞0)的极点和相应极线．下面再给出与圆锥曲线的极点和极线有关的性质．图1图2图3当x1=t时，MN的方程为y=0，显然直线MN过 x轴上一点 Q(p－t，0)．因为t是定值，所以Q(p－t，
中学教研(数学) 2011年7期2011-02-02