明确路径，有序探究——以“线面垂直的性质定理”教学为例

杨克林

福建省漳浦第一中学 (363200)

众所周知，数学探究是一种寻求新知的过程，同时也一种教学模式，是一种在教师指导下学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程.数学探究教学在激发学习动机、丰富学生学习方式、增强学习效果、培养创新人才上具有其他教学方式不可替代的功能.但当前的数学探究教学也存在形式化及无序性等弊端.例如，探究的问题要么过于简单，使得探究过程流于形式，要么探究的问题过难，学生无处探究；在探究过程中，要么教师过度干预，探究成为了教师的“表演”，要么教师指导缺位，学生盲目探究.若要从根本上解决探究教学中存在的这些弊端，首先必须要让学生明确探究的路径，从而使得数学探究成为一种有序的学习活动.最近，笔者观摩了一堂市级数学教学公开课，教学的课题是“线面垂直的性质定理”.本文结合这堂课的教学过程，谈谈对数学探究教学的一点认知.

1 探究教学过程简介

首先，教师让学生回顾上节课学习的内容，复习线面垂直的判断定理，然后问学生，类比前面的学习顺序，接下去要学习什么？学生自然想到应该学习“性质定理”，接着教师又问，是怎么样的性质定理？对于这个问题，学生众说纷纭，有的认为应该研究线线垂直，有的则认为面面垂直.看到回答内容有些混乱，教师就直接给出了性质定理“同垂直于同一平面的两条直线平行”.

接下去就是定理的证明环节，首先教师让学生把用文字语言描述的定理转化为符号语言“已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则a//b”，然后就让学生自主探究证明的过程.利用线面垂直的判断定理，就很容易证明这个定理.最后，就进入了性质定理的应用环节，这也是本节课的重点强调，一节课中的三分之二时间都花在这个环节上.

笔者认为，虽然本节课进行了所谓的“探究”教学，但实际上探究的过程只留于表层，或者说探究的层次非常的浅.首先，在判断定理的猜想环节，学生处于一种“盲猜”状态，因为大多学生根本不知道究竟什么是性质，什么是性质定理，最后教师只能自己给出定理的内容；其次，定理证明环节，并不是学生独立的探究发现过程，更多的是在教师引导下的一种常规证明；而且，本节课也没有对性质定理再进一步深入的探究，而是把大量的时间花在学生习题训练上.

2 探究教学路径要义

数学探究目的就是引导学生以自主探索、合作交流的学习方式,使学生经历数学知识产生、形成、展开和应用的过程,在探究中感受数学、体验数学和理解数学,发展解决问题的策略.倘若没有设计好探究路径的指示牌,就会造成学生探究方向不明,探究效率低下，从而探究活动难以达到预期的效果.

对于数学探究，首先应该明确开展数学探究教学本身的总路径，即提出问题-猜测结论-制定方案-验证(证明)结论-应用结论.这是区分数学探究教学与常规教学的标志，是确保数学探究课具备“探究”意义的关键.在大路径明确的前提下，还要进一步明确针对不同数学对象如何开展探究的基本路径.比如，数学概念构建的路径、推理证明的路径、数学解题的路径等.数学概念的建构过程是按照“背景—概念—性质—应用”；解题探究的过程是按照“尝试—碰撞-优化-应用”等过程.再进一步细化，还需要明确研究某一个知识模块的路径，比如，研究立体几何的“直观感知-操作确认-思辨论证-度量计算”的路径，研究向量运算的“运算背景-运算规则-运算性质-运算定律”的路径，研究解析几何的“几何问题代数化，代数式子坐标化”的路径等.继续细化，还需明确探究某个知识点的路径，比如，利用“图像直观”来研究函数性质的路径、利用“数形结合”来研究函数零点的路径、利用“单位圆的对称性”来研究三角函数诱导公式的路径.只有对研究路径的不断细化，数学探究的路径才会逐步清晰，从而被纳入学生的“已有经验”中，真正实现有序探究的目的.

3 探究教学改进建议

对于“线面垂直性质定理”探究教学，其关键是必须明确三个问题.首先，何为性质？所谓的性质就是线面垂直的一个必要条件，即已知“直线与平面垂直”能推出什么样的结论，但“性质”有很多，到底哪个性质才被称为“定理”，要明确探究的第二个问题，也即“何为性质定理”.一般地，立体几何中，性质定理的产生一般都基于两个方面的需求.一是，解决实际问题的需求，比如，在证明线面平行时，需要在平面内找到一个直线与平面外的直线平行，但有时平面内的这条直线不好找，怎么办？这可以从必要性的角度去分析，去找线索，即如果直线已经与平面平行了，它会具备怎样的性质，而这个性质刚好能够帮助找到所需要的“平面内”的直线.另一个需求就是数学知识自我完善的需求，例如，线面平行的判断定理已经解决了从“线线平行”到“线面平行”推理，那么能不能倒推呢？如果能够倒推，就形成了逻辑推理的“闭环”.基于这两个方面的思考，于是线面平行的性质定理就是“已知直线平行平面，若过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行”，即从“线面平行”推出了“线线平行”.面面平行的性质定理也是按照这样的逻辑进行确定的，即从“面面平行”推出“线线平行”，这就形成了针对整个空间平行关系的推理闭环.

线面垂直的性质定理也可以类比空间平行关系的性质定理的研究路径来确定.因此，首先让学生回顾线面平行、面面平行的判断定理及性质定理，在明确两个定理的功能，进一步猜想线面垂直的性质定理应该是怎样的.但线面垂直的性质定理与前面的又有差异，因为根据线面垂直的定义，实现了由“线面垂直”到“线线垂直”的推导，根据线面垂直的判断定理，又实现了由“线线垂直”到“线面垂直”的推导，垂直关系的推理闭环问题已经解决，这就导致线面垂直的判断定理的确定又陷入了迷茫之中.面对这个问题，教师不妨让学生大胆的猜想：能否建立起空间垂直关系与平行关系的联系？如果能够建立起来，就实现了平行与垂直关系的之间推理，这样的性质定理也更具价值.这样一来，线面垂直性质定理的探究路径明确了，即从“线面垂直”推出“线线平行”.

最后要解决的是第三个问题，即性质定理的构成要素，即条件是什么，结论是什么.现在条件很清楚了，即“已知直线与平面垂直”，结论是“直线与直线平行”，当然这个命题的条件还不够充分，需要再增加其它条件.那么应该增加什么条件？通过分析空间平行关系的性质定理的构成要素，不难发现，构成性质定理还需要引入“新的几何对象”并赋予“新的位置关系”.现在的结论涉及到“直线与直线平行”，因此引入的新的几何对象肯定是“直线”，至于“这条新的直线”与已知直线、已知平面的位置关系可以通过枚举的方法进行确定.不妨设已知的直线为a，已知的平面为α，新引入的直线为b.在直线a⊥平面α的前提下，如果b∥α，a∥b成立吗？如果b⊂α，a//b成立吗？如果b⊥α，a∥b成立吗？这样性质定理就很容易被确定出来了.按照这样的思路，如果引入的其它几何对象，比如平面，通过改变其位置关系，就可以获得更多的性质，然后让学生判断这些性质的真假，并进行证明或说明.这样一来，整节课探究意义就更加明显了.

总之，凡事预则立，不预则废.数学探究的路径要根据学习目标进行精心预设,从而在确保探究活动自然发生的同时，发展学生是核心素养，实现学生从“学会”到“会学”的跨越.