灵活变形化繁为简挑战难题

王海燕

新定义考题是近年来各地中考试卷中一类常考常新的考题。这类考题中的新定义往往是一个精心的包装，当我们揭开包装之后，便能看透本质。因此，和“数与式”相关的新定义问题，往往需要灵活变形，这样才能使得运算化繁为简，达到事半功倍的目的。

考题 若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”。

例如，分式[3x+1]与[3x1+x]互为“3阶分式”。

（1）分式[10x3+2x]与 互为“5阶分式”；

（2）设正数x、y互为倒数，求证：分式[2xx+y2]与[2yy+x2]互为“2阶分式”；

（3）若分式[aa+4b2]与[2ba2+2b]互为“1阶分式”（其中a、b为正数），求ab的值。

【思路分析】第（1）问很简单，直接对照定义即可口算出答案为[152x+3]。

第（2）问，大部分同学用的是下面的证法1和证法2。

证法1：∵正数x、y互为倒数，

∴将y=[1x]代入两个分式[2xx+y2]与[2yy+x2]，并化简，得

[2xx+y2]=[2x3x3+1]，[2yy+x2]=[2x3+1]。

∴[2xx+y2][+2yy+x2]=[2x3x3+1][+2x3+1]=2，

即分式[2xx+y2]与[2yy+x2]互为“2阶分式”。

证法2：[2xx+y2][+2yy+x2]

=[2x（y+x2）（x+y2）（y+x2）][+2y（x+y2）（x+y2）（y+x2）]

=[4xy+2y3+2x3xy+x3+y3+x2y2]。

∵正數x、y互为倒数，可将xy=1代入上式，则原式=[4+2x3+2y32+x3+y3]=2，

即分式[2xx+y2]与[2yy+x2]互为“2阶分式”。

此外，还有的同学用了如下证法，非常巧妙。

证法3：[2xx+y2][+2yy+x2]=[2x2x2+xy2][+2yy+x2]。

可将xy=1代入上式，则

原式=[2x2x2+y][+2yy+x2]=2，

即分式[2xx+y2]与[2yy+x2]互为“2阶分式”。

（3）解法1：由[aa+4b2]与[2ba2+2b]互为“1阶分式”，可得[aa+4b2][+2ba2+2b]=1。

将等号左边通分，得

[a3+2ab（a+4b2）（a2+2b）]+[2ab+8b3（a+4b2）（a2+2b）]=1。

左边展开，得[a3+2ab+2ab+8b3a3+2ab+4a2b2+8b3]=1，即2ab=4a2b2。

又∵a、b为正数，∴ab=[12]。

解法2：先得出[aa+4b2][+2ba2+2b]=1，接着就是“去分母”，得

a（a2+2b）+2b（a+4b2）=（a+4b2）（a2+2b）。

化简整理，得2ab=1，即ab=[12]。

解法3：先进行变形，得

[aa+4b2]=1[-2ba2+2b]，

∴[aa+4b2]=[a2a2+2b]。

∴a2+2b=a2+4ab2。

∴2ab=1，即ab=[12]。

【评析】使用不同方法求出正确结果都是得分的，但是这些拿到分的不同方法是“同分不同质”的。我们在平时学习中要进行解法的对比优化，而不是关注答案、核对结果。结果很重要，但怎么得到结果的过程更重要，最终还需要优美的表达——因为一个好的表达能传递得更远。