方程与不等式中的常见错误剖析

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方程与不等式是初中数学的核心知识，在中考中具有十分重要的地位，主要包括一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式（组）等。下面，老师结合几道例题对方程与不等式中的易错点进行剖析。

一、概念理解不透彻

例1 下列方程是关于x的一元一次方程的是（ ）。

A.ax+b=0

B.x（x+1）=x2+2x+1

C.x+y=2

D.x+[1x]=1

【错解】A（或C、D）。

【错因分析】本题出错的原因是对一元一次方程的概念理解不清。一元一次方程的定义是：含有一个未知数且未知数项的最高次数为一次的整式方程叫作一元一次方程。根据定义我们知道，一元一次方程应该包含三个条件：（1）一个未知数；（2）最高次数为一次；（3）整式方程。一元一次方程的一般式为ax+b=0（a≠0）。我们如果要判断一个方程是否为一元一次方程，可先将其化为一般式，再看它是否满足上述三个条件。A选项未考虑a≠0；B选项应先将其化为一般式再判断；C选项有两个未知数；D选项是分式方程。

【正确答案】B。

二、忽视隐含条件

例2 若关于x的分式方程[1x-2][+2x+2]=[x+2mx2-4]的解大于1，则m的取值范围是 。

【错解】m＞0。

【错因分析】本题出错的原因是仅考虑方程的解大于1，而未考虑分式方程的隐含条件“分母不等于0”。方程与不等式的隐含条件主要有：一元一次方程ax+b=0中a≠0；一元二次方程ax2+bx+c=0中a≠0，利用韦达定理解题时要考虑b2-4ac≥0；分式方程中分母不等于0等。

【正确答案】解方程[1x-2][+2x+2]=[x+2mx2-4]，得x=m+1，

由题意得[m+1＞1，m+1≠2，m+1≠-2，]

解得m＞0且m≠1。

所以m的取值范围是m＞0且m≠1。

三、临界点理解有误

例3 关于x的不等式组

[-x+a＜2，3x-12≤x+1]恰有3个整数解，则a的取值范围是 。

【错解】2＜a＜3（或2＜a≤3、2≤a≤3）。

【错因分析】本题出错的原因是对问题中的“恰有3个整数解”理解不到位，进而在确定a的取值范围时，对其临界点理解有误所致。我们可以先求出不等式的解集，再根据整数解的个数确定有哪几个整数解，得到a的大致取值范围，最后考虑哪些临界值可以取到。

【正确答案】解不等式组

[-x+a＜2，3x-12≤x+1，]得a-2＜x≤3，

由不等式组[-x+a＜2，3x-12≤x+1]恰有3个整数解，可知整数解为1、2、3，进而a-2在0和1之间，再分别考虑当a-2取临界值0和1时，是否满足题意，可得0≤a-2＜1，解得2≤a＜3。所以a的取值范围是2≤a＜3。

通过上面三道题目的错因分析，相信同学们对方程与不等式中的易错点有了更深入的了解。下面有两道练习题，请同学们试一试：

1.若关于x的方程[mx-1x-1]=3无解，则m的值为（ ）。

A.1 B.1或3 C.1或2 D.2或3

2.关于x的不等式组

[-13x＞23-x，12x-1＜12（a-2）]有且只有三個整数解，则a的最大值是（ ）。

A.3 B.4 C.5 D.6

（作者单位：江苏省泰州市大泗学校）