函数同构思想在高考中的应用例析

浙江省宁波市镇海中学 (315200) 杨冬冬

在解不等式或恒成立问题中，有很大一部分题目是由函数单调性构造出来的，若能找出这些函数模型(即不等式或等式两边对应的同一函数)，无疑会大大加快解决这些问题的速度.比如F(x)≥0能等价变形成f[g(x)]≥f[h(x)] ，然后利用函数f(x)的单调性，再转化为g(x)≥h(x)(或者g(x)≤h(x))，这种方法称为同构不等式法(等号成立时，称为同构等式法)，简称同构法.

当然，用同构法解题，除了要有同构思想之外，观察能力、代数式的变形能力也有较高的要求，以下笔者整理了三种类型的同构题型，并且这些题型在高考题中均有展现.

1 地位一致要同构

例1 (2020全国Ⅱ卷理科11题)若2x-2y<3-x-3-y，则( ).

A.ln(y-x+1)>0B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

分析：2x-2y<3-x-3-y等价于2x-3-x<2y-3-y，构造函数f(x)=2x-3-x，因为f(x)单调递增，而且f(x)0，故选A.

例2 (2020全国一卷理科12题)若2a+log2a=4b+2log4b，则( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：由于4b+2log4b=22b+log2b<22b+log22b，所以2a+log2a<22b+log22b，构造函数f(x)=2x+log2x，可知f(x)在(0,+∞)单调递增，所以a<2b，故选B.

以上两道全国卷高考题都考查了双变元的同构转化，要求学生具备必要的观察力和适当的放缩能力，为高校选拔学生提供了很好的依据.

2 指对跨阶寻同构

类型2ea±a≥b±lnb

由于b=elnb，原不等式等价于ea±a≥elnb±lnb，所以构造函数f(x)=ex±x；或者a=lnea，原不等式也能转化为ea±lnea≥b±lnb，构造函数g(x)=x±lnx即可，称之为和(差)型.

类型3eaa≥blnb

将原不等式转化为ealnea≥blnb或者eaa≥elnblnb，从而构造函数f(x)=exx或者g(x)=xlnx称之为积(商)型.

以上两种类型是利用指对恒等式，将左右两边格式化为一致，要么统一成右边样式，要么左边样式.总之，找准对应是关键，例如，ex与x对应，x与lnx对应，原因是x能转化为elnx，也能转化为lnex.为此，笔者将指数式、幂的多项式、对数式三者排序(指数式>幂的多项式>对数式),指数式阶数最高，幂的多项式次之，对数式最低，左右两边一定是高阶对应高阶，低阶对应低阶，这样就便于我们观察，从而找准转化对象.

例3 (2022全国新高考Ⅰ卷22题)f(x)=ex-ax，g(x)=ax-lnx有相同的最小值.(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点且从左至右的三个交点的横坐标成等差数列.

分析：不难得知a=1，此时f(x)=ex-x在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增；g(x)=x-lnx在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，结合两个函数的图像，可知在(0,1)内有一个交点，即存在x0∈(0,1)，使得f(x0)=g(x0)，而且只有当直线y=b穿过那个交点时，才与两个曲线共有三个交点，此时存在x1∈(-∞,0),x2∈(1,+∞)，使得f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)，即ex1-x1=x0-lnx0，ex0-x0=x2-lnx2，将ex1-x1=x0-lnx0转化为ex1-x1=elnx0-lnx0，再结合f(x)=ex-x在(-∞,0)单调递减，可知x1=lnx0；将ex0-x0=x2-lnx2转化为ex0-x0=elnx2-lnx2，在结合f(x)=ex-x在(0,+∞)单调递增，可知x0=lnx2.所以x1+x2=lnx0+ex0=2x0.

3 无中生有凑同构

类型4aeax≥lnx

两边同乘x，即axeax≥xlnx，转化为积型同构式.不难看出，我们要将ax看成一个整体，也就是说要将左边的主元统一，所以两边同乘x就达到目标.

类型5ex≥aln(ax-a)-a

例4 (2020全国新高考卷21题(2))已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna，若f(x)≥1，求a的取值范围.

分析：aex-1-lnx+lna≥1，整理得ex+lna-1+lna-1≥lnx，两边加上x凑成同构式ex+lna-1+x+lna-1≥x+lnx=elnx+lnx，根据g(x)=ex+x单调递增，有x+lna-1≥lnx，所以lna≥lnx-x+1恒成立，解得lna≥0，故a≥1.

从上述的几个例子中我们看出同构思想在高考中的重要地位，要求学生具有较高的观察，运算和分析能力，真正实现为高校选拔人才的作用.同构思想突破常规思路，为我们解题带来了新的思路，新的方法，新的视野.