剖析圆锥曲线中的探索性问题

■南通大学附属中学 张 敏

圆锥曲线中的探索性问题,一直是历年高考数学试卷考查的重点与难点之一。此类问题可以很好地考查圆锥曲线中的基础知识、基本技能等,同时还能重点考查考生的数学运算与逻辑推理素养,难度为中高档,具有很好的选拔性与区分度,备受命题者的青睐,常考常新,创新新颖。

一、定值或定点的探索性问题

圆锥曲线中的定值或定点的探索性问题,主要是涉及定值或定点的存在性问题,一般采用假设法,首先根据所解决的问题设出参数,然后假设定值成立或定点存在,再根据定值或定点问题的解决方法,列出参数所满足的等式关系,则可转化为方程或方程组的解的存在性问题。

例1已知椭圆=1(a>b>0)的左顶点和右顶点分别为A,B,O为坐标原点。以OB为对角线的正方形OPBQ的顶点P,Q在椭圆C上。

(1)求椭圆C的离心率。

(2)当a=2时,过点(1,0)作与x轴不重合的直线l与椭圆C交于M,N两点(M在x轴上方),直线AM,BN的斜率分别为k1,k2。试判断是否为定值? 若是,求出定值;若不是,请说明理由。

分析:(1)通过正方形的构建来确定参数之间的关系,进而利用离心率的变形公式加以分析与求解;(2)结合过定点的直线与椭圆相交于两点,进而研究这两点与对应的椭圆顶点的连线所对应的直线的斜率的比值为定值。

点评:研究参数或代数式的定值问题,关键是设置对应的动直线或动曲线,结合直线与圆锥曲线的位置关系,借助函数与方程思想的转化,通过参数关系式的整体代换与变形,巧妙转化所求参数或代数式的定值问题,实现定值的探索性问题,这是解决此类问题最常用的技巧方法。需要特别注意的是:在利用整体代换法处理解析几何中的相关代数式时,由于变量比较多,运算量比较大,所以需要注意合理的整体化思维及变量代换。

二、位置关系的探索性问题

圆锥曲线中的位置关系的探索性问题,主要是涉及直线与圆锥曲线的位置关系的探索与开放问题,关键是利用代数法或几何法将直线和圆锥曲线的位置关系,转化为相关数量之间的关系,进而转化为数量关系的探究问题来分析与解决。

例2在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,F(0,1),N(t,-1)(t∈R),已知△MFN是以FN为底边,且边MN平行于y轴的等腰三角形。

(1)求动点M的轨迹C的方程。

(2)已知直线l交x轴于点P,且与曲线C相切于点A,点B在曲线C上,且直线PB∥y轴,点P关于点B的对称点为Q,试判断A,Q,O三点是否共线? 并说明理由。

分析:(1)根据题目条件,设出动点M的坐标,结合等腰三角形的性质确定MN=MF,由两点间的距离公式构建关系,加以变形转化来确定轨迹方程;(2)设出直线l的方程,与抛物线方程联立,利用直线与抛物线相切的条件结合判别式为零加以转化,确定参数之间的关系,得以确定点P的坐标,利用条件及中点坐标公式分别确定点B,Q的坐标,结合切线的几何意义得到点A的坐标,进而结合kAO=kOQ来判断三点共线问题。

解:(1)设动点M(x,y),因为MN∥y轴,所以MN与直线y=-1垂直,则MN=|y+1|。

因为△MFN是以FN为底边的等腰三角形,所以MN=MF,即|y+1|=,即x2+(y-1)2=(y+1)2,化简得x2=4y。

因为当M为坐标原点时,M,F,N三点共线,无法构成三角形,所以动点M的轨迹C的方程为x2=4y(y≠0)。

(2)A,Q,O三点共线,理由如下:

因为直线l与曲线C相切,所以直线l的斜率必存在且不为零。

所以A,Q,O三点共线。

点评:解决圆锥曲线中的位置关系的探索性问题,关键是回归问题本质,抓住所探究的位置关系中的特殊结构问题,根据题目条件分别确定相应点的坐标、直线或曲线的方程等,由几何直观特征转化为代数性质形式,结合代数与几何之间的关系,实现此类特殊结构问题的化归与转化,进而得以解决圆锥曲线中的位置关系的探索性问题。

圆锥曲线中的探索性问题,由于没有明确的结论,需要通过探究后才能明确得到对应的结论,看似方向不明,自由度大,但具体的研究方向也有一定目的性,要有针对性地加以探索与研究。借助圆锥曲线中的探索性问题的分析与解决,在考查基本知识的同时,又能够很好地培养同学们的创新意识和应用能力。